【中小学资料】广东省深圳市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(6)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题06
150分。

时间长120分钟。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项.
1.已知全集U =R ，集合{|(3)0}M x x x =->，则C M R A. [0,3] B. (0,3) C. (,3]-∞
D. (,0)
(3,)-∞+∞
2.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S = A. 55 B. 81 C. 90
D. 100
3.执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中 ① 处可以填入 A. 4n > B. 8n > C. 16n > D. 16n <
4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，则
甲 乙 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
5. “2m ≤”是“函数2
()2f x x x m =++存在零点”的
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.在正三角形ABC 中，3AB =，D 是BC 上一点，且3BC BD =，则B A AD ⋅= A.
152
B.
92
C. 9
D. 6
7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥 的四个面的面积中，最大的是
A. B. 8
C.
D. 8.设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为 集合M 的聚点.则下列集合中以0为聚点的有：
①{
|}1n n n ∈+N ； ②{|,0}x x x ∈≠R ； ③*2
{|}n n
∈N ； ④Z A.②③
B. ②④
C. ①③
D. ①③④
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 复数
21i
i
=- . 10.在△ABC 中，角A B C ,,所对的边分别为,,a b c
，24
A a c π
===,,则角C 的大小 为 .
11.直线20x y --=与圆2221x y x +-=相交于A B ,两点，则线段AB 的长等于 .
12.若不等式组50,5,02x y y kx x -+≥⎧⎪
≥+⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范是 .
13.某商品在最近100天内的单价()f t 与时间t 的函数关系是
22(040,)4
()52(40100,)2
t
t t f t t t t ⎧+≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩N N
日销售量()g t 与时间t 的函数关系是109
()(0100,)33
t g t t t =-+≤≤∈N .则这种商品
的日销售额的最大值为 .
14.已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤， 则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个 条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =
； ③(1)1()f x f x -=-.则4
()5
f = ， 1
()12f = .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)
已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2
π上的最小值和最大值．
16. （本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，
90ADC ∠=︒，1
2
BC CD AD ==
，PA PD =，E F ,为AD PC , 的中点．
（Ⅰ）求证：PA //平面BEF ； （Ⅱ）求证：AD PB ⊥．
17. （本小题满分13分）
P
A
B
C
E
F
D
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以
上空气质量为超标．
某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
(Ⅰ) 若从这6天的数据中随机抽出2天，求至多有一天空气质量超标的概率； (Ⅱ)根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？
18. (本小题满分13分)
已知函数211
()ln (,0)22
f x x a x a a =
--∈≠R . （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆22
:143
x y C +=和点(4,0)P ，垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点，连结
PB 交椭圆C 于另一点E .
（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标和离心率； （Ⅱ）证明直线AE 与x 轴相交于定点.
20.（本小题满分13分）
对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记
号x 表示．例如81
1.20.2 1.20.877
=-==,,.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：
1a a =，1100
0n n n
n a a a a +⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩,
,
其中123n =,,,. （Ⅰ）若3
11a =
，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当1
2a >时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；
（Ⅲ）设2013
p
a = （p 是正整数，p 与2013互质），对于大于2013的任意正整数n ，
是否都有0=n a 成立，证明你的结论．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 1i -+ 10.
6
π
或30︒
12. (1,0)
-
13. 808.5 14. 11
,
24
三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）
（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2
-+=x x x x f
x x 2sin 32cos += ………………………… 4分
)2sin 2
3
2cos 21(2x x += )6
2sin(2π
+=x ……………………… 6分
周期为2.2
T π
π=
= ………………………7分 （Ⅱ） 20π≤≤x ∴67626π
ππ≤+≤x ………………………………9分
∴当2
6
2π
π
=
+
x 时，1)6
2sin(=+
π
x 此时2)(max =x f …………………………11分
∴当676
2ππ
=
+
x 时，2
1
)62sin(-=+πx 此时min ()1f x =- …………13分
16（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ,FO
BC //AD ,AD BC 2
1
=
, E 为AD 中点 ∴ AE //BC ,且AE=BC
∴ 四边形ABCE 为平行四边形 .....................1分 ∴ O 为AC 中点 (2)
分
又 F 为AD 中点
∴OF
// PA ………………………......….4分
BEF PA BEF OF 平面平面⊄⊂, ..……..……..5分
∴ PA //BEF 平面 …………………………………………..……..……..7分
（Ⅱ）连接PE
,PA PD E AD AD PE =∴⊥为中点 …………………………….…………….8分
为平行四边形中点
为BCDE AD E AD,2
1
BC AD,// ∴=
BC CD B E// ∴
AD CD AD BE
⊥∴⊥
…………………………………..………..9分 E BE PE =⋂
PBE AD 平面⊥∴ (12)
分
PB
AD PBE PB ⊥∴⊂平面
………………………………………………………………….14 分
17（本小题满分13分）
解：由茎叶图可知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标………2分 记未超标的4天为1234,,,w w w w ，超标的两天为12,c c ，则从6天抽取2天的所有情况为：
121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,w w w w w w w c w c w w w w w c w c w w w c w c w c w c c c ，
O
P
A
B
C
E
F
D
基本事件总数为15 ……………………………………………………4分 （Ⅰ）记“至多有一天空气质量超标”为事件A ，则“两天都超标”为事件A ，
易得1()15
P A =
， 所以114
()1()11515
P A P A =-=-= ………………………………9分 （Ⅱ）6天中空气质量达到一级或二级的频率为42
63
= ……………11分
2136524333
⨯=，
所以估计一年中平均有1
2433
天的空气质量达到一级或二级. ………… 13分
（说明：答243天，244天不扣分） 18（本小题满分13分） （Ⅰ）2a =时，211()2ln ,(1)022
f x x x f =--= ………………1分
2
'(),'(1)1
f x x f x
=-
=-
………………………………………………2分
曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-= ………………3分
（Ⅱ）2'()(0)
a x a
f x x x x x
-=-=
>
…………………………………………………4分
①当0a <时， 2'()0x a
f x x
-=
>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞ ………………………………………………………………
6分
②当0a >时，令'()0f x =，解得x =
x =
所以函数()f x 的递增区间为
+∞，递减区间为
…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在∞[1,+)上是增函数，
所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以0a <满足题意； …………………………………………………………………9分
②当01a <≤时，01<≤，()f x 在∞[1,+)上是增函数，
所以只需(1)0f ≥ 而11
(1)ln1022
f a =
--= 所以01a <≤满足题意；…………………………………………………………………10分
③当1a >1>，()f x 在上是减函数，∞)上是增函数，
所以只需0f ≥即可
而(1)0f f <=
从而1a >不满足题意； …………………………………………………………………12分 综合①②③实数a 的取值范围为(,0)
(0,1]-∞．………………………………13分
19（本小题满分14分） （Ⅰ）由题意知：2
2=4,
=3,a b 所以222==1c a b -
所以，焦点坐标为(1,0)
±； 离心率1
=
=2
c e a …………………………4分 （Ⅱ）由题意知：直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为=(4)y k x -
………………………………5分
11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -，
由
22
(4)3412
y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222
(3+4)3264120k x k x k -+-= 则22121222
326412
+=,x =3+43+4k k x x x k k - (1) ………………………………8分
直线AE 的方程为21
2221
+=
()y y y y x x x x ---，
令=0y ，得221212
()
=+y x x x x y y --
(2) ………………………………10分
又11=(4)y k x - ，22=(4)y k x - 代入(2)式，得1212122x x 4(+)
=
+8
x x x x x -- (3)
把(1)代入(3)式，整理得=1x
所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0). ………………………………14分 20（本小题满分13分） （Ⅰ）133
1111
a =
= ，21111233a a === ，3213122a a === 43
1
20a a =
==， 所以 123321
,,,0(4)1132
n a a a a n =
===≥ ……………………………………4分 （Ⅱ）1a a a == ，12a > 则112a << ，从而1
12a
<<
则 21111
1a a a a a
=
==-= 所以210a a +-=
解得：a =
（1,12a ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，舍去） ……………….6分 所以集合 A =
{a =
}. ………………………………………7分
（Ⅲ）结论成立. (8)
分
易知a 是有理数，所以对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 设n
n n
p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且,n n p q 互质） 由111
2013p p
a q =
=，可得102013p ≤<； …………………………………9分
若0≠n p ，设n n q p αβ=+（n p <≤β0，βα,是非负整数） 则
n
n n p p q β
α+= ，而由n n n q p a =得
n n n p q a =1 11n n n n n
q a a p p β
+=
==，故β=+1n p ，n n p q =+1，可得n n p p <≤+10 ………11分 若0=n p 则01=+n p ， 若1232013,,,,a a a a ⋅⋅⋅均不为0，则这2013个正整数(1,2,3,
,2013)n p n =互不相同且都小
于2013，但小于2013的正整数共有2012个，矛盾. 故1232013,,,,a a a a ⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在(12013)m m ≤≤，使得0=m a . 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，
所以对于大于2013的自然数n ，都有0=n a ……………13分。