2019年高考数学一轮复习课时分层训练19函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数的简单应用文北师大版_85

课时分层训练(十九) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的
简单应用
(对应学生用书第204页)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像
( )
A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移π
12
个单位
D ．向左平移π
4
个单位
A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．]
2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图3­4­4所示，则ω，
φ的值分别是
( ) 【导学号：00090100】
图3­4­4
A ．2，－π
3
B ．2，－π
6
C ．4，－π
6
D ．4，π3
A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π
2
＋2k π，
k ∈Z ，∴φ＝－π3
＋2k π.又∵φ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2，π
2
，∴φ＝－π3
.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则平移后图像的
对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π
6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ) C ．x ＝
k π
2－π
12
(k ∈Z ) D ．x ＝
k π
2＋π
12
(k ∈Z ) B [将函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图
像的对称轴为x ＝
k π
2
＋
π
6
(k ∈Z )．] 4．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( ) A ．t ＝12，s 的最小值为π
6
B ．t ＝
32，s 的最小值为π6
C ．t ＝12，s 的最小值为π
3
D ．t ＝
32，s 的最小值为π3
A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4
－s ，12.
因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝1
2，即cos 2s ＝12，所以2s
＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π
6(k ∈Z )，所以s 的最小值
为π
6
.] 5．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
5π8
＝2，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
A [∵f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π8＝0且f (x )的最小正周期大于2π，
∴f (x )的最小正周期为4⎝
⎛⎭⎪⎫11π8
－5π8＝3π，
∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π8＝2， ∴2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×5π8＋φ＝2， 得φ＝2k π＋π
12
，k ∈Z .
又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π
12.
故选A ．] 二、填空题
6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]
7．(2018·重庆模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ≤π
2)图像上每一点的
横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
π
6
个单位长度．得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝________. 2
2 [y ＝sin x
y
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6―――――――――――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6，
即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋
A cos ⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π
6
x －
(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. 【导学号：00090101】
20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－18
2＝5，
∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π
6
x －
， 当x ＝10时，
y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6
×4＝20.5.]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上的图像． [解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π
4.
(2)图像如图所示．
10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像过点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫π12，0，图像上与点P 最近的
一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，5.
(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间． [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－π12＝π，
2分 ∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图像过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0， 4分
∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，
∴y ＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.
6分
(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，k ∈Z ，
10分 故函数f (x )的递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2018·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图3­4­5是一个半径为R 的水车，一个水斗从点
A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，
水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π
2
)．则下列叙述错误的是
( ) 【导学号：00090102】
图3­4­5
A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π
6
B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6
C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减
D ．当t ＝20时，|PA |＝6 3
C [由题意，R ＝27＋9＝6，T ＝60＝2πω，∴ω＝π
30，当t ＝0时，y ＝f (t )＝－3，
代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π
6
.故A 正确；
f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π，53π，∴点P 到x 轴的距离
的最大值为6，正确；
当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
6
π，2π3，函数y ＝f (t )不单调，不正确；
当t ＝20时，π30t －π6＝π
2
，P 的纵坐标为6，|PA |＝27＋81＝63，正确，故选C ．]
2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围
为________．
(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．
结合函数的图像可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图3­4­6所示．
图3­4­6
(1)求f (x )的解析式；
(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122
，
求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值． [解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π
3
，
2分
∴ω＝32
.
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＋φ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.
4分
∵0＜φ＜π
2，
∴－π4＜φ－π4＜π4，
∴φ－π4＝0，即φ＝π4
，
∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
x ＋π4.
6分
(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32⎝
⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
x ＋π8， 8分
∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122
＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42
＝2－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.
10分
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，
∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π
4
时，g (x )max ＝4.
12分。