《试卷3份集锦》浙江省名校2020高二数学下学期期末经典试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2
B ．2
C ．-98
D ．98
2．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）
；在三维空间中，球的二维
测度（表面积）
，三维测度（体积）
.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的
三维测度，则其四维测度为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则(
)U
A B ⋂=（ ）
A ．{|20}x x -≤<
B ．1{|2}2
x x -≤< C ．1{|0}2
x x ≤<
D ．{|03}x x ≤<
4．已知离散型随机变量X 的分布列为表格所示，则随机变量X 的均值为（ ）
X
0 1 2 3
P
16
13
16
1P
A ．
3
B ．
3
C ．
3
D ．
6
5．设40
cos2t xdx π
=
⎰
,若2018
2012(1)x a a x a x t
-=++20182018a x ++,则
1232018a a a a +++
=( )
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．256
6．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞
B ．()0,∞+
C ．()0,1
D ．()0,2
7．已知函数()f x ，满足()y f x =-和(2)y f x =+均为偶函数，且(1)2
f π
=
，设()g x
()()f x f x =+-，则(2019)g =
A ．
2
π B ．
23
π C ．π
D ．
43
π 8．已知函数2()ln(1)
f x a x x ，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式
(1)(1)
1f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[15,)+∞
B ．[6,)+∞
C ．(6,15]
D ．(15,)+∞
9．牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ） A ．
115
B ．
23
C ．
35
D ．
45
10．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1
c z x
=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2
D ．至少有一个不小于2
11．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且| |3A F =，O 为坐标原点，
则AOF 的面积与BOF 的面积之比为 A ．
12
B ．
3 C ．3
D ．2
12．已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A ．32
t >
B ．32
t <
C ．12
t >
D ．12
t
二、填空题：本题共4小题 13．已知高为H 的正三棱锥的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角
的正
切值为4，则
______.
14．高二（1）班有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的
样本，则抽取的男生人数为____.
15．已知点M 在直线23324x t y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上，点N 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的动点，
则MN 的最小值为________________.
16．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2，则ω＝________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占
2
3
，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人. （1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概
率；
（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设
销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.
18．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费10元（不返还），游戏甲有3种结果：可能获得15元，可能获得10元，可能获得5元，这三种情况的概率分别为
1
6
，
1
2
，
1
3
；游戏乙有2种结果：可能获得20元，可能获得0元，这两种情况的概率均为
1
2
.
（1）某人花20元参与游戏甲两次，用X表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求X的概率分布及期望；
（2）用ξ表示某人参加n次游戏乙的收益，n为任意正整数，求证：ξ的期望为0.
19．（6分）已知函数()223
f x x x
=++-.
（1）若关于x的不等式()2
5
2
f x m m
<-的解集不是空集，求m的取值范围；
（2）设()
f x的最小值为λ，若正实数a，b，c满足a b cλ
++=.证明：
222222
7
a b a c b c
c b a
+++
++≥. 20．（6分）在四棱锥S ABCD
-中，//
AD BC，AC BC
⊥，222
AC SD AD BC SC
====，E为棱SC 上一点（不包括端点），且满足AE AD
⊥.
（1）求证：平面SAC⊥平面ABCD；
（2）F为SD的中点，求二面角F AC B
--的余弦值的大小.
21．（6分）已知二项式
2
n
x
x
⎛
⎝
的展开式的二项式系数和为64
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项；
22．（8分）函数()x m
f x e+
=，()2x x
g x
e
=，实数m为常数.
（I）求()
g x的最大值；
（II ）讨论方程()()
2
0x
f x e
g x +
=的实数根的个数. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A 2．B 【解析】 【分析】
根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到，求出
所求。

【详解】 由题知，，所以类比推理，猜想，
，因为
，
所以，故选B 。

【点睛】
本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。

3．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：
111
{|2,0},{|}{|}22
x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，
所以()U A B ⋂= 1
{|2}2
x x -≤<．
考点：集合的交集、补集运算． 4．C 【解析】
分析：利用离散型随机变量分布列的性质求得到1P ，进而得到随机变量X 的均值
详解：由已知得11111636P +++=，解得：113P = ∴E （X ）=11115
012363633
⨯+⨯+⨯+⨯=
故选：C
点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的基本性质，是基础题. 5．B 【解析】
分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++
=-，
详解：4
400
111cos22|02222t xdx sin x sin π
π
π===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以
()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B
点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法。

6．A 【解析】 【分析】
将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围. 【详解】
椭圆的标准方程为2
21
1x y m
+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，
则1
01m
<
<，解得1m ，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．C 【解析】
分析：根据函数的奇偶性和周期性求出()()201921g f =，然后即可得到答案 详解：由题意可得：()()f x f x -=
()()()222f x f x f x +=-+=- 故()()
4f x f x =+，周期为4
()()()()()()()()2019?20192019331121?g f f f f f f f π=+-=+-=-+==
故选C
点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。

8．A 【解析】 分析：首先，由
()()
11f p f q p q
+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间()1,2内
任意两点连线的斜率大于1，从而得到()211
a
f x x x =
->+'在()1,2内恒成立，分离参数后，转化成2231a x x >++在()1,2内恒成立，从而求解得到a 的取值范围.
详解：
()()
11f p f q
p q
+-+-的几何意义为：
表示点()()
1,1p f p ++与点()()
1,1q f q ++连线的斜率， 实数p ，q 在区间()0,1，故1p +和1q +在区间()1,2内，
不等式
()()
111f p f q p q
+-+>-恒成立，
∴函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在()1,2内恒成立， 由函数的定义域知1x >-，
()211
a
f x x x ∴=
->+'在()1,2内恒成立， 即2231a x x >++在()1,2内恒成立，
由于二次函数2
231y x x =++在()1,2上是单调增函数，
故2x =时，2
231y x x =++在()1,2上取最大值为15，
15a ∴≥.
故选：A.
点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题. 9．C 【解析】
分析：从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2
615C =种不同的选法，其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112
242819C C C +=+=种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解． 详解：由题意，从6名外国游客中选取2人进行采访，共有2
615C =种不同的选法， 其中这2人中至少有1人来过洛阳的共有112
242819C C C +=+=种不同选法，
由古典概型的概率计算公式可得93
155
p =
=，故选C ． 点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10．D 【解析】 【分析】
利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得
111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭6≥=， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，并设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y =-，由抛物线的定义得出点A 的坐标，可得出点B 的纵坐标2y 的值，最后得出AOF ∆的面积与BOF ∆的面积之比为
1
2
y y 的值.
【详解】
设点()11,A x y 位于第一象限，点()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，
将该直线方程与抛物线方程联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得2
440y my --=，124y y ∴=-，
由抛物线的定义得113AF x =+=，得12x =，2
1148y x ∴==，
10y >，122y ∴=，
可得出22y =-，1
1221
2212
AOF BOF
OF y S y S y OF y ∆∆⋅∴
===⋅，故选：D.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在直线与抛物线综合问题中的应用，解题的关键在于利用抛物线的定义以及韦达定理求点的坐标，并将三角形的面积比转化为高之比来处理，考查运算求解能力，属于中等题。

12．A 【解析】 【分析】
由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为
12t t -<-，即可求解．
【详解】
由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数， 又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得3
2
t >，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．
【解析】 【分析】 取线段
的中点，点在平面
的射影点，利用二面角的定义得出
为二面角
的平面
角，于此得出，并在中，由勾股定理，经过计算可得出与的比值。

【详解】 取线段的中点D ，设P 在底面的射影为M ，则，连接
，
（图略）.
设，易证
，，则
为二面角
的平面角，
从而
，则
，
.
在中，，即，解得，故.
故答案为：。

【点睛】
本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题。

14．3 【解析】 【分析】
根据分层抽样的比例求得. 【详解】
由分层抽样得抽取男生的人数为
人，
故得解. 【点睛】
本题考查分层抽样，属于基础题. 152 【解析】 【分析】
先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值. 【详解】
由题得直线方程为4320x y -+=， 由题意，点N 到直线的距离
d===
∴
min
MN=
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16．
3
4
【解析】
【分析】
【详解】
函数f(x)的周期T＝
2π
ω
，
因此f(x)＝2sinωx在0,
π
ω
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上是增函数，
∵0<ω<1，∴0,
3
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
是0,
π
ω
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
的子集，
∴f(x)在0,
3
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上是增函数，
∴
3
f
π⎛⎫
⎪
⎝⎭
，即2sin
3
π
ω
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
∴
3
π
ω＝
4
π
，
∴ω＝
3
4
，故答案为
3
4
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
291
494
；（2）440
【解析】
【分析】
（1）先计算出选取的3人中，全都是高于45岁的概率，然后用1减去这个概率，求得至少有1人的年龄低于45岁的概率.（2）首先确定“销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数”满足二项分布，求得销售额的表达式，然后利用期望计算公式，计算出销售额的期望.
【详解】
（1）设事件A 表示至少有1人的年龄低于45岁，
则()330340291
1494
C P A C =-=.
（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为
603
1005
=. 设X 表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
， 设Y 表示销售额，则()40501050010Y X X X =+-=-， 所以销售额Y 的数学期望3
5001050010104405
EY EX =-=-⨯⨯=（元）. 【点睛】
本小题主要考查利用对立事件来计算古典概型概率问题，考查二项分布的识别和期望的计算，考查随机变量线性运算后的数学期望的计算. 18．（1）分布列见解析，期望为53
-；（2）见解析． 【解析】
分析：（1）X 表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为10，5，0，5-，10- 分布列为：
（2）用ξ表示某人参加n 次游戏乙的收益可能取值为10n ，()102n -，()104n -，…，
()102n k -，…10n -（k N ∈且0k n ≤≤），每次独立，获奖的概率为1
2
.满足二项分布。

详解：（1）则X 的所有可能取值为10，5，0，5-，10-，
()2
1110636
P X ⎛⎫===
⎪⎝⎭，()1
21115626P X C ==⨯⨯=， ()2
1
2
11113063236
P X C ⎛⎫==⨯⨯+=
⎪⎝⎭，()1
21115233P X C =-=⨯⨯=， ()2
11
1039
P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，
()1113105036636E X =⨯
+⨯+⨯ ()()115510393
+-⨯+-⨯=-； （2）证明：ξ的所有可能取值为10n ，()102n -，()104n -，…，()102n k -，…10n -（k N ∈且0k n ≤≤）
， ()()11022n
n k n P n k C ξ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
（k N ∈且0k n ≤≤）
， ()()1111010222n n n n n
n E n C n C ξ-⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11022n
n k n n k C -⎛⎫+⋅⋅⋅+-⋅ ⎪⎝⎭
()011022n
n n n C ⎛⎫+⋅⋅⋅+-⋅ ⎪⎝⎭
()()1
10[222
n n n n n
n C n C n k -=
⋅+-⋅+⋅⋅⋅+- ()0]n k n n C n C -⋅+⋅⋅⋅+-⋅， ()()()01
10[222
n n n E n C n n C ξ=-⋅+--⋅ ()()22]k n n n n n k C n C +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅，
两式相加即得
()()()1
10[222
n n n n n
E n n C n n C ξ-=
-⋅+-+-⋅ ()()022]n k n n n k k n C n n C -+⋅⋅⋅+-+-⋅+⋅⋅⋅+-+⋅， 所以()0E ξ=.
点睛：（1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量X 的最小值和最大值，其它值随之确定。

（2）根据题意，要能判断出是否为二项分布，抓题目的关键词：事件相互独立（放回），每次事件成功的概率相等.
（3）二项分布的期望公式 ()E X np =，方差()()1D X np p =- 19．（1）1m <-或7
2
m >.（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）等式()2
52f x m m >-
的不是空集，等价于()f x 的最小值()2min 5
2
m f m x <-， ()min 37
22
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得答案
（2）由（1）知7
2
a b c ++=，再利用两次均值不等式得到答案. 【详解】
（1）不等式()2
52f x m m >-
的不是空集，等价于()f x 的最小值()2min 52
m f m x <-.
()331,232235,2213,2x x f x x x x x x x ⎧
-≥⎪⎪
⎪=++-=--≤<⎨⎪
-<-⎪⎪⎩
，可知()min 37
22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
所以
22527m m <-，解得：1m <-或72
m >. （2）由（1）可知()f x 的最小值为7
2，所以72
a b c ++=，
正实数a ，b ，c ，由均值不等式可知：222222
a b a c b c c b a
+++++
222ab ac bc c b a ≥++， 又因为
222ab ac bc b c a c b a a b c c b a c b c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()27a b c ≥++=. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 20．（1）证明见解析；（2）277
-.
【解析】 【分析】
（1）根据传递性，由BC ⊥平面SAC ，得到平面SAC ⊥平面ABCD
（2）作SO AC ⊥于点O ，过点O 作//Ox BC ，建立空间直角坐标系，求出各平面法向量后根据夹角公式求得二面角余弦值 【详解】
（1）证明：因为AD BC ∥，AE AD ⊥，所以BC AE ⊥， 又AC BC ⊥，AC AE A ⋂=，所以BC ⊥平面SAC ， 又BC ⊂平面ABCD ，所以平面SAC ⊥平面ABCD .
（2）
如图，作SO AC ⊥于点O ，过点O 作//Ox BC ， 则Ox ，OC ，OS 两两垂直，故以O 为坐标原点，
直线Ox ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
设1BC =，则1SC =，2SD =，1AD =
，所以SA = 又2AC =，所以SA SC ⊥
，2
SO =
，32AO =，
所以(0,0,0)O ，30,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，S ⎛ ⎝⎭，31,,02D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，10,,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭. 因为F 为SD
的中点，所以13,24F ⎛-- ⎝⎭
.
13,24AF ⎛=- ⎝⎭
，(0,2,0)AC =，
令(,,)n x y z =为平面FAC 的法向量，
则有0,0,n AF n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即130,244
20,
x y z y ⎧
-++=⎪⎨⎪=⎩
不妨设3z =
，则32n ⎛=
⎝. 易知平面ABC
的一个法向量为OS ⎛= ⎝⎭
，
3
27cos ,7213n OS n OS n OS
⋅〈〉===
.
因为二角F AC B --为钝角，
所以二面角F AC B --的余弦值为7
-. 【点睛】
本题考查面面垂直证明与二面角的求法，如何建立空间直角坐标系是解题关键
21．（1）3252
x -；（2）15
4.
【解析】 【分析】
（1）先求出6n =，再根据二项式系数性质得到最大项. （2）根据展开式的通项得到答案. 【详解】
（1）依题意264n =，解得6n =
则6
((
22n x x -
=，它的展开式共有7项，二项式系数最大的项是第4项，
所以该展开式中二项式系数最大的项为3
3
332
46
5()(=22x T C x =- （2）由（1）6((
22n x
x -
=，它的展开式的通项616()(2r r r
r x T C -+=,
即366216
1(1)()2
r
r
r
r r T C x --+=-，令3602r -=，则4r =， 因此该展开式中的常数项为154
. 【点睛】
本题考查了二项式的计算，属于常考题型. 22．（Ⅰ）2
e
（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（1）直接对函数()g x 进行求导，研究函数的单调性，求最大值；
（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数m 进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与x 轴的交点个数. 【详解】 （Ⅰ）()2x x
g x e =
的导数为()()21x
x g x e
-'=. 在区间(),1-∞，()0g x '>，()g x 是增函数；在区间()1,+∞上，()0g x '<，()g x 是减函数. 所以()g x 的最大值是()2
1g e
=
. （Ⅱ）()()211x m x m
x xe f x e e g x x x
++++=+=，方程()()20x
f x e
g x +=的实数根个数，等价于函数()1x m
h x xe +=+的零点个数. ()()1x m h x x e +'=+.
在区间(),1-∞-上，()0h x '<，()h x 是减函数； 在区间()1,-+∞上，()0h x '>，()h x 是增函数.
()h x 在1x =-处取得最小值()111m h e --=-.
①当1m <时，()()10h x h ≥->，()h x 没有零点；
②当1m =时，()h x 有唯一的零点；
③当1m 时，在区间()1,-+∞上，()h x 是增函数，并且()1
110m h e
--=-<.
()010h =>，所以在区间()1,-+∞上有唯一零点；
在区间(),1-∞-上，()h x 是减函数，并且()1
110m h e
--=-<，
()22
221110m m m h m m e e
--=-+=-
>->，所以在区间(),1-∞-上有唯一零点. 综上所述，当1m <时，原方程没有实数根；当1m =时，原方程有唯一的实数根；当1m 时，原方程有两个不等的实数根. 【点睛】
在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在“石头、剪刀、布”游戏中，规定“石头赢剪刀、剪刀赢布、布赢石头”，现有小明、小泽两位同学玩这个游戏，共玩n 局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势.设小明赢小泽的局数为ξ，且10
()9
D ξ=，则()
E ξ=（ ） A ．1
B ．
43
C ．
53
D ．2
2．若函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f′（x ）的图象如图所示，则y ＝f （x ）的图象可能（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数
的值为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫
=-+∈ ⎪⎝⎭
在定义域上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,0)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(1,)+∞
5．在
中，
，
，现将
绕
所在直线旋转至
，设二面角
的大
小为，与平面所成角为，与平面
所成角为，若
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B ．a>3 C ．a ≤3 D ．a<3
7．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271
B ．272
C ．273
D ．274
8．已知0.33a =，3log 0.3b =，30.3c =，则（ ） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．a c b >>
9．函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线平行，则双曲线
的离心率是（ ） A 2B 5
C 7
D ．
103
10．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，CA ⊥平面PAB ，23PA PB AB ===4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．24π
B ．32π
C ．48π
D ．64π
11．已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[
,]64
ππ
上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ） A ．22
(,
π
-∞ B ．3
(,
π
-∞
C ．3
(,
π
-∞ D ．23
[
)π
+∞
12．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题
13．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为22n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式为_________．
15．若6
1ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为160-，则展开式中4x 的系数为__________. 16．若以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点A 的极坐标2,3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
化成直角坐标为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ．
（1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．
18．（学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 19．（6分）已知03
x π
=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周
期为π.
（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；
（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =， 3b =2
c
a -
的取值范围.
20．（6分）已知点()()2,0,2,0-M N ，动点P 满足条件22PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；
（2）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.
21．（6分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b a c ac =+-.
（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围.
22．（8分）某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14μ=，标准差2σ=，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值．
（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）
①()0.6862P x μσμσ-<<+≥ ②(22)0.9544P x μσμσ-<<+≥
③(33)(820)0.9974P x P x μσμσ-<<+=<<≥
评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；
（2）将数据不在(2,2)μσμσ-+内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望EY ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
【分析】
由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为1
3，且1,3B n ξ⎛⎫
⎪⎝⎭
，先由1210()339D n ξ=⨯⨯=求出n ，
然后即可算出()E ξ 【详解】
由题意可得，每一局中，小明赢小泽的概率为
1
3，且1,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
因为1210
()339D n ξ=⨯⨯=，所以5n = 所以15
()533
E ξ=⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查的是二项分布的知识，若(),B n p ξ，则()E np ξ=，()()1D np p ξ=-.
2．C 【解析】 【分析】
根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可. 【详解】
由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减， 当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，
则由导函数()y f x '
=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除,A D ，
且两个拐点（即函数的极值点）在x 轴上的右侧，排除B. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题. 3．D 【解析】
试题分析：画出不等式组表示的区域如图，从图形中看出当不成立，故
，当直线
经
过点
时,取最大值，即
，解之得，所以应选D.
考点：线性规划的知识及逆向运用．
【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的求参数值的问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件
的平面区域,然后分类讨论参数的符号,进而移动直
线,发现当该直线经过点时取得最大值,以此建立方程,通过
解方程求出参数的值. 4．D 【解析】 【分析】
根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，进行计算，可得结果. 【详解】
2
22
122'()1x ax a
f x a x x x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭
， 令2
()2g x x ax a =-+，
方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，
则：21212
(2)40
20
10a a x x a a x x a ⎧∆=-->⎪
+=>⇒>⎨⎪=>⎩ 故选：D 【点睛】
本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为
简，属中档题.
5．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，由线面角的概念可得的范围，得到正确，取特殊情况说明，，错误．
【详解】
如图，
为等腰直角三角形，，将绕所在直线旋转至，则，
可得平面，二面角的大小，
是平面的一条斜线，则与平面垂直时，与平面所成角最大，则的范围为，，故正确；
此时，故错误；
当与平面垂直时，三棱锥满足，，，，
则，设，则，在平面的射影为的中心，
求得，即与平面所成角的余弦值，则，故错误；
当无限接近0时，无限接近，，故错误．
综上，正确的选项是．
故选：．
【点睛】
本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题．
6．A
【解析】∵f(x)=x3−ax−1，
∴f′(x)=3x2−a，
要使f(x)在(−1,1)上单调递减， 则f′(x)⩽0在x ∈(−1,1)上恒成立， 则3x 2−a ⩽0，
即a ⩾3x 2，在x ∈(−1,1)上恒成立， 在x ∈(−1,1)上，3x 2<3， 即a ⩾3， 本题选择A 选项. 7．A 【解析】 【分析】
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+⨯-=，
()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，
…
()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=- 8．D 【解析】 【分析】
根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系. 【详解】
0.30331a =>=；33log 0.3log 10b =<=；300.30.31c =<=且30.30c =>
a c
b ∴>>
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
计算函数ln y x =在()()
33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率. 【详解】
11ln '3
y x y k x =⇒=
⇒= 切线与一条渐近线平行1
33
b b y x a b a a ⇒=
⇒=⇒= 22103
c b a e a a +===
故答案选D 【点睛】
本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型. 10．B 【解析】 【分析】 如图，
由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 内的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()2
2743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥
P ABC -的外接球的表面积.
【详解】
由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，
23AB =，4AC =，23PA PB AB ===
又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，
BC 27∴=P 到平面ABC 的距离为3，
∴()2
2743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -
的外接球的半径R ==，故可
得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥
P ABC -的外接球的半径是关键.
11．A 【解析】
分析：由函数在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上是单调递增函数，得'()0f x ≥，进而分离参数得12cos a x x ≤；构造函数
1()2cos h x x x =
，研究函数的值域特征，进而得到1
()2cos h x x x
=的单调性，最后求得a 的取值范围。

详解：1
'()2cos f x a x x =-
因为(f x ）
在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增函数 所以1'()2cos 0f x a x x =
-≥，而在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上cos 0x > 所以1
2cos a x x ≤
，即min
12cos a x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
令1()2cos h x x x
= ，则()2
222sin 2cos sin cos '()2cos 2cos x x x x x x h x x x x x --== 分子分母同时除以sin x ，得
22221
sin cos tan '()2cos 2cos sin x x x x x h x x x x x x
-
-== 令1()tan g x x x =-
，则1()tan g x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 所以max 1()()10444
tan 4
g x g πππ
π==-=-< 所以()0<g x 在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上恒成立 即221
tan '()02cos sin x x h x x x x
-
=<在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立
所以函数
1 ()
2cos
h x
x x
=在区间,
64
ππ
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上为单调递减函数
所以
min
min
122
()()
2cos4
a h x h
x x
π
⎛⎫
≤===
⎪
⎝⎭
所以选A
点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。

12．B
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
cos cos
αβαβ
=⇒=所以cos cos
αβαβ
≠⇒≠（逆否命题）必要性成立
当cos cos
αβαβ
=-⇒=，不充分
故是必要不充分条件，答案选B
【点睛】
本题考查了充分必要条件，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题
13．
2
3
π
【解析】
【分析】
由正六棱柱的几何特征可得ABC
∠为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，根据正六边形的内角计算即可.
【详解】
解：如图，
由正六棱柱的几何特征可知11
,
BB AB BB CB
⊥⊥，
则ABC
∠为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，。