人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象导学案(1)

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课题：1.5.1 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像
学习目标：1．通过学生自主探究，理解A 、ω、对函数y=Asin （ωx+ϕ）的图像的影响．
2．通过探究图像变换，熟练掌握“五点法”画函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图，并会用图像
变换法画出函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图．
学习重点：掌握函数y=Asin （ωx+ϕ）的简图的作法
学习难点：相位变换,周期变换先后顺序调整后对平移量的影响. 导学流程： 一.了解感知
复习1：回顾五点作图法作正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 、余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 图像的方法 复习2： y=f(x)→y=f(x+a)左右平移变换：a>0,向 平移a 个单位；a<0,向 平移|a|个单位
y=f(x)→y=f(x)+k 上下平移变换：k<0,向 平移|k|个单位；k>0,向 平移k 个单位
二．深入学习 思考：对函数sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>），你认为怎样讨论参数,,A ϕω对函数图象的影响？
例1画出函数y=2sin x ， x ∈R ，y= sin x ，x ∈R 的简图
要得到函数2sin y x =的图象，只需将sin y x =图象（ ） A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍
结论：一般地，函数y=Asin x ， x ∈R （其中A ＞0且A ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到。

函数y=Asin x ， x ∈R 的值域是[－A ，A]，最大值是A ，最小值是－A 。

注：A 引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。

（一） 探索ω对y=Asin(ωx+φ)，R x ∈的图象的影响。

例2画出函数y=sin2x ， x ∈R ，y= sin 2
1
x ，x ∈R 的简图 1） 列表： 21x
x
y=sin 2
1x
2. 要得到函数sin3y x =的图象，只需将sin y x =图象（ ） A.横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍
2x
x
y=sin2x
x sin 2
1
x
sin 2 x
sin x
4
C.横坐标缩小原来的
13倍 D.横坐标缩小到原来的13
倍 结论:函数y=sin ωx (其中ω>0) 的图象,可看 作把y=sinx 图象上所有点的横坐标伸长 (当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的ω
1
倍(纵坐标不变)而得到. 注: ①ω决定函数的周期T=
ω
π
2,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩).
探究2：探究ϕ对)sin(ϕ+=x y ，R x ∈的图像的影响
在同一坐标系中画出函数sin y x =、sin()3y x π=+、)6
sin(π
-=x y 的图像，并指出它们与
sin y x =图象之间的关系？
例3画出函数 Y=Sin (X+
3
π
),X ∈R ， )6sin(π-=x y ,X ∈R 的简图。

要得到函数sin()3
y x π
=+
的图象，只需将sin y x = 图象（ ）
A. 向左平移6π个单位
B. 向右平移6
π
个单位
C. 向左平移
3π个单位 D. 向右平移3
π
个单位 新知：函数sin()y x ϕ=+)0(≠ϕ其中的图像，可以看作将函数sin y x =的图像上所有的点 （当0ϕ>）或 （当0ϕ<）平移 个单位长度而得到 思考：对函数
sin()y A x ωϕ=+（0,0A ω>>），你认为怎样讨论参数,,A ϕω对函数图象的影响？
1.（函数图象的左右平移变换）。

函数sin()y x ϕ=+)0(≠ϕ其中的图像，可以看作将函数sin y x =的图像上所有的点 （当0ϕ>）或 （当0ϕ<）平移 个单位长度而得到
2.（函数图象横向伸缩变换——周期变换）。

一般地，函数sin()y x ωϕ=+（0ω>）的图象可以看作将函数sin()y x ϕ=+的图象上所有的点的横坐标 （ ）或 （ ）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到。

3. （函数图象的纵向伸缩变换 振幅变换）。

一般地，函数Asin()y x ωϕ=+（0,0A ω>>）的图象可以看作将函数sin()y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标 （ ）或 （ ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到。

探究4：如何由sin y x =图像通过图像变换得到y=Asin(wx+ϕ)的图象？
方法1：sin y x = sin()y x ϕ=+
sin()y x ϕ=+ sin()y x ωϕ=+
sin()y x ωϕ=+ Asin()y x ωϕ=+
反思：由sin y x =图像得到y=Asin(wx+ϕ)的图象需经历三步变换，要考虑变换顺。

方法2：sin y x = sin y x ω=
sin y x ω= sin()y x ωϕ=+
sin()y x ωϕ=+ Asin()y x ωϕ=+
要得到函数sin(2)3
y x π
=-的图象,只需将sin 2y x =图象（ ）
A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3
π
个单位
C. 向左平移6π个单位
D. 向右平移6
π
个单位 问题2 图象变换
1.将x y sin =的图象向左平移6π
个单位，可以得到 的图象。

2.将x y 2sin =的图象向右平移6
π
个单位，可以得到 的图象。

3.将)6
2sin(π
-=x y 的图象向左平移4π个单位，可得到 的图象
4.将函数)6
sin(π
+=x y 的图象上所有的点横坐标缩小到原来的31（纵坐标不变），可以得到
图象 5.将函数)6
2sin(3π
-=x y 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），可以得到
图象
6.将函数x y sin =的图象上所有的点纵坐标扩大到原来的3倍（横坐标不变），可以得到 图象
7.将函数)6
sin(π
+=x y 的图象上所有的点纵坐标缩小到原来的31
（横坐标不变），可以得到
图象 8.将函数)6
2sin(3π
-=x y 的图象上所有的点纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），可以得到
图象
2.典例解析：
例1．（1）利用图像变换法叙述如何由sin y x =图像得到12sin
3
6
y x π
=-（）的图像？
方法1：
方法2：
应用一:三角函数的图象及变换
例2已知函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．
变式迁移1 设y ＝2sin ）
（3
2π
-
x (x ∈R )． (1)画出f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；
（3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？
应用二:求y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式
例3已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π
2
，x ∈R )的图象的一
部分如图所示．求函数f (x )的解析式．
变式迁移2
①图中曲线是函数sin()(0,0,||)2
y A x A π
ωφωφ=+>><的图象的部分，
求函数解析式
②已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，求(0)f
三．迁移运用
1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )
A ．y ＝sin 12
x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
2．如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( ) A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π
12个单位长度
C ．向左平移5π6个单位长度
D ．向右平移5π
6
个单位长度
4．(2011·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2
，
直线x ＝π
3
是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )
A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2
C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2
D y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 5．函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度
后得到g (x )的图象，则g (x )＝______. 6． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )
的图象关于点N ⎝⎛⎭⎫
3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．。