量子力学习题课-田浩

r r r r − h ∇2ϕ(r ) +U(r )ϕ(r ) = Eϕ(r ) 2µ
习题： 习题：讨论题，比较简单的计算题. 注意： 注意：波函数计算时的注意事项
A 例题4、有一粒子沿x方向运动，其波函数为 ϕ ( x) = 1 + ix （1）将此波函数归一化. （2）求出粒子按坐标的概率分布函数. （3）在何处找到粒子的概率最大？
1. 氢原子 r h2 ∇2 +U(r)] (r ) = Eψ (r ) [− ψ 氢原子的薛定谔方程 2µ
n = 1, 2, 3, LL
e2 U (r ) = − 4 rπε 0 r
l = 0,1,2, L, n − 1 m = 0, ± 1, ± 2, L, ± l
ms = ± 1 2
µ e4 1 En = − 2 ( 4 πε 0 n h ) 2
8ma
二.波函数与薛定谔方程
1. 量子力学的基本原理之一波函数 波函数 波恩的统计解释 波函数的标准条件及态叠加原理 2. 量子力学的基本原理之二薛定谔方程 r 2 r r ∂ψ(r , t ) 薛定谔方程 ih = [− h ∇2 +U(r , t )]ψ(r , t ) ∂t 2µ 定态薛定谔方程 2 3. 一维定态问题 一维无限深方势阱 线性谐振子 方势垒
例题8、求线性谐振子在第一激发态时，概率最大的位置. 解： 第一激发态波函数为
ψ 1 (ξ ) = A1e
−ξ
2
2
H1 ( ξ ) ,
ξ = α x, α =
mω h
H1 (ξ ) = 2ξ
2 d ψ1 (ξ ) = 0 令 dξ
可得ξ1 = 0, ξ2,3 = ±1
h x0 = ± m ω
m ω 因 有 此 x0 = ±1 h
E = hν h h , λ= = 当 v << c 时， p m0 v p = h λ 2、不确定关系（测不准原理） 、不确定关系（测不准原理） 动量与坐标： ∆px ⋅ ∆x ≥ h 2 能量与时间： ∆E ⋅ ∆t ≥ h 2
3、实物粒子的波粒二象性 、 颗粒性，叠加性 习题： 习题：计算德布罗意波长，不确定关系的简单应用. 注意： 注意：单位换算，相对论非相对论，不确定量的使用
解： 1）由归一化条件 ∫ ϕ * ϕ dx = 1 （ −∞
+∞
+∞
+∞ dx A A 2 ⋅ dx = A ∫ dx = A2 arctan x 于是 ∫−∞ −∞ 1 + x 2 1 − ix 1 + ix −∞
+∞
即 A2π = 1 ⇒ A = 1
π .
1 π (1 + x 2 )
（2）概率分布函数为： P = ϕ *ϕ = （3）找到粒子的概率最大，即
dP(x) d 2P(x) = 0, < 0. 2 dx dx
于是 x=0
例题5、当势能U(r)改变一个常量c时，即U(r) →U(r)+c,粒 子的波函数与时间无关的部分改变否?能量本征值 改变否? 2
h 2 − ∇ +U ( r ) ψ ( r ) = E ( r ) ψ 解：由薛定谔方程 2m
x = ∫ xρ ( x)dx = ∫ x ⋅ 4λ x e
−∞ 0
∞
λ
找到粒子的概率最大.
3 2λ
3 2 −2λx
dx = 4λ
3
3!
x2 =
−∞
∫
x2 ρ ( x)dx = ∫ x2 ⋅ 4λ3x2e−2λxdx
0
∞
( 2λ)
3+1
∴x =
∴ x 2 = 4λ 3
4!
( 2λ )
4 +1
=
3
λ2
例题10、粒子在一維无限深势阱中运动,其波函数为
2 nπ x sin ψn ( x) = , ( 0 ≤ x ≤ a) a a
ψn ( x) = 0, ( x < 0, x > a) ，计算动量和动能的平均值
∂ ˆ x = −ih 解：动量算符 p ∂x 动量的平均值为 ∂ * * ˆ px = ∫ψ n ( x ) pxψ n ( x ) dx = ∫ψ n ( x ) −ih ψ n ( x ) dx
0 ∞ 0≤ x≤a x < 0, x > a
2 nπ x sin , ( 0 ≤ x ≤ a) a a
其归一化波函数为
ψn ( x) =
ρ(x) ρ’(x)
ψn ( x) = 0, ( x < 0, x > a)
概率密度 0 a/4 3a/4 a x
ρ( x) = ψn = sin 2
例题9、设一维运动的粒子处在 ψ ( x) = 0( x ≤ 0) 的状态,其中λ>0,试求: (1) 归一化因子，(2) 粒子坐标的概率分布，(3) 在何处找到粒子的概率最大，(4)x和x2的平均值 2 解：（1）求归一化因子 A
∞ −∞
ψ ( x) = Axe−λx ( x ≥ 0)
∫ ψ ( x)
当势能函数
U(r) →U(r) + C
h2 2 − ∇ +U ( r ) + Cψ ( r ) = ECψ ( r ) 2m h2 2 − ∇ +U ( r ) ψ ( r ) + C ( r ) = ECψ ( r ) ψ 2m
将U(r)+c代入方程中
EC − C = E
例题11、下列各量子数中，哪一组可以描述原子中电 子的状态？ (A).n=2, l=2, ml=0, ms=1/2 (B). n=3, l=1, ml=−1, ms=−1/2 (C). n=1, l=2, ml=1, ms=1/2 (D). n=1, l=0, ml=1, ms=−1/2 例题12、 根据量子论，氢原子核外电子的状态可由四个 量子数来确定，其中主量子数n可取的值为 （ ），它可决定什么？ 例题13、原子内电子的量子态由n,l,ml及ms四个量子数表 征。当n,l,ml一定时，不同的量子态数目为（） 当n,l,一定时，不同的量子态数目为（），当n 一定时，不同的量子态数目为（ ）. 例题14、在氢原子的L壳层中，电子可能具有的量子数 （n,l,ml,ms）是 (B) (2,1,-1,1/2) (A) (1,0,0,-1/2) (C) (2,0,1,-1/2) (D) (3,1,-1,1/2)
ρ ( x) =
2λ ψ ( x) A
3 2 2
=
2λ A
3 2
2
Axe−λx
= 4λ3x2e−2λx ( x ≥ 0)
d ρ ( x) =0 （3）若求粒子概率最大处,令 dx
ρ ( x) = 0( x ≤ 0)
即 xe−2λx − 2λx2e−2λx = 0, 得x = 2
∞ ∞
1
（4）求 x和 x2 的平均值
a a
题中所给波函数为本征函数的线性组合， 做变换如下:
ψ ( x) =
4 πx πx 1 2 πx 2 3π x sin cos2 = sin + sin a a a a a a 2 a 1 = c1 1 ( x) + c3ψ3 ( x) , 式 c1 = c3 = ψ 中 2
一个质量m的粒子在边长为a的正立方盒子内运动时它的最小可能能量零点能为量子力学的基本原理之一波函数波函数波恩的统计解释波函数的标准条件及态叠加原理量子力学的基本原理之二薛定谔方程薛定谔方程定态薛定谔方程一维定态问题一维无限深方势阱线性谐振子习题
量子力学
一.实物粒子的波粒二象性
1、德布罗意（物质波）假说 、德布罗意（物质波）
= −i 2h nπ x ∂ nπ x sin sin ∫ a ∂x a dx a 0
a
a

∂x
2h nπ nπ x nπ x = −i sin cos ∫ dx = 0 a a 0 a a
ˆ2 px h2 ∂ 2 ˆ 动能算符 T = =− 2m 2m ∂x 2
h2 ∂2 h 2 n 2π 2 ˆ T = ∫ψ ( x ) Tψ n ( x ) dx = ∫ψ ( x ) − ψ x dx = 2 n ( ) 2ma 2 2m ∂x
* n * n
四.原子中的电子
E = hυ = hc
E 电子射线： k =
hc
2
λ
= 1.24 ×10 eV
9
λ = 1.24 ×109 eV
2 + m0 c 4 − m0 c 2
例题3、若一个电子处于原子某能态的时间为10-8s.试问这个 原子能态的能量最小不确定量是多少？如果这个原子 从上述能态跃迁到基态辐射的能量为3.39eV，计算所 辐射的光子波长并讨论这波长的最小不确定量。
三.力学量与算符
1. 量子力学的基本原理之三力学量算符 ˆ ˆ 在量子力学中，力学量用一个算符 A表示，通过 A 的 ˆψ 本征方程 A n = λψn 可求得本征函数 ψn 和本征值 λn。 当体系处在态 ψn 时，力学量有确定值，即 λn 。 2. 量子力学的基本原理之四全同粒子体系 微观全同粒子体系的状态不因其粒子相互交换位置而 改变。这一规律称为微观粒子的全同性原理。换句话 说，系统内任意两个全同粒子互相交换，都不改变系 统的状态。
例题7、设粒子处在[0,a]范围内的一维无限深方势阱中, 4 π x 2 π x ，试求粒子能 波函数为 sin cos ψ ( x) = 量的可能 a a a 测量值及相应的概率. 解：在一维无限深方势阱中能量本征值 h2π 2n2
En = 2ma
2
, ( n =1,2,3⋅⋅⋅)
相应的能量本征函数为 2 nπ x ψn ( x) = sin , ( 0 ≤ x ≤ a)
2
2 a
nπx a
（1）在距内壁四分之一宽度内发现粒子的概率为 ρ ( x) =1− ρ '( x) ，其中
3a
ρ ' ( x) =
∫
a
4
4
2 2 nπ x 1 a 2nπ x sin dx = x − sin a a 2nπ a a a
L = l (l + 1)h
Lz = mh S z = ms h
n , l , ml , ms 2. 原子的电子壳层结构 泡利不相容原理，能量最小原理 (n+0.7l ) 元素周期表各壳层最多能容纳的电子数
对给定的次壳层 l = 0 1 2 3 4 …… s p d f g …… 容纳最多电子数 2 6 10 14 18 …… 对给定的壳层 n = 1 2 3 4 5 …… K L M N O …… 容纳最多电子数 2 8 18 32 50 …...
能量最小不确定量： 光子波长：
∆E ≥ h hc = 6.59 × 10−8 eV λ = = 3.67 ×10−7 m ∆t E
波长的最小不确定量
∆λ = hc ∆E = 7.13 × 10−15 m E2
附题1、证明：一个质量m的粒子，在边长为a的正立方盒子内 3h 2 运动时，它的最小可能能量（零点能）为 Emin = 2
3a
4
4
所以 ρ ( x) =1− ρ ' ( x) = −
ρ ( x)n=3 = +
1 1 2 3π
1 1 nπ = + sin 2 nπ 2
1 1 nπ sin 2 nπ 2
（2）n=3时上述区域找到粒子的概率最大,其值为:
1 1 （3） n →∞时 →0, ρ ( x) → n 2 与经典结果相同，在势阱内粒子在各处出现的概率相 等,量子力学过渡到经典力学.
例题1、分别就非相对论和相对论的场合，求质量为m，电 荷为e的粒子在动能为Ek时的德布罗意波长.
非相对论： λ =
h h = p 2mEk
λ 相对论：=
h = p
h Ek2 + 2m0 c 2 Ek
例题2、为了调查10-15m程度的原子核结构，伽玛射线和电子 射线的能量分别多大？ 2 2
伽玛射线：
2
dx = ∫ Axe
0
∞
2
−λx
dx = A
2
2
( 2λ)
3
= 2
λ3
注:式中运用定积分：a>0，n为整数时 ∞ n! n −ax ∫ x e = an+1 0
2 ∞
即∫

λ
3
2
−∞
A 2
ψ ( x)
2λ 2 =1 归 化 子 , 一 因 为 A
3
（2）粒子坐标的概率分布函数(即几率密度函数)
故波函数与时间无关的部分不改变,能量本征值 改变.
例题6、设粒子在一维无限深方势阱中运动,能量的量子数 为n,试求: （1）距势阱内壁四分之一宽度以内发现粒子的概率. （2）n为何值时，在上述区域内找到粒子的概率最大. （3）当n→∞时该概率的极值, 说明结果的物理意义. 解：无限深方势阱为 U ( x ) = U(x)