2020年安徽省淮南市广东广雅中学高三数学文联考试卷含解析

2020年安徽省淮南市广东广雅中学高三数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设命题(其中m为常数)，则“”是“命题p为真命题”（）
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分且必要
D. 既不充分也不必要
参考答案：
B
【分析】
命题p：x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），由△＝16﹣8m≤0，解得m范围即可判断出结论．
【详解】若命题为真，则对任意，恒成立，所以
，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，
选.
【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2. 已知相异两定点、,动点满足（是常数），则点的轨迹是
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
参考答案：
A
略
3. 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当
0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）
A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）
参考答案：
C
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象与图象变化；偶函数．
【分析】首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共
点时的a的值为0或，又因为对任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n﹣．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，于是f（x）=（﹣x）2=x2．
设x∈[1，2]，则（x﹣2）∈[﹣1，0]．于是，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2．
①当a=0时，联立，解之得，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f （x）的图象有两个不同的公共点．
②当﹣2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x2在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x﹣2）2在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f′（x）=2x=1，解得
x=，
∴y==，故其切点为，
∴；
由（1≤x＜2）解之得．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点
时的a的值为0或．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a
的值为2n或2n﹣，（n∈Z）．
故应选C．
4. “”是“方程为椭圆”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且
，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．
考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．
5. 若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“Share直线”，已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则这样的“Share直线”（）A．存在一条 B.存在三条 C．存在六
条 D．不存在
参考答案：
A
6. 函数的图象与函数的图象的交点个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
B
7. 已知= 。

参考答案：
2
由得，所以。

8. 已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
9. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 函数的图象的大致形状是（）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正弦函数上一点P，以P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是．
参考答案：
12. 已知实数x，y满足不等式组且的最大值为_____．
参考答案：
3
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得的最大值．
【详解】不等组对应的可行域如图所示，
当动直线过是有最大值，由得，故，此时，填3．
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的
三倍，而则表示动点与的连线的斜率．
13. （5分）某校开展绘画比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，但复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．
参考答案：
1
【考点】：茎叶图．
【专题】：概率与统计．
【分析】：讨论x与5的关系，利用平均数公式列出关于x的方程解之．
解：当x≥5时，，所以x＜5，
∴，解得x=1；
故答案为：1
【点评】：本题考查了茎叶图，关键是由题意，讨论x与5的关系，利用平均数公式解
得x的值．
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．
参考答案：
设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有
，即，可得，代入椭
圆方程可得，由,即有，解得.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方
程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不
等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
15. 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于________．
参考答案：
16. 函数f(x)＝的零点个数为________．
参考答案：
2
17. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ．
参考答案：
试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×(×1×1×sin60°)= .
【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧棱BB1与底面ABC 所成的角为60°．
（Ⅰ）求直线A1C与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求出C1P的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
【分析】（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，证明B1O⊥平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐标，底面ABC的法向量，设
直线A1C与底面ABC所成的角为θ，通过，求出直线A1C与底面ABC所成的角．
（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通过
=0，求出．．求解．
【解答】（本题满分14分）
解：（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，
∵侧面BCC1B1⊥平面ABC，
∴B1O⊥平面ABC，
∴∠B1BC=60°．
又∵BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点．…
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，B（0，﹣1，0），C（0，1，0），，，
∴，又底面ABC的法向量…
设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，
则，∴θ=45°
所以，直线A1C与底面ABC所成的角为
45°．…
（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，
则，，
．…
设平面B1CP的法向量，
则．
令z=1，则，，∴．…设平面ACC1A1的法向量，
则
令z=1，则，x=1，∴．…
要使平面B1CP⊥平面ACC1A1，
则==．
∴．∴．
…
19. （本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数m的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ），
∴或或，解得或或无解，综上，不等式的解集是．………………5分
（Ⅱ）
，………………7分
当时等号成立不等式有解，
∴，
∴，∴或，即或，
∴实数的取值范围是或．………………10分
20. （本小题满分12分）端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒,其中重合于点O，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）当时,求二面角的余弦值.
参考答案：
(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)
【知识点】线面垂直的判定定理；二面角的平面角G10 G11
解析：（Ⅰ）折后重合于一点
拼接成底面的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
底面是正方形，故
. …………………2分
在原平面图形中，等腰三角形,………………4分
又平面.
又平面，平面平面
. …………………6分
（Ⅱ）法1：过作交于点，连,面,,面，为二面角的平面
角. …………………8分
当时，即中，
,
中，,
所以所求二面角的余弦值为
…………………12分
法2：由（Ⅰ）知并可同理得到故以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系
在原平面图形中，则底面正方形的对角线，
在原平面图形中，可求得
在中，可求得
…………………8分
设平面的一个法向量为，
则得令，则 (10)
分
平面，是平面的一个法向量，设二面角的大小为
则二面角的余弦值为
…………………12分
【思路点拨】(Ⅰ) 折后重合于一点拼接成底面的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，再利用线面垂直的判定定理；(Ⅱ) 过作
交于点，连,面,,面，
为二面角的平面角，然后再求解即可。

21. 如图，、是以为直径的圆上两点，，，是
上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
参考答案：
（1）略（2）略（3）
（1）证明：依题
平面∴
∴平面．
（2）证明：中，，∴
中，，∴．∴．
∴在平面外∴平面．
（3）解：由（2）知，，且
∴到的距离等于到的距离为1．∴．
平面
∴
．
略
22. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且
（）
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为。

参考答案：
a n =2n+1 -------------------6分
（2）
… 10分
… 12分
略。