【步步高】高考数学二轮复习 专题一第1讲集合、简易逻辑课件 理 大纲人教

3．(2010·广东)“m<14”是“一元二次方程 x2＋x＋m
＝0 有实数解”的
(A)
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
解析 若一元二次方程 x2＋x＋m＝0 有实数解， 则 Δ＝1－4m≥0，因此 m≤14. 故“m<14”是“方程 x2＋x＋m＝0 有实数解”的充分 非必要条件．
知能提升演练
一、选择题
1．(2010·广东)若集合 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，
则集合 A∩B 等于
(D)
A．{x|－1<x<1}
B．{x|－2<x<1}
C．{x|－2<x<2}
D．{x|0<x<1}
解析 因为 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|0<x<2}，所以 A∩B＝{x|0<x<1}，故选 D.
考题分析 “集合”是一最基础的数学知识点，也 是一重要的数学知识点，是一必考内容．本小题重点 考查了集合的表示方法和集合的基本运算，以及集合 元素的特征．体现了集合与不等式的简单结合．题目 难度不大，体现了高考面向全体考生、注重基础的原 则．
易错提醒 (1)容易忽视集合元素的特征．例如集合 A 中的元素 x∈R，集合 B 中的元素 x∈Z. (2)没有掌握“集合”及“交集”的意义． (3)运算错误．
2．(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成
立的
(A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 tan 2kπ＋π4＝tan 4π＝1，反之 tan x＝1，则 x ＝kπ＋π4(k∈Z)，∴“x＝2kπ＋4π”是“tan x＝1”的充 分不必要条件．
•
解 (1)由 2x2－7x＋3≤0，得12≤x≤3， ∴A＝{x|12≤x≤3}． 当 a＝－4 时，解 x2－4<0，得－2<x<2， ∴B＝{x|－2<x<2}． ∴A∩B＝{x|12≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}． (2)∁RA＝{x|x<12或 x>3}， 当(∁RA)∩B＝B 时，B⊆∁RA.
专题一 集合、简易逻辑、函数 与导数、不等式
第 1 讲 集合、简易逻辑
感悟高考 明确考向
(2010·全国)已知集合 A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x| x
≤4，x∈Z}，则 A∩B 等于
(D)
A．(0,2) B．[0,2] C．{0,2} D．{0,1,2}
解析 A＝{x||x|≤2，x∈R}＝[－2,2]，B＝{x| x≤4， x∈Z}＝{0,1,2，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．
题型三 充分必要条件 例 3 已知 p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0
(m>0)，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 思维启迪 先化简两不等式，再利用綈 p 是綈 q 的必 要不充分条件，求得 m 的取值范围．
解 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 由 x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得 1－m≤x≤1＋m. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， ∴q 是 p 的必要不充分条件，即 p 是 q 的充分不必要 条件．
( D)
A．(綈 p)或 q
B．p 且 q
C．(綈 p)且(綈 q)
D．(綈 p)或(綈 q)
思维启迪 本题可以根据有关的数学知识判断 p、q
的真假，再将 p、q 否定并判断真假，最后，验证答
案哪个为真．
解析 不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，
从而上述叙述中只有(綈 p)或(綈 q)为真命题．
4．已知集合 S＝{x|x－x 2<0}，T＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2
＋a≥0}(a∈R)，若 S∪T＝R，则实数 a 的取值范
围是
(C )
A．－1≤a≤1
B．－1<a≤1
C．0≤a≤1
D．0<a≤1
解析 S＝{x|x－x 2<0}＝{x|0<x<2}， T ＝ {x|x2 － (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ a≥0} ＝ {x|x≥a ＋ 1 或 x≤a}，
主干知识梳理
1．集合的基本概念 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．
2．集合的基本运算 (1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．
所以aa＋ ≥10≤2 ⇒0≤a≤1，选 C.
5．给出如下三个命题：
①四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要而
不充分条件是 ad＝bc；
②命题“若 x≥2 且 y≥3，则 x＋y≥5”为假命题；
③若 p 或 q 为假命题，则 p、q 均为假命题．
其中正确的命题序号是
(D )
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 解析 ①若 a，b，c，d 成等比数列，则有ba＝dc，即 ad ＝bc，但反过来却不一定成立，因此 ad＝bc 是 a，b，c， d 成等比数列的必要而不充分条件． ②根据不等式的性质，若 x≥2，且 y≥3⇒x＋y≥5 成立， 这是真命题．
即 p⇒q 但 q⇒p.
∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，
∴11－＋mm≤≥－102，，
解得 m≥9.
∴实数 m 的取值范围为{m|m≥9}．
探究提高 (1)本题还可以由 p、q 求得綈 p、綈 q， 再进而求解． (2)一个命题与它的逆否命题是等价命题，故常将綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，等价转化为 q 是 p 的必要 不充分条件．
5．简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词“且”，“或”，“非” 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来， 就得到一个新命题，记作“p 且 q”； 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来， 就得到一个新命题，记作“p 或 q”； 对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 “綈 p”． (2)命题 p 且 q，p 或 q 及綈 p 真假可以用下表来判定.
③若 p 或 q 为假命题，则 p、q 均为假命题，正确．故 ①③正确．
二、填空题 6．已知全集 U＝{－2，－1,0,1,2}，集合 A＝{－1,0,1}，
B＝{－2，－1,0}，则 A∩(∁UB)＝___{_1_}___.
解析 ∁UB＝{1,2}，所以 A∩(∁UB)＝{1}．
7．设 U＝R，集合 A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2
规律方法总结 1．熟练运用数形结合思想，利用韦恩图、数轴、函
数的图象来帮助分析和理解有关集合之间的关系， 进行集合的运算，训练自己的形象思维能力，从而 进一步提高自己的抽象思维与形象思维能力． 2．注意利用分类讨论的思想来解决集合之间的关系
和含有参数的问题，如在 A⊆B 的条件下，须考
虑 A＝∅和 A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的
则下列命题中为真命题的是
(B )
A．(綈 p)且 q
B．p 且 q
C．p 且(綈 q)
D．(綈 p)或(綈 q)
解析 “若 xy≠15，则 x≠5 或 y≠3”的逆否命题为 “若 x＝5 且 y＝3，则 xy＝15”，逆否命题显然正确， 所以命题 p 为真命题． 又 A＋B>π2，∴A>π2－B， ∴sin A>sin(2π－B)，即 sin A>cos B， 所以命题 q 为真命题．故 p 且 q 为真命题．
p
q p且q p或q 綈p
真真
真
真假
假
假真
假
假假
假
真
假
真
假
真
真
假
真
热点分类突破
题型一 集合的运算 例1 设全集是实数集 R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，
B＝{x|x2＋a<0}． (1)当 a＝－4 时，分别求 A∩B 和 A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B，求实数 a 的取值范围． 思维启迪 (1)化简集合 A、B，利用数轴求 A∩B 和 A∪B. (2)由(∁RA)∩B＝B，转化为 B⊆∁RA，进而确定 a 的关 系式求解．
讨论．
3．常见量词的否定
原词语 ＝
>
< 是 都是
否定词语 ≠
≤
≥ 不是 不都是
至少有 至多有 至少有 所有
原词语
或且
一个 一个 n 个 的
否定 词语
一个也 至少有 至少有 存在 且或
没有 两个 n+1 个 一个
4．注重利用集合的思想和等价转化的思想来处理简 单逻辑问题．如将充要关系的判定转化为集合的 包含关系；利用原命题和逆否命题的等价关系进 行命题的证明等.
①当 B＝∅时，即 a≥0 时，满足 B⊆∁RA； ②当 B≠∅时，即 a<0 时，
B＝{x|－ －a<x< －a}， 要使 B⊆∁RA，须 －a≤12，解得－14≤a<0. 综上可得，实数 a 的取值范围是 a≥－14.
探究提高 (1)有关集合的交、并、补的运算，应先 求各集合中的元素，利用韦恩图或数轴去解决． (2)注意转化关系：(∁RA)∩B＝B⇔B⊆∁RA，类似地 A∪B＝B⇔A⊆B. (3)B⊆∁RA 的转化，应注意对 B 进行讨论，B 为空集
变式训练 3 已知命题 p：2x2－9x＋a<0，命题 q：
x2－4x＋3<0， x2－6x＋8<0，
且綈 p 是綈 q 的充分条件，求实
数 a 的取值范围．
解 解 q 得：2<x<3，∵綈 p 是綈 q 的充分条件，
∴綈 p⇒綈 q 即 q⇒p.
设函数 f(x)＝2x2－9x＋a，则命题 p 为“f(x)<0”． ∴q⇒p，利用数形结合， 应有ff23≤≤00，， 即22××2322－－99××23＋＋aa≤≤00，， 解得aa≤ ≤190，， ∴a≤9. 故实数 a 的取值范围是{a|a≤9}．
或 B 为非空集合，遗漏 B＝∅是易错点，要特别注意．
变式训练 1 (2010·浙江)设 P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，
则
( B)
A．P⊆Q
B．Q⊆P
C．P⊆∁RQ
D．Q⊆∁RP
解析 Q＝{x|－2<x<2}，∴Q⊆P.
题型二 命题与逻辑联结词
例 2 已知命题 p：所有有理数都是实数；命题 q： 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则 m 的值
是__1_或__2___．
解析 A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅得 B⊆A，
∵方程 x2＋(m＋1)x＋m＝0 的判别式 Δ＝(m＋1)2－
3．运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
4．四种命题及其关系 (1)命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题，可以写成“若 p， 则 q”的形式，其中 p 是条件，q 是结论． (2)四种命题间的关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系； 一个命题的逆命题与它的否命题同真同假． (3)充分必要条件．
探究提高 对含有逻辑联结词的命题的真假判断，一 是要抓住题目中给出的基本命题的真假判断准则，这 需要有其他数学知识作基础；二是要抓住含有逻辑联 结词的命题xy≠15，则 x≠5 或 y≠3；
命题 q：A、B 是锐角三角形的两内角，则 sin A>cos B，
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/102022/1/10