【配套K12】高三数学上学期第二次考试试卷 文 旧人教版【会员独享】

河北正定中学2010—2011学年第一学期第二次考试高三年级数学试卷
（文科）
参考公式：
2
tan
12
tan
2tan , 2
tan
12tan 1cos , 2
tan
12tan
2sin 2
2
22
α
αααα
α-=+-=
+=
一、 选择题（每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的） 1. 已知全集U=Z ，A={－2，－1，0，1}，B={x |
422
1
2<<+x ，x ∈Z}，则()U A B =ð( ) A 、{0，1｝
B 、｛1｝
C 、{－2，－1}
D 、｛－1,0，1}
2. 已知()
1,6,2a b a b a ==⋅-=，则向量,a b 的夹角为（ ）
6
π
A
4
π
B
3
π
C
2
π
D
3. 在ΔABC 中，已知∠A=120°，且
C AB AC sin ,2
1
则=等于
（ ）
A ．
7
3
B ．
47
C ．
7
21 D ．
21
21 4. 已知等差数列24147{},30,39,
n n n a n S a a a a a S +=-++=-的前项和为且则使得达到最小值的n 是
（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
5. 数列{}n a 中，若11
1
,111-+=
=+n n a a a ，则2010a 的值为（ ） 12
1
211
D C B A -
- 6. 在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C A
A C A
+=-是角A 、B 、C 成等差数列的( ) A ．充分非必要条件 B ．充要条件
C ．必要非充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7. 已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x
y a =（01a a >≠，
）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是( )
A ．37a a +＞52a
B ．37a a +＜52a
C ．37a a +＝52a
D ．37a a +与52a 的大小与a 有关
8. 已知函数,3443)(-+-=x x x f 则函数)(x f 的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．不存在
9. 已知角α在第一象限且3cos 5
α=
，则
1)4sin()
2
π
απα+-=+（ ） A ．25 B ．75 C ．145 D ．25
-
10. 如图，角α的顶点为原点O ，始边为y 轴的非负半轴、终边经过点P ()3,4--，角β的顶
点在原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边OQ 落在第二象限，且
2tan -=β，则POQ ∠cos 的值为( )
A ．55-
B ．25
5
11- C ．25511 D ．
5
5
11. 设,0>a ,0>b ,0>c 下列不等关系不恒成立的是( )
141
123-+>++c c c c A ||||||c b c a b a B -+-≤-
C 若14=+b a ，则8.611>+b
a 2
0()D a x b x c x R
++≥∈ 12. 设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数k ，定义函数
()()
()()k f x f x k f x k
f x k
≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩，取函数()2
x
f x -=。

当1
2
k =
时，函数()k f x 的单调递增区间为( )
A (,0)-∞
B (0,)+∞
C (,1)-∞-
D (1,)+∞
二、
填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知函数3log 0()10
3x
x x f x x >⎧⎪
=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭
⎩,则不等式()1f x ≥的解集为 .
14. 已知函数3
2
()3(0)f x x a x a a =-+>的极大值为正数,极小值为负数,则a 的取值范围
是 .
15. 设函数21123()n n f x a a x a x a x -=+++
+,1
(0)2
f =
,数列{}n a 满足2(1)()n f n a n N *=∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 等于 . 16. 已知：函数])6
13,
0[)(3
sin(2)(π
π
∈+
=x x x f 的图象与直线y=m 的三个交点的横坐标分
别为=++<<3213213212),(,,x x x x x x x x x 那么 . 三、
解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数()x b x x a x f 2cos 2cos sin 2+=,且()126,80=⎪⎭
⎫
⎝⎛=πf f (1) 求实数a , b 的值。

(2) 当x ∈[0,2
π
]时，求()f x 的最小值及取得最小值时的x 值.
18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,12,11N n n S S a a n n ∈++==+
（1）求数列{}n a 的通项公式。

（2）若1=a ，n
n n a a n
b -=+1，{}n b 的前n 项和为,n T 已知*,N M T M n ∈>，求M 的
最小值.
19. ∠A 、∠B 、∠C 为锐角三角形ABC 的三个内角，且tanA 、tanB 、tanC 成等差数列，且()f x 满足()tan f C =
A
2sin 1
（I ）求0x >时()f x 的表达式；
（Ⅱ）设tan x C =, 求当（I ）中()f x 取得最小值时，三角形ABC 的最小角的值.
20. 设,,(3,),(3,),|||| 4.x y R a x y b x y a b ∈=+=-+=向量且 （1）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；
（2）过点)2,0(P 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点（A 在P ，B 之间），设,PB PA λ=直线l
的斜率为k ，当12
≥k 时，求实数λ的取值范围。

21. 已知函数()3133f x x ax a ⎛⎫=-≥
⎪⎝⎭
（1）当1=a 时，求()x f 的极小值；
（2）设()()[]1,1,-∈=x x f x g ，求()x g 的最大值()a F .
22. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2*232()n n S a n n n N =+--∈， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设cos n
n b a n π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n P ；
（Ⅲ）设1n n c a n
=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：任意*
n N ∈，3744n T <.
河北正定中学2010—2011学年第一学期第二次考试
高三数学（文）答案
一、选择题：1－12 ACCCB AACCA DC
二、填空题：
13 (][)+∞⋃∞-,30, 14 2
2
>a 15 1+n n 16 38π
三、解答题：
17 ．解：(1)由条件可解得4a b ==……4分
（2）()()2cos 8cos 241cos28sin 246f x x x x x x x π⎛
⎫
=+=++=+
+ ⎪⎝
⎭
…6分 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小
值，最小值为184022f π⎛⎫⎛⎫
=-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即()f x 的最小值为0，此时2x π=……10分 18．解：由11n n S S n +=++……①得12n n S S n n -=+≥（）……② ①－②得：121n n a a +=+()2n ≥………………3分 所以
11
21
n n a a ++=+。

故数列{}1n a +是从第2项开始的等比数列.
因为22a a =+，所以)2(12)3(2≥-⋅+=-n a a n n 而a a =1不满足上式 所以⎩⎨
⎧-⋅+=-12
)3(2
n n a a
a 2
1
≥=n n …………6分
（2）当11a =时21n n a =-，*
N n ∈，所以 n n n
b 2
=
……8分 使用错位相减法可得：222121
<-
-=-n
n n n
T …………11分 ∴M 的最小值为2……12分
19．解：（1）,tan tan 1tan tan 2
)tan(2tan 2tan tan C
A C
A C A
B
C A -+-=+-==
.tan 3
tan C
A =
∴ …………2分 )t a n 3
3t a n (21)(t a n :t a n 3t a n ,t a n 2t a n 12c s c )(t a n 2
C
C C f C A A A A C f +==+==代入得将，
即当13
0 ,()(),23x x f x x
>=
+时 …………6分 （2）13
3221)(=⋅⋅≥
x
x x f ，当且仅当x =3时取等号. …………8分 此时tan 3C =，所以tan 1A =，tan 2B =，…………10分
所以tan tan tan A B C <<，由ABC ∆是锐角三角形知：A 为最小角，且4
π
=
A .…12分
20．解：（1）设)0,3(),0,3(21F F -，则32||4||||2121==+F F MF MF 且
∴12,M F F 是为位点，2为长半轴的椭圆，其方程为2
2 1.4
x y +=…………4分 （2）设,2:+=kx y l 代入椭圆有22
(14)16120.k x kx +++=……..6分
由2
30,4
k ∆>>
得，所以2
1k ≥时，0∆>………..7分 设),(),(2211y x B y x A ，则2
122
122
161412 14k x x k x x k ⎛-+= +
= +⎝
……①……②………..8分 由PB PA λ=得,12x x λ=，与①联立，解得k x k k x λλλ4)
1(3,)
41)(1(1622
2+-=++-=
….9分 )41
(643)1(22
+=
+∴
k
λλ
12≥k 2315(,](1)1664λλ∴
∈+……10分 解之
1353353λλ<≤≤<或，B P A ,在 之间，∴01λ<<，5
3
31≤<∴λ 综上13
(,]35
λ∈……12分
21．解（1）当1=a 时，33)('2-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x . 所以)(x f 在)1,1(-上单调递减，在)1,(--∞和),1(+∞上单调递增. 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f ……4分
（2）因为|3||)(|)(3
ax x x f x g -==在]1,1[-上为偶函数,故只求在[]1,0上的最大值即可.
[
]1
,0,1()()()0, ()|()|()
3'()()()7a x f x x x x g x f x f x g x x x x ≥∈∴=-≤∴==-=-……分
当1≥a 时,0)('>x g ,)(x g 在[]1,0上单调递增,13)1()1()(-=-==a f g a F …9分 当
13
1
<≤a 时，)(x g 在
[]a ,0上单调递增，在[]1,a 上单调递减，
a a a f a g a F 2)()()(=-==……11分
所以可得121)
()3
3 1 (1)
a F a a a ⎧
≤<⎪=⎨⎪-≥⎩……12分 22.解：（Ⅰ）
2232n n S a n n =+--，
()()2
1121312n n S a n n ++∴=++-+-.
()11222,212(2)n n n n a a n a n a n ++∴=-+∴-+=-.
{}2n a n ∴-是以2为公比的等比数列 ----------------3分 111124,4a S a a ==-∴=,∴121422a -⨯=-=.
22,22n n n n a n a n ∴-=∴=+. -----------------------4分
（Ⅱ） 当n 为偶数时，
12313124()()n n n n P b b b b b b b b b b -=+++
+=+++++++
()()()31
221223221n n -⎡⎤=-+⨯-+⨯--+-⎣⎦
()()()
2422222422n n ++⨯++⨯+
++⨯()()2
2
4122122
(21)12123
n n n n n --=
-
+=⋅-+--；------------------ 6分
当n 为奇数时， ()122
13
n n P n ++=--+. -------------- 7分 综上，125,332(21)3
n n n n n P n n +⎧---⎪⎪=⎨⎪⋅-+⎪⎩（为奇数），（为偶数）. ----------- 8分 (Ⅲ)11
2n n
n c a n n
=
=-+. 当1n =时，1T =13 37
44
<--------------------------------9分 当2n ≥时，
123
23111
1111
1
<212223
2322
2
n n
n T n =++++
++++
++++ -------------10分
=111
(1)1421312
n --+-111322n =+-5153762644n =-<<
综上可知：任意n N ∈，37
44
n T <. ------- ---- 12分。