陕西省咸阳市高考模拟考试试题(三,理数,)

2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）
理科数学
第Ⅰ卷 （选择题 50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数z 满足(2)1z i i -=+，那么复数z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i -
2. 已知02x M x
x ⎧
⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，{}
2N x =，则M N I （ ）
A. ∅
B. {}|04x x <≤
C. {}|02x x <≤
D. {}|02x x << 3. 下列四个命题中，假命题为（ ）
A. 存在x R ∈，使lg 0x >
B.存在x R ∈，使1
22x = C. 任意x R ∈，使20x
> D. 任意x R ∈，使2
310x x ++>
4. 已知向量(cos ,sin )p A A =u r ，(cos ,sin )q B B =-r
，若A ，B ，C 是锐角ABC ∆的三个内
角，则p u r 与q r
的夹角为（ ）
A.锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 以上都不对
5. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为（ ） A.
78 B. 58 C. 56 D. 34
6. 执行如下图所示的程序框图，则输出k 的结果是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
俯视图 左视图
第5题
7. 定义运算a *()()
b a b b a a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数()x x
f x e e -=*的图像是（ ）
8. 已知数组11(,)x y ，22(,)x y ，…，1010(,)x y 满足线性回归方程$y bx a =+，则“00(,)x y 满足线性回归方程$y bx a =+”是“1210010x x x x ++⋅⋅⋅+=，1210
010
y y y y ++⋅⋅⋅+=”的
（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
9. 若圆C ：2
2
2430x y x y ++-+=关于直线240ax by +-=对称，则22
a b +的最小值
是（ ） A. 2
B.
C. D. 1
10. 如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图，其中A 、B 、C 、D 是被划分的四个区域，现用红、黄、蓝、白4种不同颜色的花选栽，要求每个区域只能栽同一种花，允许同一颜色的花可以栽在不同的区域，但相邻的区域不能栽同一色花，则A 、D 两个区域都栽种红花的概率是（ ） A. 18 B. 14 C. 12 D. 3
4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本小题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中的横线上） 11.
在二项式3
)n
x
的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且
72A B +=，则n = .
12. 设()f x 是定义在R 上最小正周期为
53π的函数，且在2[,)3
π
π-上
D
A
B
C
2sin ,[,)()3
cos ,[0,)x x f x x x πππ⎧
∈-⎪
=⎨⎪∈⎩
，则16()3f π-的值为 . 13. 有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为 .
14. 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O 、F 、G ，且直
线2a x c =与x 轴相交于点H ，则||
||
FG OH 最大时椭圆的离心率为 .
15. （考生注意：请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A.（不等式选做题）若不等式1
|21|||a x x
-≤+对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .
B.（几何证明选做题）如右图，直角三角形ABC 中，90B ∠=o
，4AB =，以
BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2AD =，则C ∠的大小为 .
C.（极坐标与参数方程选做题）若直线l 的极坐标方程为cos()324
π
ρθ-
=，圆C ：
cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数）上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本大题满分12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图像如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()8
y f x π
=+
的零点.
17.（本大题满分12分）
O y
x
2
2
-58
π
8
π
已知等比数列{}n a 中，34a a -是2a 与3a -的等差中项，且11
2
a =，1q ≠. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 满足：112221n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-，（*
n N ∈），求数列{}n b 前n 项
和n S
18. （本小题满分12分）
如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥
平面1A BC .
（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；
（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60o
，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下： 若以下表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
（1）求（2）5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
（3）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列及数学期望
20.（本小题满分13分）
已知抛物线2
4x y =，过点(0,)A a （其中a 为正常数）任意作一条直线l 交抛物线C 于,M N 两点，O 为坐标原点.
1C
1B
1A
C
B
A
D
（1）求OM ON ⋅u u u u r u u u r
的值；
（2）过,M N 分别作抛物线C 的切线12,l l ，试探求1l 与2l 的交点是否在定直线上，证明你的结论.
21. （本小题满分14分）
已知函数2
()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>.
（1）若直线l 交()f x 的图像C 于,A B 两点，与l 平行的另一条直线1l 切图像于M ，求证：
,,A M B 三点的横坐标成等差数列；
（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：444444ln 2ln 3ln 2
23n n e
++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为2.71828）.
2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）
理科数学答案
一、选择题
11．3n =； 12.2-
； 13.3
n a n =； 14.12
；
15．A. 1322,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
；B.30o ; C.1. 三、解答题
16．解：（Ⅰ）由图知2A =, 5288T πππ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
, ∴2ω= ……………3分
∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4
sin(
2)8
(=+=ϕπ
πf
∴sin(
ϕπ+4
)=1, ∴
ϕπ+4
=
ππk 22
+,ϕ=
4
π+2k π,(k ∈Z)
∵2
0π
ϕ<
<,∴ϕ=
4
π
∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()224sin f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， ∴2222082()sin cos f x x x π
π⎛
⎫+
=+== ⎪⎝
⎭ ……………9分 22
,x k π
π=+
即()24
k x k Z ππ
=
+∈ ∴函数8
()y f x π
=+
的零点为()24
k x k Z ππ
=
+∈ ……………12分 17．解：(I)由已知得34231
22
(),a a a a q -=-=
故()1q ≠ 111
22
n n a a ==因，所以 ……………6分
(II)当1n =时111a b =，12b =
因为112221n n a b a b a b n +++=-L
当n ≥2时112211211()n n a b a b a b n --+++=--L
两式相减得2n n a b =，得1
2n n b +=.()()
12122n n n b n +⎧=⎪=⎨
≥⎪⎩ ……………10分 226n n S +=-()
n N *∈ ……………12分
18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1，∴BC AD ⊥.
∵111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，∴BC AA ⊥1. ∵A AA AD =⋂1，AD ⊆平面11A ABB ,1AA ⊆平面11A ABB ,
∴⊥BC 平面11A ABB . ……………6分 （Ⅱ）Q
⊥BC 平面11A ABB .∴AB BC ⊥.又
BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如图所示的空间直角坐标系
xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ，
∴2=
=BC AB .
从而，)(
)()
0000000,,,,,A
B C
设存在满足条件的点E 坐标为()()0002,,a a <<
由（Ⅰ）知平面11A ABB 的法向量BC uuu r
=()
00, …6分
令平面ACE 的法向量(),,n x y z =v
00n AC n AE ⎧⋅=⎨
⋅=⎩v u u u v
v u u u v
，0
az ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
令z =
得(,n a a =v
.
Q 平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60o
∴1
2
cos ,n BC ==u vu u u v ，的1a =
所以当E 为棱
BB 中点时平面AEC 与平面A ABB 的夹角等于60o
. ……………12分 ()40045026037703800962......E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分
20．解：(Ⅰ)设直线l 方程为y kx b =+，()()1122,,,M x y N x y
2
4y kx a x y
=+⎧⎨=⎩消去y 得2
440x kx a --=，所以121244,x x k x x a +==- ()()()212121212y y kx a kx a k x x ak x x a =++=+++=2244ak ak a a -++=
故212124OM ON x x y y a a =+=-+u u u u r u u u r g . ……………6分
（Ⅱ）12
'
y x =
1l 方程为()2111142,x y x x x -=-整理得2111
24
x y x x =-
同理得1l 方程为2221
24
x y x x =-
……………9分
联立方程()()
2112
221
1241224
x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
()()2112x x ⨯-⨯得()()
1221214
x x x x x x y --=
，12
4
x x y a =
=- 故12l l 与的交点在定直线y a =-上. ……………13分 21．解：（Ⅰ）设切点M 的横坐标为0x ,,A B 点的横坐标分别为12,x x ； 因为()4'f x x =，所以1
04l l k k x ==；令AB 方程为04y x x b =+
2024y x y x x b
⎧=⎨
=+⎩消去y 得20240x x x b --=，当2
01680x b =+>V 时 1202x x x +=，所以B M A ,,三点的横坐标成等差数列. ……………4分
（Ⅱ）令x a x x g x f x F ln 2)()()(2
-=-=，x a x x F -
=4)('， 令0'()F x =，得2a x =，所以()f x
的减区间为02,⎛ ⎝⎭
，增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()F x 极小值=2ln
2)(min a a a x F -=，只要02
ln 2≥-a
a a 即可， 得e a 4≤且0a >，即](04,a e ∈. ……………10分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得x e x ln 422
≥，即
2
42
ln 4ex
x x ≤，所以 e n n e n e n n 2
))1(1321211(2)13121(2ln 33ln 22ln 2
22444444<
-++⨯+⨯<+++≤+++ΛΛΛ ……………14分。