考点07 三角恒等变换与解三角形【暑假期学习】新高三一轮复习理科数学人教版(原卷+解析)

考点07
三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．化简2cos 24sin tan 44α
ππαα=
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（）
A ．cos α
B ．sin α
C ．1
D ．
1
2
2．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（
）
A ．1
-B ．1
C ．12
-
D ．
12
3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（
）
A ．37
B ．13
C
D
4．在ABC
中，c =
，45B =︒，60C =︒，则b =（
）
A
．
2B
．
2
C ．
322
D
5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6
A π
=
，则ABC ∆解的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
二、填空题
6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则sin sin sin a b c
A B C
++++=_______.
7
．已知sin
cos 223
θθ+=
，则sin θ=_____.8．若tan 2α=，则sin 2α=
.
三、解答题
9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且3
2,cos 5
a B ==
.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.
10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；
（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．
一、选择题
11．下列命题中，不正确的是（
）
A ．在ABC ∆中，若A
B >，则sin sin A B >B ．在锐角AB
C ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形
D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a =3,b =
则ABC S ∆等于（
）
A ．2
B ．3
C ．
32
D ．2
二、填空题
13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224
b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，
则角C ＝________.
三、解答题
15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4
ADC AB BD π
∠=
==（1）求AD 和sin B ；
（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .
考点07
三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．化简2cos 24sin tan 44α
ππαα=
⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（）
A ．cos α
B ．sin α
C ．1
D ．
1
2
【答案】D
【解析】化简分母得，
24sin tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()221cos 21tan 2=421tan cos sin 2(1sin 2)cos sin 2cos sin 2cos 2πααα
αααααααα
⎛⎫-+ ⎪
-⎝⎭⋅
⋅+-=+⋅
+=-=.
故原式等于12
.故选D ．
2．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（
）
A ．1-
B ．1
C ．12
-
D ．
12
【答案】A
【解析】因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββ
ααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-，
又tan()3αβ-=，tan 2β=，故5
tan -116
α==-.故选A.
3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（
）
A ．37
B ．13
C
D
【答案】D
【解析】∵3,4,120a b C ︒==∠=，
∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，
∴c =
，
故选D ．
4．在ABC 中，c =
，45B =︒，60C =︒，则b =（
）
A ．
2B ．
2
C ．
322
D 【答案】D
【解析】在ABC 中，c =，45B =︒，60C =︒
由余弦定理有：sin sin c b C B =,即sin sin 45sin sin 60c B b C ⋅︒
===︒
故选D
5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6
A π
=
，则ABC ∆解的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
【答案】C
【解析】在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
所以24962
c c =+-⋅
，即250c -+=，解得3372c =
或337
2
c =，所以ABC ∆解的个数是2.故选C
二、填空题
6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则
sin sin sin a b c
A B C
++++=_______.
【答案】
【解析】因为,,A B C 成等差数列且A B C π++=，
所以3B π=即3
B π
=，所以外接圆的直径3
223sin 3
2
b R B ===，由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===可得
223sin sin sin a b c
R A B C ++==++，故填23.7．已知23
sin
cos 223
θθ+=
，则sin θ=_____.【答案】
13
【解析】由题得2
21sin cos +2sin cos ,sin 22223
43θθθθθ+=∴=.故填
1
3
8．若tan 2α=，则sin 2α=
.
【答案】45
【解析】
sin 2α
.
故填
45
三、解答题
9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且32,cos 5
a B ==
.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.【解析】（1）∵3
cos 05
B =>,且0B π<<，∴2
4sin 1cos 5
B B =-=
，由正弦定理得
sin sin a b A B
=，
∴
4
2sin 25sin 45
a B
A b
⨯
=
==；（2）∵1
sin 42
ABC S ac B ∆==，∴
14
2c 425
⨯⨯⨯=，∴5c =，
由余弦定理得2
2
2
2
2
3
2cos 25225175
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，
∴b =10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；
（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．
【解析】（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
故1
cos 2
A =-，0120A =；
（2）由（1
）得：
001
sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22
B C B B B B B +=+-=
+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.
一、选择题
11．下列命题中，不正确的是（
）
A ．在ABC ∆中，若A
B >，则sin sin A B >B ．在锐角AB
C ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形
D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形【答案】D
【解析】A ：在ABC ∆中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >，故本命题是正
B ：因为AB
C ∆是锐角三角形，所以02
C <<
π
，由三角形内角和定理可知；02A B ππ<--<，即有22
A B A B ππ
+>⇒>-，因为ABC ∆是锐角三角形，
所以,A B 为锐角，因此可得：sin sin()cos 2
A B B π
>-=，故本命题是正确的；
C ：由余弦定理可知；2222cos b a c ac B =+-⋅，又因为60B =︒，2b ac =，所以有：2222220()0ac a c ac a c ac a c a c =+-⇒+-=⇒-=⇒=，
因此ABC ∆是等腰三角形，而60B =︒，所以ABC ∆是等边三角形，故本命题是正确的；D ：由正弦定理可知；
sin sin a b A B
=，而cos cos a A b B =，所以有11
sin cos sin cos sin 2sin 2sin 2sin 222
A A
B B A B A B =⇒
=⇒=，,(0,)2,2(0,2)A B A B ππ∈∴∈ ，
于是有22A B =或22A B π+=，即A B =或2
A B π
+=
，所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形，因此本命题不正确.故选D.
12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a
=b =
则ABC S ∆等于（
）
A
B
C ．
32
D ．2
【答案】C
【解析】∵A +C ＝2B ，A +B +C ＝180°，∴B ＝60°，∵a ＝1，b
＝，sin B
＝
2
，∴由正弦定理sin a A ＝sin b B 得：sin A ＝asin B b
1＝1
2
，∵a ＜b ，∴A ＜B ＝60°，∴A ＝30°，即C ＝90°，则sin C ＝1．
所以11=
sin 11=222
ABC S ab C ∆=⨯
二、填空题
13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
【答案】
3
6
【解析】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A =15°，∠CBD =75°，AB =1km ，
△
BC
=00sin15sin 60，△CBD 中，CD =BCcos 15°=00
1
sin 302
sin 60=36km ．
故填
6
．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为222
4
b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，
则角C ＝________.
【答案】
512
π
【解析】由题意222
4
b c a S +-=，又
222cos 2b c a A bc +-=，所以
11
sin 2cos 24
bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4
π
=，又sin sin
sin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
由正弦定理可得，sin sin sin cos 2
B B
C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos
2sin cos 222
B B B B ==，因为cos
02
B
≠，所以1sin
22
B =，又022B π<<
6
12B π∴
=，即3B π
=，
53412
C πππ
π∴=-
-=.故填
512
π.三、解答题
15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4
ADC AB BD π
∠=
==（1）求AD 和sin B ；
（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .【解析】（1）344
ADB πππ∠=-
=，设AD x =，在ABD ∆中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即
22
512(2
x x =+-⨯-
，解得22x =-2x =，2AD ∴=.在ABD ∆中，2
2sin 52sin 55
AD ADB B AB
∠==
=.
故AD =，sin 5
B =
.（2）由(1tan )(1tan )2++=B C 得
tan tan 1tan tan C B C B +=-，tan tan tan()1
1tan tan C B
C B C B
++=
=-∵,B C 是三角形内角，∴(0,)B C π+∈，4
B C π∴+=
由（1）知sin 5
B =
，(0,2B π∈ ，25cos 5B ∴===，
210
sin sin()sin cos cos sin (cos sin )444210
C B B B B B πππ=-=-=-=
．。