不等式的证明1 人教课标版

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思考6:用构造函数法来完成，由a+b=1，设 y=(a+2)2+(b+2)2，则
y2 a22 a1 32 (a1)22 525 2 22
思考7: 用判别式法来完成，在得到y＝2a22a+13 后 改变观点，视其为方程，有 2a22a+13y =0． 因a∈R，则∆＝442(13y) 0，从而
(a2)2(b2)225 2
思考1:用作差比较来完成，利用a+b=1可将二元问题 化为一元问题．
思考2:用分析法来完成，最终可化为证 (a 1)2 .0
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思考3:用综合法来完成，由(a 1)2 0 出发进行变
形．
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思考4:用放缩法来完成，利用基本不等式
a2
b2
a
b
2
2 2
思考5:用均值换元法来完成，设
a1t，bபைடு நூலகம்t
证明二：比较法（作商）
∵a2+b2≥2ab，
∴
a3 b3
(ab)(a2 b2 ab)
a2b ab 2
ab(ab)
a2 b2 ab 2ab ab 1
ab
ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明三：分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0，b>0， 所以a+b>0， 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.
a0,b0
a2 b 2a
同 理b2 a2b
b
a
a2
b2
b a2a2b
b
a
即
a2 b2
ab
ba
证明四:分析法
【探索1】
已知
a 0,b 0,c 0且 a b c,
设 M a b ,N c
4a 4b
4c
求M与N 的大小关系.
构造函数法 放缩法 M N
【探索2 】
求证:
3 5xx22 42xx 553 5
换元法 判别式法
【探索3 】
x 已知 f ( x ) 2 px q ,
求证:
f(1).f(2).f(3) 中至少有一个不小于 1/2
反证法
思考题： a,b已 R知 ，且 ab1，求证： (a2)2(b2)2 25
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分析：观察条件和待证不等式的结构，可知连接它 们 的“桥”较多，可从不同的角度来思考．
思考8: 反证法
证明不等式的主要方法
•（1）比较法：
作 作商 差 A BA 法 法 1B (B00 ) AA BB
•（2）综合法：由因导果
•（3）分析法：执果索因 •（4）反证法：正难则反 •（5）构造法：构造函数或不等式证明不等式
•（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. （8）换元法：三角换元， 均值换元.
【 例 题 】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.
证明一：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2） =（a3- a2b）+（b3-ab2） = ( a-b)2(a+b).
∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0.
∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
作业:根据本课内容写一篇数学小论文
同学们，再见！
a3b3a2bab2
ba
ab
a2(ab)b2(ba)
ab
(ab)2(ab) ab
0
所以a2， b2 ab ba
证明二：比较法（作商）
a2 b2 ba ab
a3 b3
a2 b2 ab
ab(a b)
ab
2ab ab
ab
1
而a>0，b>0，所以a+b>0.
故
a2 b2
ab
ba
证明三:综合法
数学更高的价值在于培养纯粹的思维能 力，启发人们向往理念的端倪；便于将 灵魂从变化世界转向真理的实在．
柏拉图 《理想国》
不等式的证明基本方法
1、比较法：作差比较与作商比较 2、综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的 性质推导出所要证明的不等式成立的方法。 3、分析法：从要求证的不等式出发，分析这个不等 式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充 分条件是否具备的问题，即由果索因。
证明四：综合法 ∵a2+b2≥2ab， ∴a2+b2-ab≥ab. 又∵a>0，b>0， ∴a+b>0， 故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 即a3+b3≥a2b+ab2.
练习：已知a>0，b>0，求证：
a2
b2
ab.(课本习题改变）
ba
证明一：比较法（作差）
a2 b2 (ab)