高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷理科附详细答案101105

高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数=.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数
据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB
的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.
20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标.
21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）
A.30
B.20
C.15
D.10
【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.
【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，
令r=2可得，T3=C62x2=15x2，
∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，
在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.
故选：C.
【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.
2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）
A.{﹣1，0，1，2}
B.{﹣2，﹣1，0，1}
C.{0，1}
D.{﹣1，0}
【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.
【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，
∴A∩B={﹣1，0，1，2}.
故选：A.
【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.
3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得
【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，
即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题.
4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A.＞
B.＜
C.＞
D.＜
【分析】利用特例法，判断选项即可.
【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，，∴A、B不正确；
，=﹣，
∴C不正确，D正确.
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴.
故选：D.
【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确.
5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为
A.0
B.1
C.2
D.3
【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值.
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，
画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2.
故选：C.
【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.
6.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.
【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种.
故选：B.
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题.
7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）
A.﹣2
B.﹣1
C.1
D.2
【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案.
【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），
∴=m+=（m+4，2m+2），
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴=，
∴=，
解得m=2，
故选：D.
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档.
8.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A.[，1]
B.[，1]
C.[，]
D.[，1]
【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.
【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.
不妨取AB=2.
在Rt△AOA1中，==.
sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，
=1.
∴sinα的取值范围是.
故选：B.
【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题.
9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：
①f（﹣x）=﹣f（x）；
②f（）=2f（x）
③|f（x）|≥2|x|
其中的所有正确命题的序号是（）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案.
【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），
∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；
f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln （）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正
确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g （0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有①②③，
故选：A.
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档.
10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.
D.
【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题.
【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，
∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，
结合及，得，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2.
不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，
∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，
=.
当且仅当，即时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B.
【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式.
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高.
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.（5分）复数= ﹣2i .
【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果.
【解答】解：复数===﹣2i，
故答案为：﹣2i.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.
12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）= 1 .
【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值.
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1.
故答案为：1.
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”.
13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 60 m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.
【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，
AB=，根据正弦定理，，
得BC===60m.
故答案为：60m.
【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.
14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是 5 .
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.
【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题.
15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.
其中的真命题有①③④.（写出所有真命题的序号）
【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论.
【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R.反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；
（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M].
∴﹣M≤f（x）≤M.例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f （x）无最大值，无最小值，故②是假命题；
（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M.故f （x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）.
则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；
（4）对于命题④，∵﹣≤≤，
当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题.
故答案为①③④.
【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.
【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=.再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z. （2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（c os2α﹣sin2α），
∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣.
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣.
综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣.
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.
17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论.
（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可.
【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100.
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.
由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=.
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力.
18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB 的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
（1）证明：P是线段BC的中点；
（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.
【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2
设O为BD的中点，连接OA，OC
于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线
从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点
（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）
于是，，
设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和
由，则，设z1=1，则
由，则，设z2=1，则
cos===
所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值
【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题.
19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.
【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点
（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d.再
利用等差数列的前n项和公式即可得出.
（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2.进而得到an，bn.再利用“错位相减法”即可得出.
【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，
∴，
又等差数列{an}的公差为d，
∴==2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴=b8，
∴=4=2d，解得d=2.
又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.
（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，
又，令y=0可得x=，
∴，解得a2=2.
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，
∴bn=2n.
∴.
∴Tn=+…++，
∴2Tn=1+++…+，
两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣
=
=.
【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题.
21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.
【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而
判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；
（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点.
【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，
又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；
②当，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为
；
（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求.
若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）=（1＜x＜e）
则=，∴.由＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，
==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1.
【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点.是一道导数的综合题，难度较大.
20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标.
【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；
第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将
表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标.
【解答】解：（1）依题意有解得
所以椭圆C的标准方程为+=1.
（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），
①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率.
由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
所以，
于是，从而，
即，则直线ON的斜率，
又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m.
从而，即kOT=kON，
所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证.
②由两点间距离公式得，
由弦长公式得
==，
所以，
令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），
所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）.
【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：
1、设交点坐标，设直线方程；
2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定
理；
3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛高中数学联赛试题及参考答案
一、选择题（每小题6分，共30分）
1．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<=0
100
0)(x x x x x f π
，则)]}1([{-f f f 的值为（ ） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π
2．在ABC ∆中，
120=A ，5=AB ，7=BC ，则
C
B
sin sin 的值为（ ） A ．58B ． 85 C ．35D ．5
3
3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+ C ．2()ln
2x f x x -=+D ．()1
()2x x f x a a -=+
4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ） A ．
3316B ．12833C ．3332D ．11
4
5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有
i j a a -在该数列中．
①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；
④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．
则上述论断正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（每小题6分，共30分）
6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该
函数
在区间[−2, 1]上的图像，则
(2014)
(5)(15)
f
f f
⨯
的值等于．
7．在ABC
∆中，AB3
=，BC1
=，cos cos
AC B BC A
=，则AC AB
⋅=
8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．
9．给定平面上四点,,,
O A B C，满足4,3,2,3
OA OB OC OB OC
===⋅=，则ABC
∆面积的最大值为_________．
10．方程组
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
+
-
=
+
+
+
+
+
-
=
+
+
+
3
4
3
2
abcd
abc
abd
acd
bcd
cd
bd
bc
ad
ac
ab
d
c
b
a
的一个实数解为
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
_________
_________
_________
_________
d
c
b
a
三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分）
11．设集合}0
2
3
|
{2≤
+
+
=x
x
x
A，}0
|
{2≤
+
+
=b
ax
x
x
B，
(1) 若R
B
A
C
x
x
B
A
C
R
R
=
≤
<
-
=
)
(
},
2
1
|
{
)
(，求b
a,的值；
(2)若1
=
b，且A
B
A=
，求实数a的取值范围．
12．函数x
x
x
x
f3
cos
sin
)1
cos
2(2
)
(2+
+
=，R
x∈．求函数)
(x
f的最大值．
13．直线m的方程为1
y kx
=+，,A B为直线m上的两点，其横坐标恰为关于x的一元二次方程22
(1)220
k x kx
---=的两个不同的负实数根．直线l过点(2,0)
P-和线段AB的中点，CD是y轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线l，当l和线段CD无公共点时，CD长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由．
14．若存在集合,A B满足：A B=∅，且A B
+
=N，则称(,)
A B为
+
N的一个二分划．
（Ⅰ）设{|3,},{|31,},A x x k k B x x k k ==∈==±∈++N N 判断(,)A B 是否为+N 的一个二分划，说明理由； （Ⅱ）是否能找到+N 的一个二分划(,)A B 满足： ①A 中不存在三个成等比数列的数； ②B 中不存在无穷的等比数列． 说明理由．
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<=0
100
0)(x x x x x f π
，则)]}1([{-f f f 的值为（ ） A ．1+π B ．0 C ．1 D ．π 解：{[(1)]}((0))()1f f f f f f ππ-===+． 答案: A ．
2．在ABC ∆中，
120=A ，5=AB ，7=BC ，则
C
B
sin sin 的值为（ ） A ．
58B ． 85 C ．35D ．5
3
解：由正弦定理，得5sin sin 7c C A a ===
，
于是cot C =．
所以
sin sin()sin cos cos sin sin cot cos sin sin sin B A C A C A C
A C A C C C
++===+
1325
=
-=． 答案: D ．
3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+
C ．2()ln 2x f x x -=+
D ．()1
()2x x f x a a -=+ 解：设2()ln 2x f x x
-=+，则22()ln ln ()22x x
f x f x x x +--==-=--+
因此，2()ln 2x
f x x
-=+是奇函数．
又24
122x t x x
-=
=-+
++为区间[]1,1-上的单调递减函数，ln y t =为区间(0,)+∞上的单调递增函数，而
2()ln 2x f x x
-=+为ln y t =与22x t x -=+的复合函数，因此函数2()ln 2x
f x x
-=+在区间[]1,1-上单调递减． 答案: C ．
4．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者．则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）
A ．
3316B ．12833C ．3332D ．11
4 解：选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率12
654
122216
33
C C P C ⨯⨯==． 答案: A ．
5．若五项的数列:}{n a 12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤<<<<，且对任意的,(15)i j i j ≤≤≤，均有
i j a a -在该数列中．
①10a =； ②524a a =； ③{}n a 为等差数列；
④ 集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素． 则上述论断正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解：论断正确的有①②③④．
因为∈=-011a a {}n a ，所以10a =； 因为132425250a a a a a a a a =<-<-<-< 且324252,,a a a a a a ---}{n a ∈
所以 322423524,,a a a a a a a a a -=-=-= 于是 21324354a a a a a a a a -=-=-=-
所以{}n a 为等差数列，且{}:0,,2,3,4n a d d d d ， 因此524a a =；集合{|15}i j A a a i j =+≤≤≤含9个元素．
答案: D ．
二、填空题（每小题5分，共30分）
6．函数y=f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间[−2, 1]上的图像，则
(2014)
(5)(15)
f f f ⨯的值等于．
解：(2014)(1)2
2(5)(15)(1)(0)(1)1
f f f f f f ===-⨯-⨯-⨯．
7．在ABC ∆中，AB 3=，BC 1=，cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅=
解：由已知得3,1,cos cos c a b B a A ===，于是sin cos sin cos B B A A =，即sin2sin2B A =．所以
B A =或90B A +=︒．
情形１：B A =，此时1,3,30b a c A ====︒，
所以33cos 13;2
AC AB bc A ⋅==⨯⨯
= 情形２：90B A +=︒，此时2
2,3,cos 3
b c A ===
， 所以2
cos 2323
AC AB bc A ⋅==⨯⨯
=．
8．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_______________．
解：由三视图判断该几何体为三棱锥P ABC -（如图）,由俯视图知平面PAB 丄平面ABC ，,2,1AC BC OC OA OB ====;再根据左视图得出OP AB ⊥，进而OP 丄平面ABC ，且OC AB ⊥，又从主视图中得出2OP OC ==．
所以3
46131=⋅⋅=⋅=
∆-OP OC AB OP S V ABC ABC P ． 9．给定平面上四点,,,O A B C ，满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为_________．
解：由题可知，2
2
27BC OB OC OB OC =+-⋅=，且OB 与OC 的夹角为60︒.
O A B P C
考虑以原点O 为圆心，半径分别为2,3,4的三个圆123,,O O O ，则可以将,C B 固定在圆12,O O 上，将A 在圆3O 上运动.作OD BC ⊥于D ，则当且仅当,,D O A 三点共线且DO 与DA 方向相同时，ABC ∆面积取得最大值最大．此时
由sin BC OD OC OB BOC ⋅=⋅⋅∠
，得OD =
max (OA OD)BC 1(42272
ABC S ∆+⋅=
=+=.
10．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++-=+++++-=+++ 3432abcd abc abd acd bcd cd bd bc ad ac ab d c b a 的一个实数解为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧====_________
___________________________
d c b a
解：d c b a ,,,恰为方程034322
3
4
=+--+x x x x 的四个实根． 方程034322
3
4
=+--+x x x x 可变形为
08)1(6)1(222=+++-++x x x x ．
于是212
=++x x 或412
=++x x
所以方程组的四个实数解为：
251+-，251--，2131+-，2
13
1--的排列． （答出四个数的任意一个排列即可）．
三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分） 11．设集合}023|{2
≤++=x x x A ，}0|{2
≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2)若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．
解：]1,2[--=A ，),1()2,(+∞---∞= A C R ，设b ax x x f ++=2
)(． （1） 由R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(可得]2,2[-=B ，
∴0,4.a b =⎧⎨=-⎩
（2）∵A B A = ，A B ⊂∴．
∴当Φ=B 时，由0<∆得22<<-a ．
当Φ≠B 时，若0=∆，则2±=a ，当2a =-时，{1}B =，不合题意；当2a =时，{1}B =-，
符合题意．
若0>∆，则0,(1)0,.(2)0,
12 1.f a f a ∆>⎧⎪-≥⎪⎪
⇒∈Φ-≥⎨⎪
⎪-≤-≤-⎪⎩
综上，22≤<-a ．
12．函数x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2
++=，R x ∈．求函数)(x f 的最大值． 解：x x x x f 3cos sin )1cos 2(2)(2
++=
)2cos(sin 2sin 2sin 22x x x x x +++=
x x x x x x x sin 2sin cos 2cos sin 2sin 2sin 22-++= x x x x x 2sin 2cos 2cos sin 2sin ++=
x x x 2sin 2)2cos(+-=x x cos sin 22+=2cos cos 22++-=x x
817)41(cos 22+--=x 8
17
≤．
当41cos =
x 时，函数)(x f 取最大值8
17． 13．直线m 的方程为1y kx =+，,A B 为直线m 上的两点，其横坐标恰为关于x 的一元二次方程
22(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根．直线l 过点(2,0)P -和线段AB 的中点，CD 是y 轴上
的一条动线段，考虑一切可能的直线l ，当l 和线段CD 无公共点时，CD 长的最大值是否存在？如果存
在，求出最大值；如果不存在，说明理由．
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则122
21k
x x k +=
- 记线段AB 的中点为M ，则1222
1
,1211M M M
x x k x y kx k k +===+=--． 设直线l 交y 轴于(0,)Q b ，根据(2,0)P -、(0,)Q b 、22
1
(
,)11k M k k --三点共线得： 22
1
0010(2)(2)1b k k k
---=
-----，于是2112b k k =-++． 又12,x x 为关于x 的一元二次方程2
2
(1)220k x kx ---=的两个不同的负实数根，知。