2023届云南省临沧市新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减．若()0.32a f =，(2)b f =，21log
5c f ⎛⎫= ⎪⎝
⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
2．若双曲线的中心为原点，(02)F -，
是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ，N 两点，且MN 的中点为(31)P ，
，则双曲线的方程为（ ） A ．2
213x y -=
B ．2
213
x y -=
C ．2213y x -=
D ．2
2
13
y x -=
3．已知,0c d a b <>>，下列不等式中必成立的一个是( ) A ．a c b d +>+
B ．a c b d ->-
C ．ad bc <
D ．
a b c d
> 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b A c C ，2CB =，则CB
在CA 方向上的投影为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知向量12-2a e e =，向量121
2
b e e =-，则（ ） A ．2b a =-
B ．2b a =
C ．1
2
b a =
D ．12
b a =-
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．4643
π+
B ．8643
π+
C ．16643
π
+
D ．648π+
7．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．
A ．12
B ．16
C ．4(13)+
D ．4(12)+
8．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若5133,91a S ==，则111a a +=（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验
公式：弧田面积=
1
2
（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23
π
，弦长为403米
的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈，
3 1.73≈）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
10．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为6π，则它的体积是( ) A ． 955π
B ． 955
C ． 355
D ． 355π
11．某人射击一次，设事件A ：“击中环数小于4”；事件B ：“击中环数大于4”；事件C ：“击中环数不小于4”；事件D ：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A ．A 和B 为对立事件 B ．B 和C 为互斥事件 C ．C 与D 是对立事件
D ．B 与D 为互斥事件
12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图像如图所示，
关于()f x 有以下5个结论:
（1）3ω=；（2）2A =，6π=
ϕ；（3）将图像上所有点向右平移1318
π
个单位得到的图形所对应的函数是偶函数；（4）对于任意实数x 都有779
9f x f x ππ⎛
⎫⎛⎫+
=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；
（5）对于任意实数x 都有5501818f x f x ππ⎛
⎫⎛⎫
++
-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
；其中所有正确结论的编号是（ ） A ．(1)(2)(3)
B ．(1)(2)(4)(5)
C ．(1)(2)(4)
D ．(1)(3)(4)(5)
二、填空题：本题共4小题 13．已知扇形AOB 的面积为43
π
，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 14．已知直线6
x π
=
是函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（其中6ω<）
图象的一条对称轴，则ω的值为________. 15．若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为_______________. 16．α终边经过点(3,4)P ，则sin α=_____________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos cos C a B b A c +=. (1)求角C ;
(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值. 18．已知,αβ为锐角，4tan 3α=
，5
cos()5
αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．
19．（6分）已知函数2
π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
（1）求函数
的最大值，以及取到最大值时所对应的的集合； （2）
在ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（6分）在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且．
（1）求角A 的大小；
（2）若6a =，8+=b c ，求 △ABC 的面积． 21．（6分）已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=．
（1）求111
x y z
++的最小值
（2）证明：222
3x y z ≤++．
22．（8分）设函数22()(sin cos )33f x x x x =++-
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当5,46x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
时，求函数()f x 的值域. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
根据偶函数的定义可变形()221log log 55c f f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭，再直接比较0.3
22,2,log 5的大小关系，即可利用
函数的单调性得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
因为函数()f x 是R 上的偶函数，所以()221log log 55c f f ⎛⎫== ⎪⎝
⎭，而0.3222log 5<<，
函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以a b c >>． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查函数的性质的应用，涉及奇偶性，指数函数，对数函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，属于基础题． 2．B 【解析】
由题可知，直线l ：2y x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，
22
1122
22
2222
11
y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22260a b -=，又224a b +=， 解得2213
a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线方程为2213x y -=，故选B 。

3．B
【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
对于A 选项，由于,c d a b <>，不等号方向不相同，不能相加，故A 选项错误.
对于B 选项，由于c d <，所以c d ->-，而a b >，根据不等式的性质有：a c b d ->-，故B 选项正确. 对于C 选项，0a b >>，而,c d 两个数的正负无法确定，故无法判断,ad bc 的大小关系，故C 选项错误. 对于D 选项，0a b >>，而,c d 两个数的正负无法确定，故无法判断,a b
c d
的大小关系，故D 选项错误. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求cos C ，根据CB 在CA 方向上的投影为cos BC C ⋅，代入数值，即可求解． 【详解】
因为cos cos 2cos a B b A
c C ，所以sin cos sin cos sin cos A B B A C C += ，
即()sin cos A B C C +=， 即sin sin cos C C C =
，
因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos 2
C = ，
所以CB 在CA 方向上的投影为：cos 451BC C ⋅=︒=．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题． 5．C 【解析】 【分析】
设b a λ=，根据系数对应关系即可求解
设b a λ=，即()
121211-222
b e e a e e =-==⇒=λλλ， 故选：C 【点睛】
本题考查向量共线的基本运算，属于基础题 6．B 【解析】 【分析】
该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解. 【详解】
该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体． ∴该几何体的体积V 3
2
1
4223
π=+⨯⨯⨯=6483
π+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】
根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解. 【详解】
根据直观图，可知原图形为平行四边形， 因为正方形O A B C ''''的边长为2cm ， 所以原图形2OA BC == cm ，
2OB O B =''=6AB =
=，
所以原平面图形的周长为()62216+⨯=， 故选：B. 【点睛】
本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题. 8．D 【解析】
由1391S =可得7a 值，可得111a a +=57a a +可得答案. 【详解】 解：由13
71391S a ==，可得77a =，
所以5710a a +=，从而1115710a a a a +=+=， 故选D. 【点睛】
本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n 项的和，由1391S =得出7a 的值是解题的关键. 9．B 【解析】 【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可. 【详解】
如图所示，扇形的半径为1sin 4023
r π
=⨯=， 所以扇形的面积为212160040233ππ
⨯⨯=，
又三角形的面积为212sin
4023π
⨯⨯=
所以弧田的面积为
216001600400 1.73908()33
m ππ
-≈-⨯=， 又圆心到弦的距离等于40cos
203
π
⨯=，所示矢长为402020-=，
按照上述弧田的面积经验计算可得
1
(2
弦⨯矢+矢2)2212020)892()2m =⨯+=，
所以两者的差为2
90889216()m -=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．D 【解析】 【分析】
圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】
∵圆锥的底面周长为6π ∴圆锥的底面半径3r = 双∵圆锥的母线长8l = ∴
圆锥的高为h =
=
∴圆锥的体积为2
13
V r h π== 故选D. 【点睛】
本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键． 11．D 【解析】 【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，A 项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A 和B 为不是对立事件； B 项中，事件B 和C 可能同时发生，所以事件B 和C 不是互斥事件；
C 项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C 和
D 为不是对立事件；
D 项中，事件B ：“击中环数大于4”与事件D ：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B 与D 为互斥事件，故选D. 【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 12．B 【解析】 【分析】
由图象可观察出()f x 的最值和周期，从而求出()2sin 36f x x π+
⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，将()f x 图像上所有的点向右平移
1318π
个单位得到的函数2sin3y x =，可判断（3）的正误，利用729
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，5018f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可判断(4)(5)的正误. 【详解】
由图可知：()max ()29
f x f π
==，23
T π=
所以2A =，3ω=，()2sin(3)29
9
f ππ
ϕ=⨯
+=
所以
23
2
k π
π
ϕπ+=+
，即2,6
k k Z π
ϕπ=+
∈
因为2
π
ϕ<
，所以6π=
ϕ，所以()2sin 36f x x π+⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，故(1)(2)正确
将()f x 图像上所有的点向右平移
1318
π
个单位得到的函数为 ()132sin 32sin 322sin 3186y x x x π
ππ⎡⎤
⎛⎫=-
+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
此函数是奇函数，故(3)错误 因为7752sin 32sin 29962f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
所以()f x 关于直线79
x π=对称，即有7799f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故(4)正确 因为552sin 32sin 018186f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以()f x 关于点5,018π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即有5501818f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
++
-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
故(5)正确
综上可知：正确的有(1)(2)(4)(5) 故选：B 【点睛】
本题考查的是三角函数的图象及其性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．2 【解析】 【分析】
将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案. 【详解】
圆心角AOB 为1202
3
π= 扇形AOB 的面积为2241124232233
S r r r πππ
α⇒==⨯=⇒= 故答案为2 【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，属于简单题. 14．{5,1}- 【解析】 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可得,6
3
2
k k Z π
π
π
ωπ⋅+
=+
∈，由此可得答案.
【详解】
依题意得()sin()16
63
f ππ
π
ω=⋅
+=±， 所以,6
3
2
k k Z π
π
π
ωπ⋅
+
=+
∈，
即61,k k Z ω=+∈，
因为6ω<，所以1ω=或5ω=-， 故答案为：{5,1}- 【点睛】
本题考查了正弦函数图象的对称轴，属于基础题. 15．4310x y -+=或20x -= 【解析】 【分析】
讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率 【详解】
圆2
2
:20M x x y -+=即()2
211x y -+=
①当斜率不存在时，2x =为圆的切线
②当斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=- 即230kx y k --+=
1d =
=，
解得43
k =
此时切线方程为
41
033
x y -+=，即4310x y -+= 综上所述，则直线l 的方程为4310x y -+=或20x -= 【点睛】
本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情
况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。

16．
45
【解析】 【分析】
根据正弦值的定义，求得正弦值. 【详解】 依题意
4sin 5
α=
=
. 故答案为：45
【点睛】
本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1)
3
π
【解析】 【分析】
（1）由边角互化整理后，即可求得角C ；
（2）由余弦定理，结合均值不等式，求解bc 的最大值，代入面积即可. 【详解】
(1)由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=，
()2cos sin sin C A B C ⋅+=， ()2cos sin sin C C C π⋅-=， 2cos sin sin C C C ⋅=，
因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 1C =，即1cos 2C =
，所以3
C π=. （2）由余弦定理可得:2222cos c a b ab C =+-
222a b ab ab ab ab =+-≥-=
即4ab ≤，所以11sin 422ABC S ab C ∆=
≤⨯=
当且仅当a b =时，ABC S ∆【点睛】
本题考查解三角形中的边角互化，以及利用余弦定理及均值不等式求三角形面积的最值问题，属综合中档
题. 18．（1）7
25
-；（2）211-
【解析】
分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得
tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为4tan 3α=
，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以2
9cos 25α=，
因此，2
7cos22cos 125
αα=-=-．
（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()5cos αβ+=-
，所以()()225
sin 1cos αβαβ+=-+=， 因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=
，所以2
2tan 24
tan21tan 7
ααα==--， 因此，()()()()
tan2tan 2
tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+=
=-
⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 19．，
，
;（2）
【解析】 【分析】 【详解】 （1）
π()1cos 2321sin 2322f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭．
max ()3f x =
此时，
2232
5
()
12
x k x k k Z π
π
π
ππ-
=
+∴=+∈
（2）
ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，ππ2π2633x ∴≤-≤，
即π212sin 233x ⎛
⎫
≤+-
≤ ⎪⎝
⎭
， max min ()3()2f x f x ∴==，．
()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x ∴>-且min ()2m f x <+，
14m ∴<<，即m 的取值范围是(14)，
． 20．（1）3
A π
=；（2）733
ABC
S
=
. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理及
，便可求出
，得到
的大小；（2）利用（1）
中所求
的大小，结合余弦定理求出
的值，最后再用三角形面积公式求出1
sin 2
ABC S bc A ∆=
值. 【详解】 （1）由
及正弦定理
，得
.
因为为锐角，所以.
（2）由余弦定理，得
，
又
，所以
，
所以
.
考点：正余弦定理的综合应用及面积公式. 21．（1）1（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x 2+y 2+z 21
3
=（x 2+y 2+z 2+x 2+y 2+y 2+z 2+x 2+z 2），再根据基本不等式即可证明 【详解】
（1）因为0x y z ++≥>，
111
0x y z
++≥
>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫
++++≥
⎪⎝⎭
,即1113x y z ++≥，
当且仅当1x y z ===时等号成立，此时
111
x y z
++取得最小值1． （2）()()()
2222222222223
x y z x y y z z x x y z ++++++++++=
()22223
x y z xy yz zx +++++≥
()2
33
x y z ++=
=．当且仅当1x y z ===时等号成立，
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值和不等式的证明，属于中档题．
22．（1）函数()f x 递增区间为5,12
12k k π
πππ⎡
⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z （2）(1- 【解析】 【分析】
（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间即可． （2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，再根据5,46x ππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
求出23x π-的范围结合图像即可． 【详解】
解：（1）1cos 2()1sin 22x f x x -=++1sin 22x x =+-2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，k ∈Z
则函数递增区间为5,12
12k k π
πππ⎡
⎤
-+
⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z （2）由
54
6x π
π<<
，得42633
x πππ
<-<
则sin 2123x π⎛
⎫-
<-≤ ⎪⎝
⎭
则13y -<≤，即值域为(1- 【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中等题．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A ．{a 2k+1}
B ．{a 3k+1}
C ．{a 4k+1}
D ．{a 6k+1}
2．已知点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上，若存在满足该条件的,a b 使得不等式
212
8m m a b
+≤+成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,1][9,)-∞-⋃+∞
B ．(,9][1,)-∞-⋃+∞
C ．[]1,9-
D ．[]9,1-
3．要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 4．已知ππ042βα<<
<<，且π10sin 410α⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，π4sin 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ+=( ) A ．
10
10 B ．1010
-
C ．
310
10
D ．310
10
-
5．不等式
10x
x
-≥的解集为( ) A ．[]0,1 B ．(]0,1
C ．(][),01,-∞⋃+∞
D ．()[
),01,-∞⋃+∞ 6．若
则
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知0x >，0y >，18
2x y x y
-=-，则2x y +的最小值为 A ．2
B ．22
C ．32
D ．4
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．7616π+
B ．6012π+
C ．4416π+
D ．4412π+
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A
．
2
B
．
3
C ．
12
D ．
23
10．某学校的A ，B ，C 三个社团分别有学生20人，30人，10人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取12人参加某项活动，则从A 社团中应抽取的学生人数为（ ） A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
11．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为（ ）
A
．
2
8
a B
．2
4
a C
．
22
a D
．2
12．设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A ．
23
π B ．56π
C ．π
D ．
43
π 二、填空题：本题共4小题
13．已知数列{}n a 满足
111n n
a a n n
+-=+且12a =，则50a =____________． 14．等差数列{}n a 中，32a =，71a =，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则9S =_________.
15．设x ,y 满足约束条件10101x y y x x +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
,则2z x y =+的最小值是______.
16．不等式
1
03
x x -≥+的解集是_______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知定义域为R 的函数211
()22
x x f x a +=-+是奇函数.
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明.
18．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置，且60PAB ∠=︒.
（1）求证：平面PEC ⊥平面PAB ； （2）求二面角P AE B --的余弦值.
19．（6分）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且
3
sin cos sin cos 02
a A C c A A
b +-
=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，求ABC ∆面积的最大值.
20．（6分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，8c =，角A 为锐角，ABC ∆的面积为3（1）求角A 的大小； （2）求a 的值.
21．（6分）已知直线l 经过两条直线1l :40x y +-=和2l :20x y -+=的交点，直线3l :210x y --=； (1)若3l l ∥，求l 的直线方程； (2)若3l l ⊥，求l 的直线方程．
22．（8分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【详解】
数列{}n a 是周期为8的数列；1k =，314317;2,;k k a a k a a ++===
311023,;k k a a a +===31135311684,;5,k k k a a a k a a a ++======；6,k = 31193;k a a a +==31226312517,;8,.k k k a a a k a a a ++======故选B
2．B 【解析】 【分析】
根据题干得到21a b +=，存在满足该条件的,a b 使得不等式
212
8m m a b
+≤+成立，即2min
128m m a b ⎛⎫
+≥+ ⎪⎝⎭，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.
【详解】
点()1,2A 在直线10(0,0)ax by a b +-=>>上,故得到21021a b a b +-=⇒+=， 存在满足该条件的,a b 使得不等式
2128m m a b +≤+成立，即2
min
128m m a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭ ()12122259254a a b a b a b b b a ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
故原题转化为28919.m m m m +≥⇒≥≤-或 故答案为：B 【点睛】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等. 3．D 【解析】 【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】
解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位． 故选：D ．
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
4．C
【解析】
【分析】
根据同角公式求出πcos 4α⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭后，根据两角和的正弦公式可得. 【详解】 因为ππ42α<<，所以044
ππα<-<，
因为πsin 410α⎛
⎫-
= ⎪⎝⎭，所以πcos 410α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为π04β<<，所以442
πππβ<+<， 因为π4sin 45β⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以π3cos 45β⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin()cos()cos()sin()4444
ππππ
αβαβ=-++-+
3455=+=故选：C
【点睛】 本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解44ππαβαβ+=-
++是解题关键，属于中档题. 5．B
【解析】
【分析】
可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零.
【详解】
原不等式可化为()10
0x x x ⎧-≥⎨≠⎩，其解集为(]0,1，故选B.
一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩
，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.
6．D
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式
并代值计算可得出答案．
【详解】 由二倍角余弦公式可得，故选D ． 【点睛】
本题考查二倍角余弦公式的应用，着重考查学生对二倍角公式熟记和掌握情况，属于基础题．
7．C
【解析】 【分析】
化简条件得182x y x y +=
+，化简()()2181622()28x y x y x y x y y x +=++=+++，利用基本不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，知182x y x y
-=-，可得182x y x y +=+， 则()()()()21816162222()2810218x y x y x y x y x y x y x y y x y x
+=++=++=+++≥+⋅， 当且仅当16x
y
y x =时，即4y x =时取得等号，
所以21832x y +≥=2x y +的最小值为32C ．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件：一正、二定、三相等是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．D
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据形状求表面积.
【详解】
由三视图知，该几何体的直观图如图所示，
∴其表面积为2134453422242
ππ⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯4412π=+，故选D . 【点睛】
本题考查三视图以及几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.
9．D 【解析】
【分析】
利用//AB CD ，得出异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，然后在Rt ABE ∆中利用锐角三角函数求出cos BAE ∠.
【详解】
如下图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，
四边形ABCD 为正方形，所以，//AB CD ，
所以，异面直线AE 与CD 所成的角为BAE ∠，
在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BB C C ，BE ⊂平面11BB C C ，AB BE ∴⊥，
2AB =，225BE BC CE =+=223AE AC CE ∴+=，
在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=，2cos 3
AB BAE AE ∠==，
因此，异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为
23
，故选D. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线，选择合适的三角形，利用锐角三角函数或余弦定理求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
10．B
【解析】
【分析】
分层抽样每部分占比一样，通过A ，B ，C 三个社团为231::，易得A 中的人数。

【详解】
A ，
B ，
C 三个社团人数比为231::，所以12中A 有212=46⨯人，B 有312=66⨯人，C 有112=26⨯人。

故选：B
【点睛】
此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。

11．A
【解析】
【分析】
【详解】
连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=12
BD ．
同理，FG ∥BD ，且FG=12
BD ， 所以EH ∥FG ，且EH=FG ．
所以四边形EFGH 为平行四边形．
因为AC=BD=a ，AC 与BD 所成的角为60°
所以EF=EH ．所以四边形EFGH 为菱形，∠EFG=60°．
∴四边形EFGH 的面积是32a )2=3a 2
故答案为8
a 2，故选A. 考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．
点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH 为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．
12．C
【解析】
【分析】
求出函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移(0)m m >个单位，向右平移(0)n n >个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数sin(2)6y x π=+
的图象重合，可分别得关于m ，n 的方程，解之即可． 【详解】
解：将函数sin 2()y x x R =∈的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数sin 2()sin(22)y x m x m =+=+， 其图象与sin(2)6
y x π=+的图象重合， sin(22)sin(2)6x m x π∴+=+，226m k ππ∴=+，k z ∈，故12
m k ππ=+，k z ∈，()k ∈Z ， 当0k =时，m 取得最小值为12π
．
将函数sin 2()y x x R =∈的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数sin 2()sin(22)y x n x n =-=-， 其图象与sin(2)6
y x π=+的图象重合， sin(22)sin(2)6x n x π∴-=+，226
n k ππ∴-=+，k z ∈， 故12n k ππ=--，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为1112
π， m n ∴+的最小值为π，
故答案为：C ．
【点睛】
本题主要考查诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．2550
【解析】
【分析】 由题得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，得1n a n n =+，则50a 可求
【详解】 由题：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列且首项为2，则()2+11n a n n n =-=+，所以505150=2550a =⨯． 故答案为：2550
【点睛】
本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题
14．272
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得出19a a +的值，然后利用等差数列的求和公式可求出9S 的值.
【详解】
由等差数列的基本性质可得1937213a a a a +=+=+=，
因此，()199********a a S +⨯=
==. 故答案为：
272
. 【点睛】
本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．1
【解析】
【分析】
根据不等式组，画出可行域，数形结合求解即可.
【详解】
由题可知，可行域如下图所示：
容易知：()()()1,0,0,1,1,2A B C ，
2z x y =+可得：1122
y x z =-+， 结合图像可知，z 的最小值在()1,0A 处取得，
则1201z =+⨯=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查线性规划的基础问题，只需作出可行域，数形结合即可求解.
16．()
[),31,-∞-+∞
【解析】
【分析】 103
x x -≥⇔+(1)(3)0x x -+≥且30x +≠，然后解一元二次不等式可得解集． 【详解】 解：10
3
x x -≥+， ∴(1)(3)0x x -+≥且30x +≠，
1x ∴≥或3x <-，
∴不等式的解集为()
[),31,-∞-+∞， 故答案为：()
[),31,-∞-+∞． 【点睛】
本题主要考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式转化为其等价形式，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）1α
= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析 【解析】
【分析】
（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明； （2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.
【详解】
解：（Ⅰ）∵函数21()22
x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ， ∴(0)0f =，即11012
a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)
x x x x f x -=-=++ ()()
2112()()221212x x
x x f x f x -----===-++，
()f x ∴为奇函数，1a ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()
2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，
()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭
()()2211222121x x x x =++-
∵12x x <，∴1222x x <，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <
故()f x 在R 上单调递增.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.
18．（1）见解析；（2）
14 【解析】
【分析】
（1）先由线面垂直的判定定理得到PE ⊥平面PAB ，进而可得平面PEC ⊥平面PAB ；
（2）先取AB 中点F ，连结PF ，EF ，证明平面PEF ⊥平面ABCE ，在平面PEF 内作PO EF ⊥于O 点，则PO ⊥平面ABE . 以O 点为原点，OF 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.
【详解】
（1）因为四边形ABCD 是正方形，所以折起后PE PA ⊥，且PA AB =，
因为60PAB ∠=︒，所以PAB ∆是正三角形，所以PB PA =.
又因为正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以EA EB =，所以PAE PBE ∆≅∆，
所以EPB EPA ∠=∠，所以PE PB ⊥，又因为PA PB P ⋂=，所以PE ⊥平面PAB .
又PE ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PAB .
（2）取AB 中点F ，连结PF ，EF ，则AB PF ⊥，AB EF ⊥，
又PF EF F ⋂=，则AB ⊥平面PEF .又AB ⊂平面ABCE ，所以平面PEF ⊥平面ABCE .
在平面PEF 内作PO EF ⊥于O 点，则PO ⊥平面ABE .
以O 点为原点，OF 为x 轴，OP 为z 轴，如图建立空间直角坐标系.
在PEF ∆中，3PF =，1PE =，2EF =.
∴13322PO ⨯==，12EO =，故30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1,0,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴33,1,2PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，()2,1,0AE =-. 设平面PAE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则由11
00n PA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得 3302220x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩
，令1x =，得2y =，33z =-， ∴131,2,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 因为平面ABE 的法向量为()20,0,1n =，
则123
13cos ,4413n n -
==-⨯， 又二面角P AE B --为锐二面角，∴二面角P AE B --的余弦值为14
.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.
19．（1）60A =︒；（2）3【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；
（2）由余弦定理得，222211622
b c bc b c bc =+-⨯
=+-，综合222b c bc +≥，得16bc ≤，从而可得到本题答案.
【详解】
（1）因为sin cos sin cos 0a A C c A A +=，
所以2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=，
即()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +=，
所以sin sin 0A B B -=，
又sin 0B ≠，所以sin 2
A =，由ABC ∆为锐角三角形，则60A =︒； （2）因为2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==， 所以222211622
b c bc b c bc =+-⨯=+-， 所以162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤（当且仅当4b c ==时取等号），
所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=
≤⨯⨯︒=【点睛】
本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值. 20．（1）3
π；（2）7. 【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA 的值，进而求得A ；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A 求得a ．
详解：（1）∵1sin 2ABC S bc A ∆= 138sin 2A =⨯⨯⨯=
∴sin A = ∵A 为锐角， ∴3A π
=；
（2）由余弦定理得：
a =7==. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理
一定要熟记两种形式：（1）222
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用
两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
21． (1) 210x y -+=； (2) 270x y +-=
【解析】
【分析】
(1)先求出1l 与2l 的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】
（1）由4020
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得13x y =⎧⎨=⎩， ∴1l 与2l 的交点为()1,3.
设与直线210x y --=平行的直线为20x y c -+=，
则230c -+=，∴1c =.
∴所求直线方程为210x y -+=.
（2）设与直线210x y --=垂直的直线为20x y c ++=，
则1230c +⨯+=，解得7c =-．
∴所求直线方程为270x y +-=.
【点睛】
两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
22．（1）3(1,2,
)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212
n n n ++- 【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得
d=== 1．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1n 设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则
q 1===8，∴q=2，
∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．。