专题07 三角恒等变换 -备战2022年高考数学一轮复习(真题+模拟)训练(解析版)

专题7 三角恒等变换
第一部分 近3年高考真题
一、选择题
1．（2021·浙江高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于1
2
的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβ
αβ+≤，
同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2
γα
γα+≤，
故3
sin cos sin cos sin cos 2
αββγγα++≤
， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
π
γ=
，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>， 故三式中大于1
2
的个数的最大值为2， 故选：C.
法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，
而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222
αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12
. 取6
π
α=
，3
π
β=
，4
π
γ=
，
则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222
αββγγα=
<=>=>，
故三式中大于1
2
的个数的最大值为2， 故选：C.
2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面
A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（ ）
A ．346
B ．373
C ．446
D ．473
【答案】B
【解析】
过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，
故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100
''tan15CH C B ==︒
在'''A B C 中，由正弦定理得：
''''100100
sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒
，
而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=
，
所以
1004
''1)273
A B ⨯=
=≈， 所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．
3．（2020·全国高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π
4
)=7，则tan θ=（ ） A ．–2 B ．–1
C ．1
D ．2
【答案】D 【解析】
2tan tan 74πθθ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，
令tan ,1t t θ=≠，则1271t
t t
+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.
4．（2020·全国高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭
，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．
1
2
B ．
3
C ．
23
D ．
2
【答案】B
【解析】由题意可得：1sin sin cos 122
θθθ+
+=，
则：
3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=
从而有：sin cos
cos sin
6
6
3
π
π
θθ+=
，
即sin 63
πθ⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭. 故选：B.
5.已知α ∈（0，π
2
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A ．15
B
C ．
3
D 【答案】B 【解析】
2sin 2cos21α=α+，2
4sin cos 2cos .0,,cos 02
π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝
⎭
．
sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，221
5sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，
sin α∴=
B ． 6.已知函数()2
2
2cos sin 2f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B
【解析】根据题意有()1cos2x 35
cos212cos2222
f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==， 且最大值为()max 35
422
f x =
+=，故选B. 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，
，()2B b ，，且2
cos23
α=
，则a b -=（ ）
A ．
15
B ．
5
C ．
5
D ．1
【答案】B
【解析】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，
因为2
2
2cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=， 解得2
15a =
，即a =
所以2a b a a -=-=，故选B. 二、填空题
8．（2020·全国高考真题（文））若2
sin 3
x =-，则cos2x =__________． 【答案】
19
【解析】2
2
281cos 212sin 12()13
99
x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：
19
. 9．（2020·江苏高考真题）已知2
sin ()4
π
α+ =2
3，则sin 2α的值是____.
【答案】
1
3
【解析】
221sin ()(cos )(1sin 2)4222
παααα+=+=+
121
(1sin 2)sin 2233
αα∴+=∴= 故答案为：1
3
10．（2020·北京高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．
【答案】
2
π
（2,2k k Z π
π+∈均可）
【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x
x x x ϕϕθ=++=
+，
2=，解得sin 1ϕ=，故可取2
ϕπ=
. 故答案为：
2
π（2,2k k Z π
π+∈均可）.
11.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值是_____.
. 【解析】由()tan 1tan tan tan 2
tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-
++⎛
⎫+ ⎪
-⎝
⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭
)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫
+-=+ ⎪+⎝⎭
222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭
， 当tan 2α=
时，上式22
2212==22110
⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式
=2
2112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
综上，sin 2410
πα⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭ 12.函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-. 【解析】
23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+
-=--=--+23172(cos )48
x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，
故函数()f x 的最小值为4-．
三、解答题
13．（2020·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.
（1）若a ，b ，求ABC 的面积；
（2）若sin A C =
2
，求C .
【答案】（12）15︒.
【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，
2,c a ABC ∴==△的面积1
sin 2
S ac B =
=； （2）
30A C +=︒，
sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+
1cos sin sin(30)222
C C C =+=+︒=
， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.
14.设常数R a ∈，函数()2
sin22cos f x a x x =+．
（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2）若π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求方程()1f x =[]ππ-，
上的解． 【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-
或19π24x =或13π11π
2424
x x 或==-
. 【解析】（1）∵()2
sin22cos f x a x x =+， ∴()2
sin22cos f x a x x -=-+，
∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，
∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；
（2）∵π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
∴2ππsin
2cos 1124a a ⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭
，
∴a =
∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛
⎫=
+=++=++ ⎪⎝
⎭，
∵()1f x =
∴π2sin 2116x ⎛
⎫
+
+=- ⎪⎝
⎭
∴πsin 262
x ⎛⎫+=- ⎪
⎝
⎭， ∴ππ22π64x k +
=-+，或π5
2π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13
ππZ 24
x k k =+∈，，
∵[]
ππx ∈-，
， ∴5π24x =-
或19π24x =或13π11π
2424
x x 或==-
15.已知,αβ为锐角，4tan 3α=
，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．
【答案】（1）7
25
-
；（2）211-
【解析】（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=．
因为22sin cos 1αα+=，所以2
9cos 25α=，
因此，2
7cos22cos 125
αα=-=-．
（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．
又因为()cos αβ+=()sin αβ+==，
因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=
，所以2
2tan 24
tan21tan 7
ααα==--， 因此，()()()()
tan2tan 2
tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-
⎣⎦+．
16.已知函数()2
sin cos f x x x x =.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，求m 的最小值.
【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π
3
.
【解析】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛
⎫=
+=-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭.
因为π,3x m ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为32，
即πsin 26x ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭在π,3m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1. 所以ππ262m -
≥，即π3
m ≥. 所以m 的最小值为
π
3
.
17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值． 【答案】（Ⅰ）4
C
π
；（Ⅱ）213sin 13A =
；（Ⅲ）172sin 2426A π⎛
⎫+=
⎪⎝
⎭.
【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由22,5,13a b c ===
2222
cos 22225
a b c C ab +-===
⨯⨯， 又因为(0,)C π∈，所以4
C π
；
（Ⅱ）在ABC 中，由4
C
π
，22,13a c ==2
22sin 2sin 13
a C A c
=
==213
（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由213sin A =2cos 1sin A A -=313
进而2125
sin 22sin cos ,cos22cos 11313
A A A A A ==
=-=， 所以12252sin(2)sin 2cos
cos2sin
4
4
4
132132
A A A π
π
π
+
=+=
⨯+⨯=2
26.
第二部分 模拟训练
1．已知ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，若()3
sin sin 5
B αα+=+，则()sin 300α+︒=（ ）
A ．
35
B ．45
-
C ．
45
D ．35
【答案】D
【解析】解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又180A B C ++=︒，∴60B =︒，由
()3sin 60sin 5αα︒+=+得，313
sin 225αα-=，∴()3cos 305α︒+=，则
()()()3
sin 300sin 27030cos 305
ααα+︒=︒+︒+=-︒+=-，
故选：D ．
2
．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=->在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．1316,33⎛⎤
⎥⎝
⎦ B ．1316,33⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ C ．1417,33⎛⎤
⎥⎝
⎦ D ．1417,33⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 【答案】B
【解析】()2sin(),0cos 6
2
f x x x x x π
π
ωωω=-
≤≤
-=，
6
6
2
6
x π
π
ωπ
π
ω∴-
≤-
≤
-
，
132263
5162623ωπππωωπππω⎧⎧
-≥≥⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-<<⎪⎪⎩⎩
，
则ω的取值范围是1316,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭.
故选：B.
3．将函数(
)sin 2f x x x =的图象沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位后得到函数()g x ，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
512
π 【答案】A 【解析】
函数sin 22sin(2)3
y x x x π
=+=+，
将函数sin 22y x x =+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x π
ϕ=++，
因为函数是偶函数，
∴2()()3
2
212
k k k Z k Z π
π
ππ
ϕπϕ+
=+
∈∴=
+∈． 当0k =时，12
π
ϕ=．
故选：A
4．设ABC 的内角A ，B ，C 满足2A C B +=，则函数()2sin()cos sin2f x x B x x =+-图象的对称轴方程是（ ）
A ．ππ
,32k x k =+∈Z B ．ππ
,122k x k =
+∈Z C ．5ππ
,122
k x k =+∈Z
D ．ππ
,62
k x k =+∈Z
【答案】C
【解析】因为()A C B π-+=，2A+C =B ，所以3
B π
=
，
()2sin cos sin 23f x x x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
(sin )cos sin 2x x x x =+-
1sin 2cos 2222
x x =-++
sin 232x π⎛⎫=--+
⎪⎝
⎭. 由23
2
x kx π
π
-
=
+，k ∈Z ，得5122
k x ππ
=
+，k ∈Z . 故选：C.
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=. （1）求角A ；
（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.
【答案】（1）A 3
π
=
；（2）【解析】（1）在三角形ABC 中，
()2cos acos b c A C -=，
由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，
化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+= ， 三角形中sin 0B ≠，解得cos A 1
2
=，()0,A π∈， ∴A 3
π
=
.
（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
a
=5b c +=，
()2
213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，
所以三角形ABC 的面积S 12=
sin bc A 12=⨯4332
⨯=
6．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且直线x A =
为函数
()23sin 22sin f x x x =+图象的一条对称轴.
（1）求A ；
（2）若4a =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）3
A π
=
；（2）43.
【解析】（1）()2
3sin 22sin 3sin 2cos 212sin 216πx x x x x f x ⎛
⎫
=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭
， ∴直线x A =为函数()f x 图像的一条对称轴，
∴262ππ
A k π-
=+(k ∈Z )， 即132
πA k π=+(k ∈Z )，又02A π<<，
∴当0k =时，3
A π
=.
（2）∵3
A π
=
，4a =，
∴由余弦定理得，2
2
22162cos 23
π
b c bc b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当b=c=4时等号成立 ∴1113sin sin 164322322
ABC πbc A bc S =
=≤⨯⨯=△， 故ABC 面积的最大值为43.
7．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B =
=∠=.
（1）求边BC 的长﹔
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADB
，求sin DAC ∠的值.
【答案】（1）3BC =；（2）
25
.
【解析】在ABC 中，因为b =
c =45B ∠=，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，
得25222
a a =+-⨯
所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍） 所以3BC =.
（2）在ABC 中，由正弦定理
sin sin b c
B C
=，
2
45sin =
所以sin C =
在ADC 中，因为()
4cos 180cos cos 5
ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=， 所以ADC ∠为钝角.
而180ADC C CAD ∠+∠+∠=， 所以C ∠为锐角
故cos 5
C == 因为4
cos 5
ADC ∠=-，
所以35sin ADC ∠===， ()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠， sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠
3455==
8．已知函数2()cos cos 1f x x x x =++. （1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）若对任意x ∈R ，2
()()20f x k f x -⋅-≤的恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最小正周期π，值域为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）17
10k ≥
.
【解析】解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++
cos21133212cos2sin 222262x x x x x π+⎛
⎫=
++=++=++ ⎪⎝
⎭ ∴()f x 的为最小正周期22
T π
π=
=， 值域为15(),22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
；
（2）记()f x t =，则15,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
由2
()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，
知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立，
∵0t >∴222
t t t k t
-=-≥.
∵2()g t t t =-
在15,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时单调递增 max 55417
()22510
g t g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
∴k 的取值范围是1710
k ≥
9．已知函数2
()2cos 12
x
f x x =-+．
（Ⅰ）若()6f παα⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，求tan α的值；
（Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
1
2
倍得函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
得的值域．
【答案】（Ⅰ）9
-
；（Ⅱ）[]1,2-.
【解析】解：（Ⅰ）2
()2cos
12
x f x x =-+
cos 2sin 6x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
因为()6f παα⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，所以sin 6παα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，
即
1cos 22ααα-=，所以cos αα-=，所以tan 9
α=-
； （Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的
1
2
倍得到函数()g x 的图象， 所以()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π⎛
⎫==- ⎪⎝
⎭，
因为02
x π
≤≤
，所以526
6
6x π
π
π-
≤-
≤
，则1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭， 所以1()2g x -≤≤ 故()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]1,2-.
10．已知函数()2cos 2cos 1222
x x x
f x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12
倍（纵坐标不变），再向左平移6π
个单位得
到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间.
【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
.
【解析】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2π；
（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
再向左移动
6π
个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 由()222262k x k k ππππ-
≤+≤π+∈Z ，解得()36
k x k k ππ
π-≤≤π+∈Z . 函数()g x 的单调增区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
.。