小学数学平面图形教学中有效应用“方格图”初探

小学数学平面图形教学中有效应用“方格图”初探摘要：本文将以教材为依托，以实际课堂教学为参照，对“方格图”在小学数学平面图形教学中的有效应用进行研究。

主要包括：在平面图形测量教学中有效运用“方格图”，引导学生从运用直观经验比较到建立标准进行精确测量；在平面图形面积推导教学过程中有效运用“方格图”，让学生在方格图的背景上放射思维的火花，经历面积推导过程；在平面图形与变换的教学中有效运用“方格图”，让学生在探索中发现图形变换的规律，获得数学的美感，积累进一步学习的经验。

通过实例分析与研究论述，探索方格图的应用范围及规律，凸显它的神奇魅力。

关键词：方格图平面图形有效应用
平面图形是图形与几何领域重要的内容，是很好的发展空间观念的载体。

教学中要让学生经历观察、操作、推理、交流等活动，探究图形性质及其变化规律的过程，丰富活动经验和良好体验，发展空间观念。

在小学数学教学中，方格图为学生在平面图形的探索发现中提供恰当的形象材料，不仅有利于使抽象枯燥的数学变得形象、具体、可测，充满乐趣，更有利于学生利用已有的经验对静止的平面图形进行动态地思考，将观察、想象、推理、表达、思考有机融合，促使空间观念的发展。

在平面图形的教学中怎样适时高效的应用方格图呢？下面就自己的教学实践与思考谈几点粗浅的看法。

一、在平面图形测量教学中有效运用“方格图”
点、线、面是构成平面图形的三大要素，在平面图形的比较中，学生较早接触到的是比较线的长短，这是学生空间观念的起点，从比较线的长短到比较面的大小，这是空间观念的一次飞跃，这种飞跃需要提供一种介质，方格图为平面图形的测量提供了统一的标准，为学生的想象提供广阔的空间，在飞跃的过程中获得充分的感受，也为今后更高层次的飞跃提供方法上的支持。

（一）应用“方格图”引导学生从生活经验到量化思考
数学源于生活经验而又高于生活经验，只有把生活经验逐步提升并且有了一定的量的积累的时候才能获得数学理解。

方格图有助于将学生已有的生活经验进一步提炼为数学知识与数学思考，并形成良好的习惯、方法，进而提升学生的想象和空间思考能力。

例如我让一年级小朋友观察比较：从A到B有两条路可走，走哪条比较近？绝大多数学生说甲比较长，理由很简单，因为它折了很多次，如果拉直了就会很长。

这是他们的生
活经验，真实的感受，但是在上面加一张方格图，学生就数出两条路线包含的边数进而比较，也有的学生把它转化为长方形，两条路都等于长方形的长与宽的和。

学生从感性判断到理性分析，出现这种转变方格图功不可没。

方格图的直观性为空间观念的建立搭起了引桥。

（二）应用“方格图”引导学生从直接比较到精确测量
比较是测量的基础，学生在比较两个面的大小时，第一反应是把两个平面图形重叠在一起进行比较，把两个图形多出的部分剪下来进行比较，依此类推最终比出大小。

直接比较是学生朴素的比较方法，其中蕴藏了太多的内涵，但生活中有很多东西是不能直接比较的，像不同的两个教室的面积，就不能直接比较，只有通过测量才能使比较显得便捷精确。

从直接比较两个面的大小到精确测量需要一个过程，面对学生对新领域表现出来的真实而朴素的比较方法，为了实现数学经验与数学理解的接轨，教学中我在需要比较大小的两个图形上放了一张方格图。

通过观察，长方形包含8个面积单位，正方形包含9个面积单位，不用重叠也不用剪，只要数数方格就能比较出两个图形面积的大小。

在引导学生对两种方法进行比较时，学生发现，它们都是把整个图形分成好多较小的部分进行比较的，但是用数方格图比较面积的大小显得更便捷，也能对面积的大小进行更准确的描述。

二、在平面图形面积推导教学过程中有效运用“方格图”
各种平面图形之间存在着密切的联系，面积公式的推导过程各有侧重，教学中不仅要教知识，更重要的是领悟方法，通过知识的教学，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

学生面对全新图形的面积推导，是否会自然的想到我们认为理想的转化方法呢？学生的知识经验的起点在哪里？又如何自然而然地由知识经验指向面积推导，进行有价值的思考呢？方格图在平面图形的面积推导中为学生的价值思考铺开了想象的空间。

（一）应用“方格图”让割补法在教学中自然渗入
小学生以形象思维为主，平面图形的转化是建立在熟知各个图形的特征和它们之间的关系之上的，学生对图形的特征和关系的认识还比较肤浅，这使得转化变得更为困难，割补法是重要的转化方法，是面积计算教学中的重要内容，它需要学生在过程中获得深刻的体验。

例如在《平行四边形的面积》教学中，教材要求学生用数方格的方法试一试。

用数方格的方法求平行四边形的面积，学生都会遇到同样的问题：不满一格的怎么办？这是学生在推导长方形面积时没有碰到过的，如果直接告诉学生不满一格的都按半格计算，学生又会有新的疑问：有的比半格大，有的比半格小，为什么都按半格算呢？学生容易掉进困惑之中。

这点能否让学生体验？在教学中我们可以这样引导：怎样数更方便？观察两边不满一格的部分，你有什么发现？经过认真观察，学生可以发现：第一行左边的比半格少，右边的比半格大，两边合在一起刚好是一格（左下图），其他几行左右两边合在一起也刚好是一格（右下图）,为了计算方便，把不到一格的都按半格计算。

有了前面的转化过程，图形中不再有不满一格的现象，学生很容易联想到长方形，经过认真观察，学生顺利的想到沿着平行四边形的高剪开把它转化成长方形。

方格图使图形的特征更为直观，使它们之间的联系更为明显，为平面图形的转化提
供了直观参照。

平行四边形的转化过程依托方格图由局部到整体逐步进行，使转化法像水一样渗入学生的心田，获得充分的体验。

（二）应用“方格图”使推导过程更丰富多样
在平行四边形的面积推导过程中，教材上只介绍了沿着高剪开，再把两部分拼成一个长方形，如果借用方格图学生不仅可以顺利想到沿着高剪开拼成长方形，有的学生还会创造性的想到其他转化方法：
在三角形的面积推导过程中，教材中只提供用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，把三角形转化成平行四边形推导出面积。

如果只用一个三角形能否推导出三角形的面积呢？有的学生在旁边画个完全一样的三角形拼成平行四边形，有的就无从下手。

把三角形放在方格图上，学生不仅可以想到再画一个完全一样的三角形转化成平行四边形，还可以沿着中位线剪开拼成平行四边形：
在教材的课外知识部分介绍了我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积，如下图所示：
面对教材中的这些方法，学生很难理解，比如：从哪里剪开，怎么转化等，方格图的直观性可以触动学生已有的经验，打开学生的思维，自然而然地理解出入相补原理。

（三）应用“方格图”在教学中激活学生思维
解决实际问题是平面图形教学的重要目标之一，方法的简洁有效是衡量数学思维的重要标志。

在教学时，要引导学生对图形进行割补转化，把未知转化为已知，用已经掌握的知识来解决新问题，提高学生分析问题解决问题的能力。

在组合图形面积的计算教
学中，可以把组合图形转化成基本图形，借助面积公式来计算它的面积。

如计算下面图形的面积（左图）：学生通过方格图想到了很多方法，其中有两种是这样的（右图）：
如果没有提供方格图，学生是很难想到这些方法的，方格图的格线相当于是分割线，为学生提供了想象的空间，通过观察，学生可以看出很多分割的方法，运用已有的图形操作经验可以轻松找到简洁有效的方法，使问题得到有效解决，同时也为今后进一步学习积累了宝贵的经验。

三、在平面图形规律探索教学中有效运用“方格图”
任何发现都是在探索的过程中发现的，有价值的发现需要一个有价值的素材作为探索的平台。

学生的空间观念正在发展中，在没有任何参照的情况下绘制某一特征的图形，往往会有很大的偏差。

在图形变换过程中，方格图为学生提供了清晰准确的参照。

(一)应用“方格图”探索周长和面积的变化规律
在小学平面图形领域内，有很多的规律需要引导学生去探索。

周长和面积是平面图形的两个重要的概念，但是它们之间又有着密切的联系，用直白的语言描述很难表达清楚，也不符合学生的认知特点，让学生在方格图上画一画，通过观察、比较就可以获得周长和面积的变化规律，例如在认识《面积和面积单位》之后让学生在方格图上画出面积是4平方厘米的图形，观察周长的变化与什么有关。

在探索中学生画出了很多图形：
通过学生认真观察比较后发现：周长与重叠的边数有关，重叠的边数越多周长就越短，重叠的边数越少周长就越长。

同样还可以让学生在方格图中围出周长相等的长方形，观察面积有什么变化规律，通过学生探索发现：长和宽的差越小，面积就越大。

只有把发现图形变换规律的过程变为学生亲身体验的过程，
这种规律才是鲜活的规重叠4条边 重叠3条边 重叠2条边 重叠1条边 重叠0条边
律，能给学生留下深刻的印象，丰富了学生进一步探索图形的经验。

方格图为学生提供了强大的探索平台。

（二）应用“方格图”创造神奇的密铺图形
生活中有很多精美的图案就是通过基本图形的变换得到的，教学中让学生在动手实践的基础上感受平移、旋转、对称的图形特征以及图形变换方法，在精美的密铺图案的背后又蕴含着怎样的变换现象？学生在生活中寻找密铺的现象，发现可以密铺的图形有正方形、三角形、六边形、平行四边形等，它们之间有什么联系，又可以变换出怎样的密铺图形呢？教学中，我让学生在方格图上设计密铺图形，有的学生以小正方形为基础，通过割补、平移、旋转等方法设计简单的密铺图案，有的学生在正方形的左边割下一个三角形，平移到右边组成一个组合图形，通过在方格图上反复试验，惊喜的发现这个变换后的图形就是一个密铺图形：
在这位同学的启发下，同学们进行了积极的探索，在方格图上找到了三角形、梯形、平行四边形……发现它们都是可以密铺的，通过变换得到很多奇特而美丽的密铺图形：
方格图把各种可以密铺的图形联系在一起，使密铺图形的变换有规律可循。

学生在格子图上设计了一幅又一幅精美的图案，经历了欣赏数学美、创造数学美的过程。

在探索的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理的能力。

（三）应用“方格图”揭示图形的内在规律
数学规律是隐蔽的，具有数学的理性美、逻辑美，要展现这种内在的美感，需要将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，在“数”“形”之间互相转化，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，方格图的直观形象有利于揭示图形内在的规律。

一位特级教师在《画一个正方形》的教学中，让学生在方格图中画大小不等的正方形。

第一次，要求学生在方格图上画一个大小不限的正方形，画出的正方形的面积都等
于边长的平方。

第二次，要求画的正方形的顶点必须在格点上，但边不能在格线上，学生画出了大大小小如图1的正方形，它们的面积是多少呢？由于方格图的存在，学生就能轻松地想到转化的方法，把正方形沿着对角线分割成四个三角形，转化成两个正方形，并表示成两个数的平方和。

第三次，让学生在方格图上画更多的不同的正方形，出现了不少如图2这样的正方形，利用方格图同学们把它分成一个正方形和四个三角形，进一步转化成两个正方形，并探索把这些正方形的面积表示成两个数的平方和。

学生在方格图上分割转化、寻求面积的表示方式，图形的内在规律在不断的推进中明晰出来，学生探索面积的同时感受到了数与形的联系，感受到了数学规律的美感。

总之，方格图为多样性的数学学习搭建了探索平台，激活了学生的经验，让探索的过程精彩纷呈。

方格图避免了为操作而操作，使探索自然地深入，结论自然地生成。

它在教材中随处可见，我们要善于挖掘，让学生在方格图的背景上探索发现，释放它的能量，展现其神奇的魅力。

参考文献：
（1）《数学课程标准》，中华人民共和国教育部制订，北京师范大学出版社，2001.7
（2）《新课程理念与小学数学课程改革》，孔企平、胡松林著，东北师范大学出版社，2002.6
（3）《学会数学地思维:小学数学教学案例解读》，成尚荣主编，江苏教育出版社，2001.8
（4）韦比：《设计有坡度的习题》，小学数学教师，2006年第1、2期合刊
图2
图1。