20-21版：1.2.2 第1课时 函数的表示法（步步高）

1．2.2函数的表示法
第1课时函数的表示法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点一解析法
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
知识点二图象法
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．
知识点三列表法
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数三种表示法的优缺点
1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)
2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)
3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)
4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)
题型一函数的表示方法
例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解(1)列表法：
x/台12345678910
y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000 (2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
反思感悟(1)函数三种表示方法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点
①解析法必须注明函数的定义域；
②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；
③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
跟踪训练1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()
答案 D
解析由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()
x 12345
y 4532 1
A.1 B．2 C．4 D．5
答案 B
解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
题型二 函数的图象
例2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2
x ，x ∈[2，＋∞)；
(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表：
x 0 12 1 32 2 y
1
2
3
4
5
当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x 2 3 4 5 … y
1
23
12
25
…
当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2
x
的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2 y
－1
3
8
画图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．
反思感悟
(1)作函数图象的三个步骤
①列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．
②描点．把第①步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来．
③连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
注意：所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点．
(2)常见函数图象的画法技巧
①对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得．
②对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得．
跟踪训练2作出下列函数图象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
所以图象为一直线上的孤立点(如图①)．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
所画函数图象如图②.
题型三 求函数解析式
命题角度1 待定系数法求函数解析式
例3 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式． 解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，
由恒等式性质，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝2，
ab ＋b ＝－1，
∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧
a ＝－2，
b ＝1＋ 2.
∴所求函数解析式为
f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.
反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等．
跟踪训练3 已知f (x )是二次函数且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，a ＋b ＝0，即a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1.
命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 (1)设函数f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )
A.1＋x 1－x
(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1
(x ≠－1) 答案 C
解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t
1＋t
(t ≠－1)，
∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)，即f (x )＝1－x
1＋x (x ≠－1)．
(2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式． 解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －1
2，
∴f (t )＝6·t －1
2＋5＝3t ＋2.
∴f (x )＝3x ＋2.
方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2， ∴f (x )＝3x ＋2.
反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式．特别注意：换元法要注意新元的范围．
跟踪训练4 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2
x 2，则f (x )等于( )
A.4(1－x )2＋1(x ≠1)
B.4(1－x )2－1(x ≠1)
C.4(1－x )2(x ≠1)
D.2(1－x )2
－1(x ≠1) 答案 B
解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4
(1－t )2－1(t ≠1)，
∴f (x )＝4
(1－x )2
－1(x ≠1)．
(2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式． 解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.
∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. 方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1 ＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2， ∴f (x )＝x 2＋2x －2.
命题角度3 构造方程组求函数解析式
例5 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式． 解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，
将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，
∴f (x )＝1
3
x 2－2x .
反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫
1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 跟踪训练5 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式． 解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x 互换，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x
. 于是得关于f (x )的方程组⎩⎨
⎧
f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫
1x ＝x ，
f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x
，
解得f (x )＝23x －x
3
(x ≠0).
1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))等于( )
x 1 2 3 4 f (x )
3
2
4
1
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 A
2．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )等于( ) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．3x ＋2 D ．3x ＋4
答案 A
解析 f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1.即f (x )＝3x －1.
3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
答案 C
4．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝
2
2
x (x >0) B ．y ＝
2
4
x (x >0)
C．y＝
2
8x(x>0) D．y＝
2
16x(x>0)
答案 A
5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________．答案f(x)＝－x2－4x－1
解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
1．作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象．画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
2．求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).。