四川省成都市棠湖中学外语实验学校2020年高三数学理测试题含解析

四川省成都市棠湖中学外语实验学校2020年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，若的值为5，输出的结果是
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
2. 命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定为( )
A．?x0∈R，2x0≤0B．?x0∈R，2x0≥0C．?x0∈R，2x0＜0 D．?x0∈R，2x0＞0
参考答案：
D
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
解答：解：命题是特称命题，则“?x0∈R，2x0≤0”的否定为：?x0∈R，2x0＞0，故选：D
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3. 已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）
A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2
参考答案：
C
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．
【解答】解：由正弦定理，设，
∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．
∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），
化简可得 sinC=3sin（B+C）
又A+B+C=π，
∴sinC=3sinA，
∴因此sinC：sinA=3：1．
故选：C．
4. 若向量满足，则在方向上投影的最大值是（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
由题意，所以，
设的夹角为，则，所以，
所以在方向上投影为，
因为，所以，故选
B.
5. 现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①
参考答案：
B
【知识点】函数的奇偶性B4
分析函数的解析式，可得：
①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③
【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．
6. 设，，若，，，则
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
7. △外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于( )A． B． C. D．
参考答案：
C
略
8. 已知Rt中，，，，在三角形
所在的平面内有两个动点和，满足，，
则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
9. 数列的前项和记为，，则数列的通项公式
是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. （5分）（2014?齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（） A． 0 B． 1 C．﹣1 D． 0或1
参考答案：
B
【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】：计算题．
【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z为纯虚数，可得
，由此求得x的值．
【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，
则有，故x=1，
故选 B．
【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在矩形中，点，分别在线段，上，且满足，
，若，则
．
参考答案：
【知识点】平面向量基本定理
【试题解析】因为．
故答案为：
12. 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD
和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的
距离为，则AD= 。

参考答案：
13. 点在函数的图象上，点在函数的图象上，则
的最小值为________.
参考答案：
【知识点】导数的应用B12
8
因为，令得x=1，代入f(x)得y=－1，所以函数图象上与所给直线平行的切
线的切点坐标为(1,－1)，该点到已知直线的距离为，则的最小值
为8.
【思路点拨】因为所求的代数式为两个函数图象上的点之间的距离的平方，可令直线平移到与函数
f(x)图象相切时，切点到直线的距离再平方，即为所求的最小值.
14. 若函数在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m，则m的值是＿.
参考答案：
—17
略
15. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件
则该校招聘的教师最多是名.
参考答案：
10
16. 在一段线路中有4个自动控制的常用开关A、B、C、D，如图连接在一起。

假定在2019年9月份开关A，D能够闭合的概率都是0.7，开关B，C能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为
参考答案：
0.9676
17. 已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值
是
.
参考答案：
∵||=||=1，且
，
∴可设，，．
∴．
∵，
∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．
∴的最大值==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，已知PA⊥菱形ABCD所在平面，G为PC的中点，E在PD上。

（1）求证：BD⊥PC；
（2）当时，求证：BG//平面AEC。

参考答案：
19. 直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
曲线C的参数方程为（为参数）。

（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，写出C1的极坐标方程；
（2）射线与C1交l的交点分别为M，N，射线与C1和l的交点分别为A，B，求四边形
ABNM的面积.
参考答案：
(1)；(2).
试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.
试题解析：
(1)
所以极坐标方程为：
(2)将代入直线的极坐标方程得到
，
由与
得
20. （本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：为参数)，将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2. 以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
(1)试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值.
参考答案：21. 某单位委托一家网络调查公司对单位1000名员工进行了QQ运动数据调查，绘制了日均行走步数（千步）的频率分布直方图，如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示运动量在[4，6）之间（单位：千步））
（Ⅰ）求单位职员日均行走步数在[6，8）的人数
（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数
（Ⅲ）记日均行走步数在[4，8）的为欠缺运动群体，[8，12）的为适度运动群体，[12，16）的为过量运动群体，从欠缺运动群体和过量运动群体中用分层抽样方法抽取5名员工，并在这5名员工中随机抽取2名与健康监测医生面谈，求过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）依频率分布直方图求出单位职工日均行走步数在（6，8）的频率，由此能求出单位职员日均行走步数在[6，8）的人数．
（Ⅱ）根据频率分布直方图能求出中位数．
（Ⅲ）由题意知欠缺运动人数为（0.050+0.100）×2×1000=300人，过量运动群体的人数为
（0.075+0.025）×2×1000=200人，用分层抽样的方法抽取5人，则欠缺运动群体抽取3
人，过量运
动群体抽取2 人，由此能求出过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，单位职工日均行走步数在（6，8）的频率为0.100×2=0.2，
∴单位职员日均行走步数在[6，8）的人数为：0.2×1000=200人．
（Ⅱ）根据频率分布直方图得中位数在[8，10）内，
设中位数为x，
则0.05×2+0.1×2+0.125×（x﹣8）=0.5，
解得x=9.6．
（Ⅲ）由题意知欠缺运动人数为（0.050+0.100）×2×1000=300人，
过量运动群体的人数为（0.075+0.025）×2×1000=200人，
用分层抽样的方法抽取5人，
则欠缺运动群体抽取3人，过量运动群体抽取2 人，
在这5名员工中随机抽取2名与健康监测医生面谈，基本事件总数n=，
过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的对立事件是从欠缺运动群体抽取2名与健康监测医生面谈，
∴过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率p=1﹣=．
22. 14分）已知数列中,
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式; ks5u
(2)数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.
参考答案：
(2)
, 两式相减得
若n为偶数,则
若n为奇数,则
--------------------
略。