冲刺重高培优测试--《反比例函数》综合2(附答案详解)

冲刺重高培优测试－－《反比例函数》综合
时间：90分钟满分150分
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）
A．B．3C．D．
第1题第2题第3题
2．如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）
A．B．C．D．
3．如图，P为反比例函数y=（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k 的值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x
轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
第4题第5题
5．如图，四边形OABC与CDEF均为菱形，且A（2，2）在反比例函数y=
的图象上，记△OBE的面积为S，下面是同学们对S的探究，其中正确的是（）A．S是变化的，因为菱形CDEF中只有C点的位置是确定的，其它三点都不是固定的
B．当D点从C点到B点运动时，S逐渐增大
C．从图上看，可以用两个菱形的面积减去两个三角形的面积，但E、F两点不确定，所以还是不能求出
D．如果连接CE，则CE∥OB，△OBE与△OBC同底（OB）共高，则S△OBE=S△OBC，
OC=OA=2，，与菱形CDEF的大小无关
6．如图，等边△AOB和等边△ACD的一边都在x轴的正半轴，顶点B、D均在双
曲线y=（x＞0）上，BC与AD相交于点P，则图中△BOP的面积为（）
A．2B．3C．4D．4
第6题第7题
7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，
点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（）
A． B．C．D．
8．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；
③AC=BD．其中正确的结论个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
第8题第9题
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
9．如图，四边形OABC和ADEF均为正方形，反比例函数y=的图象分别经过AB的中点M及DE的中点N，则正方形ADEF的边长为．
10．如图，已知点A是一次函数y=x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．
第10题第11题
11．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D 在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点
A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把
点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点
A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=．
13．如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，
点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为．
第13题第14题
14．如图，在△ABC中，B、C两点恰好在反比例函数y=（k＞0）第一象限的图
象上，且BC=，S△ABC=，AB∥x轴，CD⊥x轴交x轴于点D，作D关于直线BC的对称点D′．若四边形ABD′C为平行四边形，则k为．
15．如图，双曲线y=﹣的图象经过矩形OABC的顶点B，两边OA，OC在坐标
轴上，且OD=OA，E为OC的中点，BE与CD交于点F，则四边形EFDO的面积为．
第15题第16题
16．如图，直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x
轴、y轴的正半轴上，若点B的坐标为（4，6），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，F为OC边上一点，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，则CF的长为．
三、解答题（共6小题，共78分）
17．（12分）如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
第17题
18．（12分）直线y=﹣x+m与双曲线y=交于点E（，2），F两点．
（1）求k，m的值及点F的坐标；
（2）将直线y=﹣x+m沿y轴向下平移n个单位后恰好与双曲线y=只有一个交点，求n的值；
（3）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，求x1+x2的取值范围．
19．（12分）如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图
象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a 为实数，求T min．
第19题20．（12分）如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反
比例函数y=（x＞0）的图象经过的B．
第20题
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B 关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
（3）如图3，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
21．（14分）已知：如图，直线y=x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交
于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题：
（1）求点B坐标；
（2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=5，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P （0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第21题
22．（16分）已知直线y=x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线
y=于点B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y=于点E，若B是CD 的中点，且四边形OBCE的面积为．
（1）求k的值；
（2）若A（3，3），M是双曲线y=第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数6．
（3）现在双曲线y=上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运
货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化）
第22题
冲刺重高培优测试－－《反比例函数》综合
参考答案与解析
一、选择题（共8小题）
1．如图，P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）
A．B．3C．D．
【解析】作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=在第一象限内的图象上一点，
∴m=，解得：m=3，
∴PD=3，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=PD=，
∴S△POB=OB•PD=（OD+BD）•PD=，
故选D．
2．如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）
A．B．C．D．
【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
=+
=4+2
=6，
故选：B．
3．如图，P为反比例函数y=（k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B．若∠AOB=135°，则k 的值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，），
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，
∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n，），
∴OD=CQ=n，
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=DQ=4，GE=OE=OC=；
同理可证：BG=BF=PD=，
∴BE=BG+EG=+；
∵∠AOB=135°，
∴∠OBE+∠OAE=45°，
∵∠DAO+∠OAE=45°，
∴∠DAO=∠OBE，
∵在△BOE和△AOD中，，
∴△BOE∽△AOD；
∴=，即=；
整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；
故选D．
方法2、如图1，
过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），
∴OC=OG，
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG，PA∥OC，
∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，
∴PA=PB，
∵P点坐标（n，），
∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣，）
∴AD=AQ+DQ=n+4；
∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，
∴OC=4，
当y=0时，x=﹣4．
∴OG=4，
∵∠AOB=135°，
∴∠BOG+∠AOC=45°，
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，
∴∠AGO=∠OCG=45°，
∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，∴∠OBG=∠AOC，
∴△BOG∽△OAC，
∴=，
∴=，
在等腰Rt△BFG中，BG=BF=，
在等腰Rt△ACD中，AC=AD=n，∴，
∴k=8，
故选D．
4．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x
轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【解析】∵A、B是反比函数y=上的点，
∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y=的图象上一动点，
=4，
∴S
矩形PDOC
=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
∴S
四边形PAOB
连接OP，
===4，
∴AC=PC，PA=PC，
∴=3，
∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选C．
5．如图，四边形OABC与CDEF均为菱形，且A（2，2）在反比例函数y=
的图象上，记△OBE的面积为S，下面是同学们对S的探究，其中正确的是（）
A．S是变化的，因为菱形CDEF中只有C点的位置是确定的，其它三点都不是固定的
B．当D点从C点到B点运动时，S逐渐增大
C．从图上看，可以用两个菱形的面积减去两个三角形的面积，但E、F两点不确定，所以还是不能求出
D．如果连接CE，则CE∥OB，△OBE与△OBC同底（OB）共高，则S△OBE=S△OBC，
OC=OA=2，，与菱形CDEF的大小无关
【解析】连接CE，
∵四边形OABC与CDEF均为菱形，
∴OA∥BC，OB平分∠OAC，CE平分∠BCF，
∴∠BOC=∠ECF，
∴CE∥OB，
∴S△OBE=S△OBC，
过点A作AM⊥OC，
∵点A的坐标为（2，2），
∴OM=AM=2，
∴OC=OA==2，
∴S△OBE=S△OBC=•OC•AM=2×2=2；
∴S不变，能够求出，与菱形CDEF的大小无关；
故选D．
6．如图，等边△AOB和等边△ACD的一边都在x轴的正半轴，顶点B、D均在双
曲线y=（x＞0）上，BC与AD相交于点P，则图中△BOP的面积为（）
A．2B．3C．4D．4
【解析】∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB=∠CAD=60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP=S△AOP，
∴S△OBP=S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE=S△ABE=S△AOB，
∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴S△OBE=×4=2，
∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4．
故选D．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，
点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（）
A． B．C．D．
【解析】∵矩形OABC，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y=的图象上，
∴D（6，1），E（，4），
∴BE=6﹣=，BD=4﹣1=3，
∴ED==，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF=B′F，BB′⊥ED，
∴BF•ED=BE•BD，
即BF=3×，
∴BF=，
∴BB′=，
设EG=x，则BG=﹣x，
∵BB′2﹣BG2=B′G2=EB′2﹣GE2，
∴（）2﹣（﹣x）2=（）2﹣x2，
∴x=，
∴EG=，
∴CG=，
∴B′G=，
∴B′（，﹣），
∴k=﹣．
故选B．
8．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；
③AC=BD．其中正确的结论个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是××x=k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴①正确；
②条件不足，无法证出两三角形全等的条件，
∴②错误；
③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，
∴边EF上的高相等，
∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
∴③正确；正确的有2个．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．如图，四边形OABC和ADEF均为正方形，反比例函数y=的图象分别经过
AB的中点M及DE的中点N，则正方形ADEF的边长为﹣2+2．
【解析】设正方形OABC的边长为a，正方形ADEF的边长为b，
∵M是AB的中点，N是DE的中点，
∴M（a，），N（a+b，）．
∵反比例函数y=的图象分别经过AB的中点M及DE的中点N，
∴=，=，解得a=4，b=﹣2+2．
故答案为：﹣2+2．
10．如图，已知点A是一次函数y=x（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y=（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是3．
【解析】如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，
∵AB⊥x轴，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BE=AE=CE，
设AB=2a，则BE=AE=CE=a，
设A（x，x），则B（x，），C（x+a，），
∴，
由①得：ax=6，
由②得：2k=4ax+x2，
由③得：2k=2a（a+x）+x（a+x），
2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2，
2a2=ax=6，
a2=3，
∵S△ABC=AB•CE=•2a•a=a2=3．
故答案为：3．
11．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D 在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点
A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点
A′，B，则k的值为．
【解析】∵四边形ABCO是矩形，AB=1，
∴设B（m，1），
∴OA=BC=m，
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，
∴∠A′OA=60°，
过A′作A′E⊥OA于E，
∴OE=m，A′E=m，
∴A′（m，m），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴m•m=m，
∴m=，
∴k=．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点
A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2，则k=﹣．
【解析】设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，
），
∵AB===（b﹣a）=2，
∴b﹣a=2，即b=a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得：k=﹣．
故答案为：﹣．
13．如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2，
点D为AC与反比例函数y=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为﹣4或﹣8．
【解析】如图所示，过C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=60°，BC=2，
∴Rt△CBE中，CE=3，
又∵AC=4，
∴△ABC的面积=AB×CE=×4×3=6，
连接BD，OD，
∵直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，
∴点D将线段AC分成1：2的两部分，
当AD：CD=1：2时，△ABD的面积=×△ABC的面积=2，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=2，
∴|k|=2，即k=±4，
又∵k＜0，
∴k=﹣4；
当AD：CD=2：1时，△ABD的面积=×△ABC的面积=4，
∵AC∥OB，
∴△DOA的面积=△ABD的面积=4，
∴|k|=4，即k=±8，
又∵k＜0，
∴k=﹣8，
故答案为：﹣4或﹣8．
14．如图，在△ABC中，B、C两点恰好在反比例函数y=（k＞0）第一象限的图
象上，且BC=，S△ABC=，AB∥x轴，CD⊥x轴交x轴于点D，作D关于直线BC的对称点D′．若四边形ABD′C为平行四边形，则k为8．
【解析】设AB交CD于H．
由题意AB=CD′=CD，
∴B、C两点关于直线y=x对称，设C（a，b），则B（b，a），
∵S△ABC=，
∴•b•（b﹣a）=，∵ab=k，
∴b=2，a=，
∴CH=BH=，
∵BC=，
∴BC=BH，
∴k=•，
解得k=8．
故答案为8．
15．如图，双曲线y=﹣的图象经过矩形OABC的顶点B，两边OA，OC在坐标
轴上，且OD=OA，E为OC的中点，BE与CD交于点F，则四边形EFDO的面
积为．
【解析】如图，过E作EG∥OD，交CD于G，
∵E为OC的中点，
∴EG=OD，
∵OD=OA，
∴EF=OA=BC，
即=，
∵EF∥AO∥BC，
∴==，
即EF=BE，
∴S△CEF=S△BCE，
∵双曲线y=﹣的图象经过矩形OABC的顶点B，∴矩形OABC的面积为42，
∴△BCE的面积为42×=，
∴S△CEF=S△BCE=×=，
∵OD=OA，
∴S△COD=S矩形AOCB=7，
∴四边形EFDO的面积=7﹣=，
故答案为：．
16．如图，直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x
轴、y轴的正半轴上，若点B的坐标为（4，6），双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，F为OC边上一点，把△BCF沿直线BF翻折，使
点C落在点C′处（C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，则CF的长为．
【解析】∵B（4，6），D为BC中点，
∴D（2，6），
将D（2，6）代入y=（x＞0）得k=12，解析式为y=，
∴E（4，3），
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
设C′（a，3），
则C′G=a，C′E=4﹣a，
在Rt△C′EB中，32+（4﹣a）2=42，
解得a1=4+＞4，舍去；a2=4﹣．
设CF=C′F=b，则GF=3﹣b，
在Rt△FGC′中，（3﹣b）2+（4﹣）2=b2，解得b=，即CF=．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
17．如图，分别位于反比例函数y=，y=在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且=．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y=的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．
【解析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．
∵△AOE∽△BOF，又=，
∴===．
由点A在函数y=的图象上，
设A的坐标是（m，），
∴==，==，
∴OF=3m，BF=，即B的坐标是（3m，）．
又点B在y=的图象上，
∴=，
解得k=9，
则反比例函数y=的表达式是y=；
（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，），
又已知过A作x轴的平行线交y=的图象于点C．
∴C的纵坐标是，
把y=代入y=得x=9m，
∴C的坐标是（9m，），
∴AC=9m﹣m=8m．
∴S△ABC=×8m×=8．
18．直线y=﹣x+m与双曲线y=交于点E（，2），F两点．
（1）求k，m的值及点F的坐标；
（2）将直线y=﹣x+m沿y轴向下平移n个单位后恰好与双曲线y=只有一个交点，求n的值；
（3）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，求x1+x2的取值范围．
【解析】（1）∵直线y=﹣x+m与双曲线y=交于点E（，2），
∴，解得，
解方程组，
可得或，
∴点F的坐标为（2，）；
（2）将直线y=﹣x+沿y轴向下平移n个单位后，可得y=﹣x+﹣n，
由﹣x+﹣n=，可得x2+（n﹣）x+1=0，
∵平移后的中线恰好与双曲线y=只有一个交点，
∴△=（n﹣）2﹣4=0，
解得n=或；
（3）∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，
∴a＞0，c＞0，且ac=1，即a=，
∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，即第二象限，
∴b＜0，c+1＞0，且b（c+1）=﹣1，即b=﹣，
∴x1+x2=﹣=，
∴0＜x1+x2＜1．
19．如图所示，Rt△PAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x＞0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x＞0，0＜t＜k）的图象上，PA∥y轴，连接OP，OA，记△OPA 的面积为S△OPA，△PAB的面积为S△PAB，设w=S△OPA﹣S△PAB．
①求k的值以及w关于t的表达式；
②若用w max和w min分别表示函数w的最大值和最小值，令T=w max+a2﹣a，其中a 为实数，求T min．
【解析】（1）∵点P（3，4），
∴在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），
当y=4时，x=，即点B（，4），
则S△PAB=•PA•PB=（4﹣）（3﹣），
如图，延长PA交x轴于点C，
则PC⊥x轴，
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，
∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；
（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，
∴w max=，
则T=w max+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，
∴当a=时，T min=．
20．如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数
y=（x＞0）的图象经过的
B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B 关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
（3）如图3，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．【解析】（1）如图1中，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∵A（2，1），
∴B（2，4），
把B（2，4）代入y=中，得到k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．
∵直线OB的解析式为y=2x，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+，
∴N（0，），
∴ON=．
（3）结论：BF=DE．理由如下：
如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设
ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．
∵△EDM∽△EBN，
∴=，
∴=，可得a=m，
∵NK∥EF，
∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，
∴△KNO≌△DEM，
∴DE=KN，
∵FK∥BN，NK∥FB，
∴四边形NKFB是平行四边形，
∴NK=BF，
∴BF=DE．
21．已知：如图，直线y=x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题：
（1）求点B坐标；
（2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=5，求k的值；（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P （0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解方程x2﹣7x﹣8=0得：x=8，或x=﹣1，
∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，
∴OA=8，∴A（﹣8，0），
代入y=x+b得：﹣4+b=0，
∴b=4
∴B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，
∴AB===4，
过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则CH∥OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴，
即，
解得：CH=5，AH=10，
∴OH=10﹣8=2，
∴C（2，5），
∵双曲线y=（k≠0，x＞0）经过点C，
∴k=2×5=10；
（3）存在，理由如下：
分两种情况：
①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC 交直线l于M，如图2所示：
则EG∥OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴==，
∴EG=OB=1，AG=AO=2，
∴OG=8﹣2=6，
∴E（﹣6，1），
∵EM⊥AC，
∴设直线EM的解析式为y=﹣2x+c，
把点E（﹣6，1）代入得：12+c=1，
解得：c=﹣11，
∴直线EM的解析式为y=﹣2x﹣11，
当y=7时，7=﹣2x﹣11，
∴x=﹣9，
∴M（﹣9，7），
∵C（2，5），
∴点N的坐标为（﹣1，11）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣7，3）；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，
如图3所示：
则∠EGM=∠MHC=90°，EG=7﹣1=6，CH=7﹣5=2，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠EMC=90°，
由角的互余关系得：∠GEM=∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴，
∴GM•MH=CH•EG=2×6=12，
又∵GM+MH=6+2=8，
∴GM=2，MH=6，
∴M的坐标为（﹣4，7），
∵E（﹣6，1），C（2，5），
∴N（0，﹣1）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N 的坐标为（﹣4，1）；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）．
22．已知直线y=x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线y=于点
B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y=于点E，若B是CD的中点，
且四边形OBCE的面积为．
（1）求k的值；
（2）若A（3，3），M是双曲线y=第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数6．
（3）现在双曲线y=上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化）
【解析】（1）设C（a，a），则B（a，），E（，a），
=a2﹣•a•﹣••a=a2=，
∴S
四边形OBCE
∴k=a•==；
（2）由（1）得a=±3，
∴C（﹣3，﹣3），
设|MC|﹣|MA|=t，M（x，）（x＞0），
则﹣=t，
（x+3）2+（+3）2=（x﹣3）2+（﹣3）2+t2+2t，6（2x+）﹣t2=t=（2x+﹣6）t，
∴t2+（2x+﹣6）t﹣6（2x+）=0，
（t+2x+）（t﹣6）=0，
∵t+2x+＞0，
∴t﹣6=0，t=6，
即|MC|﹣|MA|为常数6；
（3）由（2）知MC﹣MA=6，
∴MA=MC﹣6，
∴MA+MP=MC+MP﹣6，
则当点M在PC连线与双曲线的交点上时，MC+MP取得最小值，
∴MC+MP=PC==15，
∴MA+MP=15﹣6=9，
∴最低总费用为9a万元．。