圆柱-圆锥-圆台教案

球的性质及应用 【例 3】 在球内有相距 1 cm 的两个平行截面他们位于球心同 一侧，面积分别为 5π cm2,8π cm2，求此球的半径．
思维启迪：截面与球心的位置关系有两种：①截面位于球心的 同侧；②球心在两截面之间．解题时容易丢掉其中的一种，致使结 果出错，因此遇到此类题目要看清两平面位于球心的同侧还是异 侧．
(2)纬线和纬度
赤道是一个大圆，它是 0° 纬线，其他的纬线都是小圆，它们是 由与赤道面平行的平面截球所得到的．某地的纬度就是经过这点的 球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数．如右图所 示，圆 O 是赤道面，圆 O′是纬线圈，P 点的纬度等于∠POA 的度 数，也等于∠OPO′的度数.
例1：我国首都靠近北纬40度纬线，求北纬40度纬线的长度约等 cos400 0.7660 于多少km(地球半径约为6370km， 约等于3.1416，
母线: 不垂直于轴的边.
一、圆柱的结构特征
圆柱
定义：以矩形的一边所在 直线为旋转轴，其余边旋转 形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱．
底面
旋转轴 （2）侧面展开图是矩形 （3）母线平行且相等． （4）平行于底面的截面是与底面 平行且半径相等的圆面
A
O
（5）轴截面是矩形．
变式 4．一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解析： (1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD，由已知可得上底面 半径 O1A＝2 cm，下底面半径 OB＝5 cm，又腰长 AB＝12 cm，所 以圆台的高为 AM＝ 122－5－22＝3 15(cm)． (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l，则由△SAO1∽△SBO， l－12 2 可得 l ＝5， ∴l＝20(cm)． 故截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.
侧面 母线
圆柱
记作：圆柱OO’ 轴
轴截面 母线
侧面
母线
底面
圆柱性质
1、母线有无数条，且都与轴平行； 2、连接两底面圆心的线段叫圆柱的高，它与圆柱两底面都垂 直 3、两个底面相互平行，且为半径相同的圆； 用平行与圆柱底 面的平面去截圆柱，得到的截面是与底面半径相等的圆 4、过圆柱轴的平面去截圆柱所得的截面（轴截面）是矩形， 这个矩形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边是圆柱底 面直径。 5、侧面展开图是矩形
侧面
母线 母线 轴截面
下底面
• 重要性质：所有母线的延长线交于同一点。
四、圆柱、 圆锥、圆台的联系与区别
1.用平行于底面得截面截得的是圆面 2.轴截面分别为全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形 3.柱锥台形成可以类比:圆柱形成也可看作由圆面沿 铅垂方向平移形成的几何体 圆柱 圆锥
上底面收缩成一个点
圆台
讲拓展 经度、纬度与球中的角 (1)经线和经度
经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上 的点的经度都相等， 如右图所示， 圆 O 是赤道面， 圆 O′是纬线圈， P 点的经度与 A 点的经度相等， 如果经过点 B 的经线是本初子午线 (即 0° 经线)，则 P 点的经度等于∠AOB 的度数，也等于∠PO′C 的 度数．
变式训练 3 一个圆锥的高为 2 cm，母线与轴的夹角为 30° ， 求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解析：画出圆锥的轴截面． 如右图，设圆锥 SO 的底面直径为 AB，SO 为高，SA 为母线， 2 3 则∠ASO＝30° .在 Rt△SOA 中，AO＝SO· tan30° ＝ 3 (cm)． 2 4 3 SO SA＝cos30° ＝ ＝ 3 (cm)． 3 2 1 4 3 ∴S△ASB＝2SO· 2AO＝ 3 (cm2)． 4 3 ∴圆锥的母线长为 3 cm， 4 3 圆锥的轴截面的面积为 3 cm2.
类型三 圆锥中的有关计算 【例 3】 一个圆锥的母线长为 10 cm， 母线与轴的夹角为 60° ， 求此圆锥的高．
思维启迪：画出圆锥的轴截面．
解析：如右图所示，△SAB 为圆锥的轴截面，SO、SA 分别是 圆锥的高和母线，则∠ASO＝60° ，SA＝10 cm. 在 Rt△SOA 中， 1 SO＝SA· cos60° ＝10×2＝5(cm)． 即此圆锥的高为 5 cm.
用一个截面去截 一个球，截面是圆面。
O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。
五、球
E 球心O 直径EF 半径R 轴截面
O C A O1 r R D
B
O d O1
R
r
F ①球的截面是圆面． ②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面． ③设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离就 是球心它们的关系是：OO1＝ R2 r 2
∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′. ∵∠OAO′＝∠OBO′＝45° ， 2 ∴AO′＝BO′＝OA· cos45° ＝ 2 R.
设∠AO′B 的度数为 α， απ απ 2 2 即180° · AO′＝180° ·2 R＝ 4 πR， ∴α＝90° . 连接 AB，则 AB＝ AO′2＋BO′2 2 2 2 ＝ R ＋ R2＝R. 2 2 在△AOB 中，AO＝BO＝AB＝R， 则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB＝60° . 60πR π ∴A，B 两地间的球面距离为 180 ＝3R.
A
线
O B
底面
圆锥
轴截面
记作：圆锥SO 顶点
侧面
母线 母线
底面
用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的截面（圆锥的轴截面）是等腰三角形。
腰长等于圆锥母线长 底边长等于圆锥底面圆的直径
圆锥性质
1、母线有无数条，所有母线相交于圆锥顶点，每条母线与轴
的夹角相等； 2、连接顶点和底面圆心的线段叫圆锥的高，它与圆锥底面都 垂直； 3、用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，得到的截面是圆，在 不同位置所截得的圆的半径，与底面半径均不等； 4、用过圆锥的高线的平面截圆锥，得到的截面（圆锥的轴截 面）是等腰三角形。 5、侧面展开图是以母线长为半径的扇形
l
二、圆锥的结构特征
圆锥
定义：以直角三角形的一条直 角边所在直线为旋转轴，其余两 边旋转形成的曲面所围成的几何 体叫做圆锥．
顶点 S 轴 侧 面
（1）底面是圆面 （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形 母 （3）母线相交于顶点
（4）平行于底面的截面是与底面 平行且半径不相等的圆面
（5）轴截面是等腰三角形
点评 1.根据球面上两点间距离的定义， A， B 两点的球面距离是过 A， B 的大圆在 A，B 间的劣弧长度． 2. 球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的 劣弧长．求球面距离的关键是求所对应的球心角的大小，要求球心 角，关键是求两点间的直线距离(即弦长)．在纬线圈中求弦长，在 大圆中求球心角及球面距离.
用平行于底的平面截得
类型一 圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征 【例 1】 下列命题中正确的有( ) ①圆台的所有平行于底面的截面都是圆； ②圆台是直角梯形绕 其一边旋转一周而成的；③在圆台的上、下底面圆周上各取一点， 则这两点的连线一定是圆台的母线； ④圆台可看成是平行于底面的 平面截圆锥得到的． A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
例 4 把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面半径的比 是 1∶4，母线长是 10 cm，求圆锥的母线长．
解析：设圆锥的母线长为 y cm，圆台的上、下底面半径分 别是 x cm、4x cm. 由相似三角形的性质得， y－10 x y ＝4x， 即 4(y－10)＝y，∴3y＝40， 40 40 ∴y＝ ，即圆锥母线长为 cm. 3 3
解析：若截面位于球心的同侧，如图①，C，C1 分别是两平行截 面的圆心，设球的半径为 R，截面圆的半径分别为 r cm，r1 cm，由 2 πr1 ＝5 π，得 r1＝ 5 ，由 πr2＝8π，得 r＝ 8 ，
2 R 8 ， 在 Rt△OB1C1 中，OC1＝ R2－r2 ＝ 1 在 Rt△OBC 中，OC＝ R2－r2＝ R2 5 ， 由题意知 OC1－OC＝1， 即 R2 8 － R2 5 ＝1，解得 R＝3.
解析：
如图所示，作出等边圆柱 O1O 的轴截面 ABCD，由题意知，四 边形 ABCD 为正方形，设圆柱的底面半径为 r cm，则 AB＝AD＝2r (cm)． 其面积 S＝AB· AD＝2r×2r＝4r2＝16((cm)2)，解得 r＝2 或 r＝ －2(舍去)． 所以其底面周长 C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)， 高 2r＝4 (cm).
思维启迪：正确运用圆台的概念及特征求解． 解析：由圆台特点知①④正确；对于②，当这一边是梯形中的 一条底边和斜腰时，形成的不是圆台；由圆台的母线延长后交于一 点知③错，故选 B. 答案：B
类型二 圆柱中的有关计算 【例 2】 轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边 圆柱的轴截面面积为 16 cm2，求其底面周长和高．
A
K
40 0
B O
球面上两点间的距离 【例 2】 设地球半径为 R，在北纬 45° 圈上有 A，B 两地，它 2 们的纬线圈上的弧长等于 4 πR，求 A，B 两地间的球面距离．
思维启迪：根据球面距离的定义知，只要求出∠AOB 即可．
解析：如图所示，A，B 是北纬 45° 圈上的两点，AO′为此纬 线圈的半径，
三、圆台
圆台 定义：直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为旋转轴，将直 角梯形旋转一周形成的曲面所围成 的几何体叫做圆台．
（1）底面是圆面
（2）母线延长后相交相交于一点 （3）平行于底面的截面是与底面 平行且半径不相等的圆面 （4）轴截面是等腰梯形 （5）侧面展开图是扇环
圆台
记作：圆台OO’ 上底面
四、球的结构特征
球定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半 圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫 作球体，简称球。球的表示：用表示球心的字母来表示， 如球O.
直径
连结球面上两点且经过球心的线段叫做球 的直径
O
球心
形成球的半圆的圆心叫做球心
半径
连结球面上一点和球心的线段叫做球的半径
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
二圆锥的结构特征圆锥1底面是圆面2侧面展开图是以母线长为半径的扇形3母线相交于顶点4平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面5轴截面是等腰三角形1底面是圆面2侧面展开图是以母线长为半径的扇形3母线相交于顶点4平行于底面的截面是与底面平行且半径不相等的圆面5轴截面是等腰三角形顶点ab底面轴侧面侧面母线母线so圆锥侧面顶点母线底面记作
一、旋转体
• 定义：平面上一条封闭曲线绕它所在平面上的一 条直线旋转而形成的几何体叫作旋转体 • 旋转体包括内部。 • 这条直线称为旋转体的轴
思考：图中三个旋转体是由怎样的平面封闭图形绕 那条轴旋转得到的？
O1
A
S
A
O O B O A B
矩 形
直角三角形
圆
轴
底面
母线
圆柱
圆锥
圆台
轴: 旋转前不动的一边所在的直线. 底面: 垂直于轴的边旋转所成的圆面. 侧面: 不垂直于轴的边旋转所成的曲面.