锐角三角函数

大于1吗？
B
┌
A
C
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以
大于1，甚至可逼近于无穷大.
探究新知
总结：直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先 利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定 义求解．
探究新知
边长无关.
探究新知
总结：1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，
tan
A＝
梯子的竖直高度 水平宽度 ,
tan A的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随 Nhomakorabea确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
探究新知
议一议
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以
探究新知
归纳总结
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边
与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
A的对边 tanA= A的邻边
B
结论：tanA的值越大，梯子越陡.
A
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
探究新知
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一
随堂练习
6.如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶
的点B，已知点B到山脚的 垂直距离为55 m，求山的
坡度（结果精确到0.001).
B
解：由勾股定理可知，
AC＝ AB2 BC2 ＝ 2002 552 ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ BC ≈ 55 ≈0.286.
AC
192.289
tan∠BAC＝
.
解析：设小正方形的边长为1,取AB与格 点的交点为D,AC与格点的交点为E，则
tan∠BAC＝
.
B
A
C
B D
AE C
随堂练习
5. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所 夹的锐角为α，tanα＝ ，求t的值．
解：作AE⊥x轴于 E，得AE＝3，OE＝t， 由tanα＝ ＝ , 得t＝2.
所以，山的坡度大约是0.286.
随堂练习
7. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修 建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥下底的长度 AD＝23 m，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水 平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求 天桥左边斜坡AB的坡度.
坡度
铅直高度
tan 水平宽度
谢谢~
和 B1C1
AC1
B2C2 AC2
有什么关系?
C1
∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°， ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2，
∴ B1C1 =B2C2 . AC1 AC2
探究新知
探究三: B
1.如果任意改变B2在梯子上的位置呢?你有什么想法?
B1
∠A的大小确定, ∠A的对边
与邻边的比值不变.
AC 240
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上 升了约107.3 m．
随堂练习
1. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比
是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，
则AC 的长是（ ）
B
A．5 米
B．10米
例1： 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯
比较陡?
13m
甲
5m
乙 6m
α
┌
┐ 8m β
解:甲梯中,tan 5 5 .
132 52 12
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常 用一个锐角的正 切表示梯子的倾 斜程度.
探究新知
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般 来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜 程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体 放置得越“陡”．
探究新知
核心知识点二： 坡度、坡角
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有 一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山 坡的坡度i(即tanα)就是:
i tan 60 3.
100 5
i
α 100m
60m ┌
探究新知
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。 2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比), 即坡度等于坡角的正切。 3.坡度越大,坡面越陡。
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2）BA1CC11
和
B2C2 AC2
有什么关系？
A
∵Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2，
∴ B1C1
B2C2
AC1 , 即 B1C1
AC2
AC1
B2C2 , AC2
B1 B2 B3
C3 C2
C1
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？ 比值不变
（4）由此你能得出什么结论？ 直角三角形中，锐角大小确定后，对 应的对边和邻边的比值也就确定了
答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间 的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定 理），还可以研究边与角之间的关系．
情境导入
在直角三角形中,知道一边和一个 锐角,你能求出其他的边和角吗?
猜一猜,这座古塔有多高? 想一想,你能运用所学的数学知识 测出这座古塔的高吗?
探究新知
核心知识点一： 正切的定义
探究新知
例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山 坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚 上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？
i=1:2
探究新知
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
tan 1 0.5，
2 因此 α≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m， 因此 sin BC BC ，
议一议: 梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形， 梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看作 是它的直角边，梯子的长可以看作是斜边.
研究直角三角形的边与角的关 系，让我们就从梯子与地面的 夹角（倾斜角）谈起.
铅 直 高 度 水平距离
探究新知
探究二: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
EF更陡
AB更陡
用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断.
探究新知
议一议: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
3m
3m
2m
当梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.
比值大的梯子陡.
你能设法验证这个结论吗？
探究新知
验证: B2
A C2
B1
Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系?
个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC
的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角
形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：对 ）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
邻
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的
C．15米
D．10 米
解析：∵BC : AC=1 : ,
C
A
BC=5米， ∴ AC=5 米.
随堂练习
解析： 设升高了x m，由勾股定理得，x2+(2x)2=(1000)2,解得x=
随堂练习
B
解析：在Rt△ABC中，tanα= , 所以AB= a·tanα .
随堂练习
4. 如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则
新课标 北师大版 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1锐角三角函数
学习目标
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生 活的联系；
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进 行简单计算；
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有 关的简单实际问题.
情境导入
对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？ 还可以研究什么？
随堂练习
解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF为矩形， ∴BF＝CE＝5(m)，BC＝EF＝10(m)， ∵ ＝1∶1.2，得ED＝6(m)， ∴AF＝ AD－EF－ED＝7(m)， ∴tan∠BAF＝ ＝ ＝1∶1.4.
课堂小结
定义
正切
与梯子倾 斜程度的 关系
∠A越大，tanA越大, 梯子越陡
2.如果改变∠A 的大小, ∠A的对边
与邻边的比值会随之改变吗?
A
B2
C2
C1
∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变.
探究新知
想一想：若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚 的距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？ 你有什么锦囊妙计？
小亮的建议：可以选 梯子上的一点B2，并 过此点作垂线得到 B2C2，可以计算B2C2与 AC2的比值来代替，你 同意吗？为什么？
探究新知
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）
B1C1 AC1
和
B2C2有什么关系？
AC2
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
（4）由此你能得出什么结论？
B1 B2 B3
A
C3 C2
C1
探究新知
直角三角形的边与角的关系：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？