永修县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永修县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB=6，
AC=4，A=45°，O为△ABC的外心，
则
•等于（）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．已知函数f（x）
=
，则的值为（）
A
．B
．C．﹣2 D．3
3．
定义运算
，例如
．若已知
，则
=（）
A
．B
．C
．D
．
4．已知集合A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，则实数m为（）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
5．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=log a（x+k）的是（）
A
．B
．C
．D
．
6．若直线2
y x
=上存在点(,)
x y满足约束条件
30,
230,
,
x y
x y
x m
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪≥
⎩
则实数m的最大值为
A、1-
B、
C、
3
2
D、2
7．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）
A． B．4 C． D．2
8．已知一组函数f n（x）=sin n x+cos n x，x∈[0，]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（）
①∀n∈N*，f n（x）≤恒成立
②若f n（x）为常数函数，则n=2
③f4（x）在[0，]上单调递减，在[，]上单调递增．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）
A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3
10．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）
A．64 B．32 C．64
3
D．
32
3
11．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；红、黑球各一个
12．已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
二、填空题
13．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D 中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧 面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
15．若实数x ，y 满足x 2
+y 2
﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ． 16．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ．
17．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 18．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.
三、解答题
19．已知函数()f x =1
21
x a +- （1）求()f x 的定义域.
（2）是否存在实数a ，使()f x 是奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。

（3）在（2）的条件下，令3
()()g x x f x =，求证：()0g x >
20．如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，AC=BC=BD=2AE=，M 是AB 的中点．
（1）求证：CM ⊥EM ；
（2）求MC 与平面EAC 所成的角．
21．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
22．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
23．在等比数列{a n}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．
24．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．
（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
永修县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，
可得，，则•==16﹣18=
﹣2；
故选A．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题
2．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
====．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
4．【答案】B
【解析】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，
∴m=2或m2﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=2时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3． 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
5． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f （﹣x ）+f （x ）=0
即（k ﹣1）（a x ﹣a ﹣x
）=0
则k=1
又∵函数f （x ）=ka x
﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a ＞1
则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
6． 【答案】B
【解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象 与直线03=-+y x 的交点时，
函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内，
由230y x x y =⎧⎨+-=⎩
，得)2,1(P ，∴1≤m ．
7． 【答案】C
【解析】
解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h=
=3
故V=
=2
425
41
41
5
4
32
故选C
8．【答案】D
【解析】解：①∵x∈[0，]，∴f
（x）=sin n x+cos n x≤sinx+cosx=≤，因此正确；
n
②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，
当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则f n（x）=+=g（t），g′（t）=﹣
=，当t∈时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；
当t∈时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数f n（x）不是常数函数，因此②正确．
③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，当x∈[0，
]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上单调递减，当x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上单调递增，因此正确．
综上可得：①②③都正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2==﹣2，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则===﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
10．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432
⨯⨯⨯=，故选B.
2
考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
11．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
12．【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
二、填空题
13．【答案】
⎣⎦
【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
14．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})12)(12(2{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=5
32
312S
=
-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
. 15．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=x ﹣2y 过图形上的点A 的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x 2+y 2﹣2x+4y=0可化为（x ﹣1）2+（y+2）2
=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x ﹣2y ，将z 看做斜率为的直线z=x ﹣2y 在y 轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x ﹣2y 经过点A （2，﹣4）时，z 最大， 最大值为：10． 故答案为：10．
16．【答案】 1000 ．
【解析】解：∵x 是400和1600的等差中项，
∴x=
=1000．
故答案为：1000．
17．【答案】
【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（k 1＋k 2·2n ）－（k 1＋k 2·2n －1）＝k 2·2n －1， ∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，① 又a 2，a 3，a 4－2成等差数列． ∴2a 3＝a 2＋a 4－2， 即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.② 由①②联立得k 1＝－1，k 2＝1， ∴a n ＝2n －1. 答案：2n －1 18．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
三、解答题
19．【答案】 【解析】
试
题解析：（1）由210x
-≠得：0x ≠
∴()f x 的定义域为{}
0x x ≠------------------------------2分
（2）由于()f x 的定义域关于原点对称，要使()f x 是奇函数，则对于定义域{}
0x x ≠内任意一个x ，都有
()()f x f x -=-即：112121x x
a a -⎛
⎫+
=-+ ⎪--⎝⎭
解得：1
2
a =
∴存在实数1
2
a =
，使()f x 是奇函数------------------------------------6分 （3）在（2）的条件下，12a =，则3
311()()221x g x x f x x ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭
()g x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，且33()()()()()g x x f x x f x g x -=--==
则()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称。

当0x >时，21x >即210x
->又210x
+>，3
0x >
∴331
121()02212(21)x x x
g x x x +⎛⎫=+=> ⎪--⎝⎭
g 当0x <时，由对称性得：()0g x >分
综上：()0g x >成立。

--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。

20．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB ，
∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵M 为AB 的中点， ∴AM=BM=CM ，CM ⊥AB ， ∵EA ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥AC ，
设AM=BM=CM=1，则有AC=
，AE=AC=
，
在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt △AEM 中，根据勾股定理得：EM=
=
，
∴EM 2+MC 2=EC 2
，
∴CM ⊥EM ；
（2）解：过M 作MN ⊥AC ，可得∠MCA 为MC 与平面EAC 所成的角， 则MC 与平面EAC 所成的角为45°．
21．【答案】
【解析】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
22．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
设回归方程为=bx+a
则b=﹣5/﹣5=1380﹣5×5×50/145﹣5×52
=6.5
故回归方程为=6.5x+17.5
（3）当x=7时，=6.5×7+17.5=63，
所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．
23．【答案】
【解析】解：由已知可得方程组，
第二式除以第一式得=，
整理可得q2+4q+4=0，解得q=﹣2．
24．【答案】
【解析】（1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
，，
∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日。