【精品】2018-2019年北京市东城区六校联盟初二下学期期中数学试卷带答案

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2015-2016学年北京市东城区六校联盟初二下学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一次函数y=3x﹣6的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．1，，3．（3分）将直线y=﹣x+2向下平移5个单位长，得到的图象的解析式是（）A．y=﹣x﹣5B．y=﹣x﹣3C．y=﹣x+5D．y=﹣x+7
4．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．四个角都为直角B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
5．（3分）一次函数y=﹣x+b的图象经过点P（1，y1）和Q（3，y2），则（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定6．（3分）等边三角形的边长为10，则它的面积是（）
A．B．C．D．
7．（3分）我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）
提示：≈1.414，≈1.732
A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元
8．（3分）平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为10cm，则△ABD的周长为（）
A．15cm B．20cm C．30cm D．40cm
9．（3分）矩形的一边长为3，一条对角线将一个内角分成的两角之比1：2，则
此矩形的面积为（）
A．B．或C．或D．或
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E从A点出发，沿着AB→BC→CD 的方向匀速运动到D点停止．在这个运动过程中，下列图象可以大致表示△AED的面积S随E点运动时间t的变化而变化的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）函数中，自变量的取值范围是．
12．（3分）在下述四个定理中：
①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
其逆命题是真命题的有．（填写序号）
13．（3分）若y=kx﹣3的图象经过点P（1，3）和Q（3，m），则m=．14．（3分）已知一个正方形的对角线长为4，则此正方形的面积为．15．（3分）一次函数y=（m﹣2）x+m的图象不经过第三象限，则整数m=．16．（3分）已知一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边比另一条直角边大2，则这个直角三角形斜边上的高为．
17．（3分）已知菱形的两条对角线分别是AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的周长是cm，面积是cm2．
18．（3分）如图，第一个正方形ABCD的对角线交点为O1；以O1C，O1D为邻边
向外做第二个正方形O1DEC，第二个正方形O1DEC的对角线交点为O2；再以O2C，O2E为邻边向外做第三个正方形O2CGE，…，用这样的方法继续向外做正方形．若AB=a，则第4个正方形的面积是，第n个正方形的面积是．
三、解答题（共46分）
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF=CE．
20．（6分）如图所示的图象描述一辆汽车在直线行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）汽车在OA段行驶的平均速度是km/h，在BC段行驶的平均速度是km/h，在CD段行驶的平均速度是km/h．
（2）AB段表示的含义是．
（3）汽车全程所走路程是km．
21．（8分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为M，与y 轴交点为N，且经过点A（3，2）和点B（2，3）．
（1）求此一次函数的解析式．
（2）求M，N的坐标．
（3）在坐标系中画此一次函数的图象．
（4）若点C坐标为（3，0），求△MNC的面积．
22．（6分）矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DF∥AC，AE，DF交于点G．
（1）判断四边形AODG的形状并证明．
（2）连接GB，GC，猜想GB与GC的数量关系并证明．
23．（9分）如图，直线y=kx﹣2与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OC=2OB．（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A（m，n）为直线y=kx﹣2上一动点，请写出在点A的运动过程中，△AOC的面积S与m的函数关系式．
（3）当点A运动到何处时，△AOC的面积S=4？
24．（5分）如图，矩形纸片ABCD的长AD=10cm，宽AB=5cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后AE的长是多少？
25．（8分）如图，在正方形CD中，AC为对角线，点P为线段AC上任意一点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AD于E，PE⊥CD于F，连接EF．
（1）△ABP的面积与四边形APFE的面积有何数量关系，并给出证明．
（2）线段BP与线段EF有何关系，证明你的结论．
2015-2016学年北京市东城区六校联盟初二下学期期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一次函数y=3x﹣6的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：在一次函数y=3x﹣6中，k=3＞0，b=﹣6＜0，
∴一次函数y=3x﹣6的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
2．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3B．2，3，4C．4，5，6D．1，，
【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误；
B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误；
C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误；
D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确．
故选：D．
3．（3分）将直线y=﹣x+2向下平移5个单位长，得到的图象的解析式是（）A．y=﹣x﹣5B．y=﹣x﹣3C．y=﹣x+5D．y=﹣x+7
【解答】解：∵向下平移5个单位，
∴新函数的k=﹣1，b=2﹣5=﹣3，
∴得到的直线所对应的函数解析式是：y=﹣x﹣3，
故选：B．
4．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．四个角都为直角B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【解答】解：正方形、矩形都具有四个角都是直角，
正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，
故选：D．
5．（3分）一次函数y=﹣x+b的图象经过点P（1，y1）和Q（3，y2），则（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【解答】解：因为k=﹣1＜0，
所以一次函数y=﹣x+b，y随x的增大而减小，
∵1＜3，
∴y1＞y2，
故选：A．
6．（3分）等边三角形的边长为10，则它的面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=BC=×10=5，
∴AD===5，
∴S△ABC=BC?AD=×10×5．
故选：D．
7．（3分）我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：≈1.414，≈1.732
A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元
【解答】解：如图，作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=60°，
在Rt△ADC中，AC=30m，∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴CD=m，
∴，
答：购买草坪需要的花费大概是130x元．
故选：C．
8．（3分）平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为10cm，则△ABD的周长为（）
A．15cm B．20cm C．30cm D．40cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，△ABD≌△CDB，
又∵E是CD中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE=BC，
即△DOE的周长=△BCD的周长，
∴△DOE的周长=△DAB的周长．
∵△DOE的周长为10cm，
∴△ABD的周长为=2×10=20cm．
故选：B．
9．（3分）矩形的一边长为3，一条对角线将一个内角分成的两角之比1：2，则此矩形的面积为（）
A．B．或C．或D．或
【解答】解：如图，
∵矩形一条对角线将一个内角分成的两角之比1：2
∴∠ACB=30°，∠ACD=60°，
①若AB=3，则BC=3，
∴S=9．
②若BC=3，则AB=，
∴S=3，
故选：D．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E从A点出发，沿着AB→BC→CD 的方向匀速运动到D点停止．在这个运动过程中，下列图象可以大致表示△AED的面积S随E点运动时间t的变化而变化的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：当点E在边AB上时，高不变，底逐渐增大，
∴面积S逐渐增大；
当点E在边BC上时，底和高都不变，
∴面积S为定值；
当点E在边CD上时，高不变，底逐渐减小，
∴面积S逐渐减小．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）函数中，自变量的取值范围是．
【解答】解：根据二次根式的意义，
3﹣2x≥0，
解得x≤．
故答案为x．
12．（3分）在下述四个定理中：
①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
其逆命题是真命题的有①②③④．（填写序号）
【解答】解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
平行四边形的两组对边分别平行的逆命题是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题；
平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
故答案为：①②③④．
13．（3分）若y=kx﹣3的图象经过点P（1，3）和Q（3，m），则m=15．【解答】解：∵y=kx﹣3的图象经过点P（1，3），
∴3=k﹣3，
解得：k=6，
∴一次函数解析式为y=6x﹣3．
∵y=kx﹣3的图象经过点Q（3，m），
∴m=6×3﹣3=15．
故答案为：15．
14．（3分）已知一个正方形的对角线长为4，则此正方形的面积为8．【解答】解：正方形的面积=×42=×16=8．
故答案为：8．
15．（3分）一次函数y=（m﹣2）x+m的图象不经过第三象限，则整数m=0或1．
【解答】解：∵一次函数y=（m﹣2）x+m图象不经过第三象限，
即图象经过第一、二、四象限或图象经过二、四象限和原点，
∴m﹣2＜0且m≥0，
∴0≤m＜2．
∴m=0或m=1，
故答案为：0或1．
16．（3分）已知一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边比另一条直角边大2，则这个直角三角形斜边上的高为 4.8．
【解答】解：设较短的一个直角边长为x，则另一直角边的长为：（x+2）．
由勾股定理得：x2+（x+2）2=102．
解得，x=6（负值舍去）
则x+2=8．
∴这个直角三角形斜边上的高==4.8
故答案为：4.8．
17．（3分）已知菱形的两条对角线分别是AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的周长是8cm，面积是16cm2．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=AC，BO=BD，AC⊥DB，AB=BC=AD=DC，
∵AC=4cm，BD=8cm，
∴AO=2cm，BO=4cm，
∴AB==2cm，
∴这个菱形的周长是8cm．
菱形的面积=×4×8=16cm2
故答案为：8，16．
18．（3分）如图，第一个正方形ABCD的对角线交点为O1；以O1C，O1D为邻边向外做第二个正方形O1DEC，第二个正方形O1DEC的对角线交点为O2；再以O2C，O2E为邻边向外做第三个正方形O2CGE，…，用这样的方法继续向外做正方形．若AB=a，则第4个正方形的面积是a2，第n个正方形的面积
是．
【解答】解：设第n个正方形的面积为S n，
∵AB=a，
∴S1=a2，
∵O1D=BD=AB=a，
∴S2=a2，
同理S3=a2，S4=a2，……，S n=，
故答案为：a2，．
三、解答题（共46分）
19．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF=CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF=AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
20．（6分）如图所示的图象描述一辆汽车在直线行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）汽车在OA段行驶的平均速度是km/h，在BC段行驶的平均速度是40km/h，在CD段行驶的平均速度是80km/h．
（2）AB段表示的含义是汽车行驶到距离出发地80千米处停止，停留时间为
0.5小时．
（3）汽车全程所走路程是240km．
【解答】解：（1）汽车在OA段行驶的平均速度是：80÷1.5=80×=km/h，在BC段行驶的平均速度是：=40km/h，
在CD段行驶的平均速度是：km/h，
故答案为：，40，80；
（2）AB段表示的含义是汽车行驶到距离出发地80千米处停止，停留时间为0.5小时，
故答案为：汽车行驶到距离出发地80千米处停止，停留时间为0.5小时；（3）汽车全程所走路程是：120×2=240km，
故答案为：240．
21．（8分）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为M，与y 轴交点为N，且经过点A（3，2）和点B（2，3）．
（1）求此一次函数的解析式．
（2）求M，N的坐标．
（3）在坐标系中画此一次函数的图象．
（4）若点C坐标为（3，0），求△MNC的面积．
【解答】解：（1）设一次函数表达式y=kx+b，将A（3，2），B（2，3）代入组成方程组，
，
解得：，
∴一次函数表达式为：y=﹣x+5；
（2）令y=0，则0=﹣x+5，
∴x=5，
∴M点坐标为（5，0）；
令x=0，y=5；
∴N点坐标为（0，5）；
（3）函数图象如图所示：
（4）∵M点坐标为（5，0），C的坐标为（3，0），
∴MC=5﹣3=2，
∵N点坐标为（0，5），
∴ON=5，
∴S△MNC=MC?ON=×2×5=5．
22．（6分）矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DF∥AC，AE，DF交于点G．
（1）判断四边形AODG的形状并证明．
（2）连接GB，GC，猜想GB与GC的数量关系并证明．
【解答】解：（1）四边形AODG是菱形，
理由：∵AE∥BD，DF∥AC，
∴四边形AODG是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODG是菱形；
（2）GB=CG，
理由：连接GB，GC，
∵四边形AODG是菱形，
∴GA=GD，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠GAB=∠GDC
在△GAB与△GDC中，，
∴△GAB≌△GDC（SAS），
∴GB=GC．
23．（9分）如图，直线y=kx﹣2与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OC=2OB．（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A（m，n）为直线y=kx﹣2上一动点，请写出在点A的运动过程中，△AOC的面积S与m的函数关系式．
（3）当点A运动到何处时，△AOC的面积S=4？
【解答】解：（1）对于直线y=kx﹣2，
令x=0，得到y=﹣2，即C（0，﹣2）；令y=0，得到x=，即B（，0），
由OC=2OB，得到=，
解得：k=2，即B（1，0）；
（2）①过A作AD⊥y轴，垂足为D，由题意得：A（m，2m﹣2），即AD=|m|，则△AOC的面积S与m的函数关系式S=×|m|?OC=|m|；
②令S=4，得到|m|=4，即m=±4，
∴点A运动到（4，6）或（﹣4，﹣10）处时，S=4．
24．（5分）如图，矩形纸片ABCD的长AD=10cm，宽AB=5cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后AE的长是多少？
【解答】解：设DE=x，
由折叠得：BE=x，
∵AD=10cm，
∴AE=（10﹣x）cm，
∴在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴52+（10﹣x）2=x2，
∴解得：x=，
∴AE=10﹣=cm
答：折叠后AE的长是cm．
25．（8分）如图，在正方形CD中，AC为对角线，点P为线段AC上任意一点（不
与A，C重合），过点P作PE⊥AD于E，PE⊥CD于F，连接EF．（1）△ABP的面积与四边形APFE的面积有何数量关系，并给出证明．（2）线段BP与线段EF有何关系，证明你的结论．
【解答】解：（1）△ABP的面积与四边形APFE的面积相等．理由：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDF=90°，
又∵PE⊥AD于E，PE⊥CD于F，
∴∠PED=∠PFD=90°，
∴四边形PEDF是矩形，
∴△PEF的面积与△PED的面积相等，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称，
∴S△ABP=S△ADP=S△APE+S△PDE=S△APE+S△PEF=S四边形AEFP，
∴S△ABP=S四边形AEFP；
（2）PB=EF且PB⊥EF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∴PB=PD，
∵四边形PEDF是矩形，
∴EF=PD，
∴EF=PB，
如图，延长BP交EF于G，
∵AB∥PE，
∴∠ABP=∠EPG，
又∵∠ABP=∠ADP，∠EDP=∠EFP，
∴∠EFP=∠EPG，
又∵Rt△PEF中，∠EFP+∠PEF=90°，
∴∠EPF+∠PEF=90°，
∴∠EGP=90°，即PG⊥EF，
∴BP⊥EF．
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