数学建模 基础模型

2 其他假设如前例
一个周期的总费用
Q2 ( rT Q )2 C c1 c2 c3 kQ 2r 2r
每天平均费用
c1 Q2 ( rT Q )2 Q C (T , Q ) c2 c3 k T 2rT 2rT T
模型求解 用微分法 令
C (T , Q) C (T , Q) 0, 0 T Q
每天平均最小费用 C
2c1c2 r
著名的 经济订货批量公式（EOQ公式）。 模型分析
c1 T , Q
c2 T , Q
r T , Q
模型应用
c1=5000, c2=1，r=100 • 回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
•这里得到的费用C与前面计算得950元有微 •小差别，你能解释吗？
敏感性分析
讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。 由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S (T , c1 )
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2
第三章
3.1
3.2 3.3
简单的优化模型
存贮模型
生猪的出售时机 森林救火
3.4
最优价格
3.5 血管分支
3.6 消费者均衡
3.7 冰山运输
静 态 优 化 模 型
• 现实世界中普遍存在着优化问题
• 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根据建 模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法
每天平均最小费用 C C (T , Q)
每个周期的供货量 R rT
2c1 c2 c3 Rr c2 r c3
与不允许缺货模型相比较，有
c2 c3 c3
T T , Q Q / , R Q
结果解释
T T , Q Q / , R Q
Q(t ) (8 gt )(80 rt ) 4t
4r 40 g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析1
研究 r, g变化时对模型 结果的影响 • 设g=0.1不变
4r 40 g 2 t rg
40r 60 t , r 1.5 r
20
一个周期内存贮费
2 Q T1 QT1 c2 c2 q(t )dt c2 0 2r 2
一个周期内缺货损失费 c3 一个周期的总费用

T
T1
q (t )dt
( rT Q )2 c3 2r
Q2 (rT Q) 2 C c1 c2 c3 2r 2r c1 Q (rT Q) 每天平均费用 C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT
1 1 S (T , c1 ) S (T , c2 ) 2 2
1 S (T , r ) 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；
日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。
当 c1 , c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
研究 r, g变化时对模型结果的影响 3 20 g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
30
Δ t /t dt g S (t , g ) Δ g / g dg t
3 S (t , g ) 3 3 20 g
t
20
10
0 0.06
2 2
模型求解
c1 Q (rT Q) 求T , Q满足min C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT
2
2
用微分法 令
C (T , Q) C (T , Q) 0, 0 T Q
c3 2c1r Q c2 c2 c3
2c1 c2 c3 T c2 r c3
问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭
火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小
0.08
0.1
0.12
0.14
g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t) p=8-gt p =p(t)
Q(t ) p(t ) w(t ) 4t 640
Q(t ) 0
p (t ) w(t ) p(t ) w(t ) 4
思考
1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费 用），在什么情况下才可以不考虑它？ 2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设， 如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数， 如何建模？
问题2 允许缺货的存贮模型 模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。
3.1 存贮模型 问题
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
不允许缺货模型假设 1 设购买单位重量货物的费用为k；
2 其他假设如前例
一个周期的总费用
rT 2 krT C c1 c2 2
每天平均费用
C c1 rT C (T ) c2 kr T T 2
最优结果不变
允许缺货模型假设 1 设购买单位重量货物的费用为k；
平均每天费用950元
• 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗?
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小
Q R o A
Q rT Q r 注意：缺货需补足 T T1 T r T1 B T Q rT r
t
允许缺货模型的存贮量q(t) 一个周期内存贮费
2 Q T1 QT1 c2 c2 q(t )dt c2 0 2r 2
一个周期内缺货损失费 c3

T
T1
q (t )dt
( rT Q )2 c3 2r
分 析
投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
建模及求解
估计r=2， g=0.1
若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 出售 生猪体重 w=80+rt 出售价格 p=8-gt 销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
利润 Q=R-C=pw -C 令Q’(t)=0，得 Q(10)=660 > 640
这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r；
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；
3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
T
2c1 c2 c3 k 2 c2 r c3 c2 c3
Q
c3 c3 k r 2c1r c2 c2 c3 c2 ( c2 c3 )
2 2
不允许缺货模型假设 1 设生产速率为常数k；
2 销售速率为常数r
……….. 求一个周期的总费用
q
k-r
A h
T0
r
T
(k r )T0 r (T T0 ) o r T0 T k r (k r ) h (k r )T0 T k
T 。
Q
q
q q( t )t
r
A
o
[t .t t ]
t T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
T
一个周期内存贮量

0
QT q( t )dt 2
一个周期内存贮量

T
0
QT q( t )dt 2
T 0
பைடு நூலகம்
(A的面积)
一个周期内存贮费 c2 一个周期的总费用

q(t )dt
C c1 c2
模型建立 总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费 存贮费=存贮单价*存贮量 缺货损失费=缺货单价*缺货量 存贮量=？，缺货量=？
因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，
q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如
Q 图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。 T 1 q r
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
1.8 w 2.2 (10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w , 再作计算。
由 S(t,r)=3 若
3.3
问题
森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
1） 1, T T , Q Q, R Q 即允许缺货时， 周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
c2 c3 c3
2）缺货损失费愈大， 愈小，T 愈接近 T ，Q, R
愈接近 Q 。
当c3 时， 1 ， T T , Q Q, R Q 3）
要 求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
T
0
QT rT 2 c1 c2 q(t )dt c1 c2 2 2
C c1 rT 每天平均费用 C (T ) c2 T T 2
模型求解 c1 rT 求T满足 min C (T ) c2 T 2
c1 r 用微分法 C (T ) 2 c2 0 T 2 2c1r 2c1 Q rT T c2 c2 r
t 对r 的（相对）敏感度
t
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t 60 S (t , r ) 3 40r 60
15 10 5 0 1.5
2
2.5
r
3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析2
4r 40 g 2 t rg
t
q
A
k-r
r (k r ) h T k
o
h
T0
r T
r ( k r )T C c1 c2 2k
每天平均费用
2
c1 r ( k r )T C c2 T 2k
2c1k T c2 r ( k r )
*
3.2 生猪的出售时机
问 题
饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。 市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
模型建立
总费用与变量的关系 总费用=生产准备费+存贮费 存贮费=存贮单价*存贮量 存贮量=？
存贮量的计算
设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件，存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r