广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

f (x) 4u(x) 2v(x) 6 5( R) 的最小值 g() ；
(3)在（2）的条件下，若对任意的实数 a,b 且a b 0 ，不等式
t (1 1 )(a 2b) g() 2t a2 1 1 对任意的 0,5 恒成立，求实数 t 的
a 2b
ab a(a b)
取值范围.
样品类别 样本容量 平均数 方差
A
20
1
1
B
30
6
1
根据这些数据可计算出总样本的方差 s2 ． 16．已知菱形 ABCD 的边长为 1，ADC ，将△ADC 沿 AC 翻折，当三棱锥 D ABC
3 表面积最大时，其内切球表面积为.
四、解答题
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17．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知 此次考试共有 450 名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下．
（Ⅰ）求证：平面 PAD 平面 ABCD ； （Ⅱ）求直线 PE 与平面 PAB 所成角的正弦值． 21．已知圆台 O1O2 的轴截面为 ABCD ，圆台的上底面圆半径与高都等于 1，下底面圆半 径等于 2，点 E 为下底圆弧 C»D 的中点，点 N 为上底圆周上靠近点 A 的弧 »AB 的四等分
广东省广州市华南师范大学附属中学 2022-2023 学年高一下 学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知单位向量
ar
、
r b
满足
ar
r b
，则
ar
(ar
r b)
（
）
A．0
B． 1 2
2．已知复数 z 满足 z 2 i ，则 z （ 1i
锥 P ABCD 的体积等于 2 时，求二面角 N PM D 的余弦值．
22．已知向量
r a
(cos
5x,
sin
5x),
r b
(2
cos(x
),
2 sin( x
)),
令
u(
x)
r a
r b
.
3
3
(1)求函数 u(x) 的对称轴方程；
(2)设
v(
x)
4
cos(2x
6
)
，当
x
6
,
12
时，求函数
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(1)求 a 的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩． 18．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 5 个球，其中有 3 个红球，编号分别 为 A，B，C，有 2 个黑球，编号分别为 D，E，从中一次摸取 1 个球，取后不放回，连 续取两次． (1)试写出该试验的样本空间； (2)设事件 M：“第一次摸到红球”，事件 N：“第二次摸到黑球”，求事件 M 和事件 N 发 生的概率． 19．在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
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A．直线 AB 与平面 OBC 所成的角为 30o B．二面角 O BC A 的正切值为 2 C．P 为线段 AC 的中点，直线 OP 与 BC 所成的角为 45o D．作 OM 平面 ABC，垂足为 M，则 M 为 VABC 的重心
uuur uuur uuur 12．已知 VABC 的外心是 O ，其外接圆半径为 1，设 OA OB OC ，则下列正确的
､ 高三被抽到的住校生人数分别为（ ）
A．12，18，15 B．20，40，30
C．25，35，30
D．24，36，30
5．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了 800 次试验，发现正面
朝上出现了 440 次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55 B．0.55，0.5
C．29
D．58
二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等 B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直 C．如果直线 a / / 平面 ， P ，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条，且 一定在 内 D．若空间中的四个点不共面，则任意三点不共线 10．已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为 1 ， 1 ， 1 ，而且这 3 人之间
C．0.5，0.5
D．0.5，0.55
6．如图甲，在梯形 ABCD 中， AB//CD ，CD＝2AB，E、F 分别为 AD、CD 的中点，以
AF 为折痕把△ ADF 折起，使点 D 不落在平面 ABCF 内（如图乙），那么在以下 3 个结
论中，正确结论的个数是（ ）
①AF // 平面 BCD；②BE // 平面 CDF；③CD // 平面 BEF．
）
A．
uuur 6 AC
B．
uuur 4 AC
C． 4
uuur 2 AC
D． 3
uuur 2 AC
8．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个
问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生 870 人参
加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现 1 点或 2
234 的测试互不影响．则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都通过测试的概率为 1 24
B．甲未通过且乙、丙通过测试的概率为 1 12
C．甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为 3 4
D．甲、乙、丙至多有一人通过测试的概率为 2
3
11．在如图所示的三棱锥O ABC 中，OA OB OC ，并且 OA，OB，OC 两两互相垂 直，则下列结论正确的是（ ）
C．1 ）
A．1
B． 2
C． 3
D．2 D． 5
3．已知正四棱锥的底面边长是 6 ，高为 7 ，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． 6 7
B．12 7
C． 24 7
D． 36 7
4．某校高一､ 高二､ 高三的住校生人数分别为 120，180，150，为了解他们对学校宿
舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取 90 人进行问卷调查，则高一､ 高二
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点，经过 O1,O2, N 三点的平面与弧 C»D 交于点 M ，且 E, M , N 三点在平面 ABCD 的同侧．
(1)判断平面 O1O2MN 与直线 CE 的位置关系，并证明你的结论； (2) P 为下底圆周上左半部分(靠近 D 点)的一个动点，且与 M 点在 CD 的不同侧，当四棱
是（ ）．
A．若 1 ， 0 ，则 VABC 为直角三角形
B．若 1，则 VABC 为正三角形
C．若
3
，
2
，则
uuur uuur OA OB
uuur OB
uuur OC
uuur OC
uuur OA
5
2
4
D．若 1 ， 3 ，则 VABC 为顶角为 30 的等腰三角形
三、填空题 13．同时抛掷 5 枚均匀的硬币，恰有 1 枚反面朝上的概率为． 14．正四面体 ABCD 棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为. 15．在样本量按比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表．
2bsin C asin A bsin B csin C ． (1)求 A； (2)若 a 2 ，求 BC 边上的高 AD 的最大值． 20．如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BCD 90 ， PAD 是以 AD 为底的等腰直 角三角形， AB 2BC 2CD 4 ， E 为 BC 中点，且 PE 11 ．
点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，
当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能
得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有 155 人回答“是”，由此可
估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（ ）
A．10
B．15
A．0
B．1
C．2
D．3
7．如图，在太极图中， A, B 分别为太极图中的最低点和最高点， AB 经过大圆和小圆
的圆心，且两个小圆的圆心是线段 AB 的两个四等分点(异于 AB 中点)，过 A 作黑色小圆
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的切线，切点为
C
，则向量
uuur AB
在向量

uuur AC
上的投影向量为（