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2021年高考数学一轮复习第二讲双曲线讲练理新人教A版
一、双曲线定义
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c) ，则点P的轨迹叫做双曲线．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c ＞0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
二、双曲线的标准方程和几何性质
巧设双曲线方程
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2
b 2＝
t (t ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2
n
＝1(mn ＜0)．
基础自测
1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫62，0 D ．(3，0)
【解析】 双曲线的方程可化为x 2
－y 2
12＝1， ∴a 2
＝1，b 2
＝12，c 2＝a 2＋b 2
＝32
，
⎝⎭【答案】C
2．设双曲线x2
a2
－
y2
9
＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】渐近线方程可化为y＝±3
2
x.∵双曲线的焦点在x轴上，
∴9
a2＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
±
3
2
2，解得a＝±2.由题意知a＞0，∴a＝2.
【答案】C
3．设P是双曲线x2
16
－
y2
20
＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若
|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，
又|PF1|＝9，
∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，
∴|PF2|＝17.
4．已知双曲线C：x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点
到较近焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．【解析】依题意c－a＝1，①
又e＝c
a
＝2，即c＝2a②
由①②联立，得a＝1，c＝2.
∴b2＝c2－a2＝3，故双曲线C为x2－y2
3
＝1.
【答案】x2－y2
3
＝1
5．(xx·北京高考)若双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1的离心率为3，则其渐近线方程为
( )
A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±1
2
x D．y＝±
2
2
x
【解析】∵e＝3，∴c
a
＝3，即
a2＋b2
a2
＝3，
∴b2＝2a2，∴双曲线方程为x2
a2
－
y2
2a2
＝1，
∴渐近线方程为y＝±2x.
6．(xx·陕西高考)双曲线x 2
16－y 2m ＝1的离心率为5
4，则m 等于________．
【解析】 x 2
16－y 2
m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m .
而e ＝54，∴ 16＋m 4＝54，∴m ＝9.
【答案】 9
考点一 双曲线的定义及标准方程
例1．（xx 广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3
2
，则C 的方程是( ) A.x 24－y 25
＝1 B.x 24－y 2
5＝1 C.x 22－y 2
5
＝1 D.x 22－y 2
5
＝1 解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c ＝3，a
＝2，b ＝ c 2－a 2＝ 32－22
＝5，故双曲线的方程为x 24－y 2
5
＝1.
答案：B
2.(xx·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )
A.1
4
B.
3
5
C.
3
4
D.
4
5 (1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，
由余弦定理cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
2|PF1|·|PF2|
＝
3
4
，选C.
【答案】C
方法技巧利用双曲线定义求方程，要注意三点：1距离之差的绝对值，22a＜|F1F2|，3焦点所在坐标轴的位置.
跟踪练习（2011山东）已知双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和
圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x2
5
－
y2
4
＝1 B.
x2
4
－
y2
5
＝1
C.x2
3
－
y2
6
＝1 D.
x2
6
－
y2
3
＝1
解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay
＝0，根据已知得
3b a 2＋b
2
＝2，即3b
3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 2
4
＝1.
答案：A
考点二 双曲线的几何性质
例（xx 山东） 已知双曲线的焦距为，右顶点为A ，抛物线的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 。

【答案】
【解析】 由题意知，
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为， 即代入双曲线方程为，得， 渐近线方程为.
跟踪练习 (xx·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两
个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
【解析】 设点P 在双曲线右支上．
∵PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝2c ，且∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .又点P 在双曲线右支上，
∴e＝c
a ＝
2
3－1
＝3＋1.
【答案】3＋134439 8687 蚇26849 68E1 棡 HyT28273 6E71 湱 +26402 6722 朢32569 7F39 缹 K。