第三章测量数据处理(复习深入整理)

第三章测量数据处理
1，系统误差的发现
(1)在规定的测量条件下多次测量同一个被测量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值。

(2)在测量条件改变时，例如随时间、温度、频率等条件改变时，测量结果按某一确定的规律变化，可能是线性地或非线性地增长或减小，就可以发现测量结果中存在可变的系统误差。

2，减小系统误差的方法
要完全消除系统误差比较困难，但降低系统误差则是可能的。

降低系统误差的首选方法是用标准件校准仪器，作出校正曲线；
（1）采用修正的方法
（2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素
（3）选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果的测量方法。

3，试验和测量中常用的几种减小系统误差的测量方法：
(1)恒定系统误差消除法
①异号法
改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种条件下的测量结果中的误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。

②交换法
将测量中的某些条件适当交换，例如被测物的位置相互交换，设法使两次测量中的误差源对测结果的作用相反，从而抵消了系统误差。

例如：
用等臂天平称重，x=（p p′）1/2
③替代法
保持测量条件不变，用某一已知量值的标准器替代被测件再作测量，使指示仪器的指示不变或指零，这时被测量等于已知的标准量，达到消除系统误差的目的。

(2)可变系统误差消除法：
合理地设计测量顺序可以消除测量系统的线性漂移或周期性变化引入的系统误差。

①对称测量法消除线性系统误差
替代方案采用按“标准～被校～被校～标准”顺序进行。

②半周期偶数测量法消除周期性系统误差——这种方法广泛用于测角仪上。

4，修正系统误差的方法：
（1）在测量结果上加修正值
修正值的大小等于系统误差估计值的大小，但符号相反。

当测量结果与相应的标准值比较时，测量结果与标准值的差值为测量结果系统误差估计值。

（2）对测量结果乘修正因子
（3）画修正曲线；实际画图时，通常要采用最小二乘法将各数据点拟合成最佳曲线或直线。

（4）制定修正值表
5，获得修正值或修正因子的注意事项：
(1)修正值或修正因子的获得，最常用的方法是将测量结果与计量标准的标准值比较得到，也就是通过校准得到。

修正曲线往往还需要采用实验方法获得。

(2)修正值和修正因子都是有不确定度的。

在获得修正值或修正因子时，需要评定这些值
的不确定度。

(3)使用已修正测量结果时，该测量结果的不确定度中应该考虑由于修正不完善引入的不确
定度分量。

6，随机误差是指“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差”。

它是在重复测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量。

由于实际工作中不可能测量无穷多次，因此不能得到随机误差的值。

随机误差的大小程度反映了测量值的分散性，即测量的重复性。

重复性是用实验标准偏差表征的。

用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。

实验标准偏差是表征测量值分散性的量。

当用多次测量的算术平均值作为测量结果时，测量结果的实验标准偏差是测量值实验标准偏差的1/√n倍(n为测量次数)。

因此可以说，当重复性较差时可以增加测量次数取算术平均值作为测量结果，来减小测量的随机误差。

7，几种常用的实验标准偏差的估计方法：
在相同条件下，对同一被测量x作n次重复测量，每次测得值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可按以下几种方法估计。

（1）贝塞尔公式法
——适合于测量次数较多的情况
从有限次独立重复测量的一系列测量值代入式（3—6）得到估计的标准偏差（用样本的标准偏差s来衡量分析数据的分散程度）。

（3—6）
式中（n-1）为自由度，它说明在n次测定中，只有（n—1）个可变偏差，引入（n—1），主要是为了校正以样本平均值代替总体平均值所引起的误差。

式中：——n次测量的算术平均值，
vi——第i次测量的测得值；
vi=xi———残差
v=n—1——自由度
s(x)——(测量值x的)实验标准偏差。

计算步骤如下：
(1)计算算术平均值：
(2)计算10个残差：
(3)计算残差平方和：
(4)计算实验标准偏差
（2）极差法
一般在测量次数较小时采用该法。

从有限次独立重复测量的一系列测量值中找出最大值x max最小值工x min，得到极差r=x max—x min，根据测量次数n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估计的标准偏差。

s(x)=( x max—x min)/c (3-8)
（3）较差法
——适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。

从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，代入下值得到估计的标准偏差：
8，各种实验标准偏差估计方法的比较
贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不确定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。

极差法和最大残差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。

在测量次数较少时常采用极差法。

较差法更适用于随机过程的方差分析，如适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。

9，什么是异常值
异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。

也称为存在着“粗大误差”。

所以必须正确地判别和剔除异常值。

在测量过程中，记错、读错、仪器突然跳动、突然震动等异常情况引起的已知原因的异常值，应该随时发现，随时剔除，这就是物理判别法。

有时，仅仅是怀疑某个值，对于不能确定哪个是异常值时，可采用统计判别法进行判别。

10,判别异常值常用的统计方法：
（1）拉依达准则：∣Xd-x∣≥3s
（2）格拉布斯准则：∣Xd-x∣/s≥G（a,n）
（3）狄克逊准则：（考前加强，出的可能性不大）
11，三种异常值判别准则的比较：
(1)当ｎ＞50的情况下，3σ准则较简便；3＜n＜50的情况下，格拉布斯准则效果较好，适用于单个异常值；有多于一个异常值时狄克逊准则较好。

(2)实际工作中，有较高要求的情况下，可选用多种准则同时进行，若结论相同，可以放心。

当结论出现矛盾，则应慎重，此时通常需选a=0.01。

当出现既可能是异常值，又可能不是异常值的情况时，一般以不是异常值处理较好。

12，最大允许误差可以用绝对误差，相对误差，引用误差或它们的组合形式表示。

绝对误差＝引用误差×特定值（满刻度值）
绝对误差＝相对误差×示值
13，计量器具的示值误差是指计量器具(即测量仪器)的示值与相应测量标准提供的量值之差。

在计量检定时，用高一级计量标准所提供的量值作为约定值，称为标准值；
被检仪器的指示值或标称值统称为示值。

则示值误差可以用下式表示：
示值误差=示值一标准值
根据被检仪器的情况不同，示值误差的评定方法有比较法、分部法和组合法几种。

14，计量器具（测量仪器）的合格评定又称符合性评定，就是评定仪器的示值误差是否在最大允许误差范围内，也就是测量仪器是否符合其技术指标的要求，凡符合要求的判为合格。

评定的方法就是将被检计量器具与相应的计量标准进行技术比较，在检定的量值点上得到被检计量器具的示值误差，再将示值误差与被检仪器的最大允许误差相比较确定被检仪器是否合格。

15，测量仪器示值误差符合性评定的基本要求
按照jjfl094一2002《测量仪器特性评定》的规定，对测量仪器特性进行符合性评定时，若评定示值误差的不确定度满足下面要求：
评定示值误差的测量不确定度(u95或k=2时的u)与被评定测量仪器的最大允许误差的
绝对值(mpev)之比小于或等于1：3，即满足
u95≤1/3mpev
时，示值误差评定的测量不确定度对符合性评定的影响可忽略不计(也就是合格评定误判概率很小)，此时
合格判据为
判为合格
不合格判据为
判为不合格(3-28)
式中：
——被检仪器示值误差的绝对值；
mpev——被检仪器示值的最大允许误差的绝对值。

对于型式评价和仲裁鉴定，必要时u95与mpev之比也可取小于或等于1：5。

16，考虑示值误差评定的测量不确定度后的符合性评定
依据计量检定规程以外的技术规范对测量仪器示值误差进行评定，并且需要对示值误差是否符合最大允许误差做出符合性判定时，必须对评定得到的示值误差进行测量不确定度评定，当示值误差的测量不确定度(u95或是k=2时的u)与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值(mpev)之比不满足小于或等于1：3的要求时，必须要考虑示值误差的测量不确定度对符合性评定的影响。

(1)合格判据
当被评定的测量仪器的示值误差δ的绝对值小于或等于其最大允许误差的绝对值mpev 与示值误差的扩展不确定度u95之差时可判为合格，即
≤mpev-u95 判为合格
(2)不合格判据
当被评定的测量仪器的示值误差δ的绝对值大于或等于其最大允许误差的绝对值mpev 与示值误差的扩展不确定度u95之和时可判不合格，即
判为不合格
(3)待定区
当被评定的测量仪器的示值误差既不符合合格判据又不符合不合格判据时，为处于待定区。

这时不能下合格或不合格的结论，即
当测量仪器示值误差的评定处于不能做出符合性判定时，可以通过采用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增加测量次数和改善测量方法等措施，以降低示值误差评定的测量不确定度u95后再进行合格评定。

对于只具有不对称或单侧允许误差限的被评定测量仪器，仍可按照上述原则进行符合性评定。

17，计量器具其他一些计量特性的评定：
（一）准确度等级
测量仪器的准确度等级应根据检定规程的规定进行评定。

有以下几种情况：
（1）以最大允许误差评定准确度等级
依据有关规程或技术规范，当测量仪器的示值误差不超过某一档次的最大允许误差要求，且其他相关特性也符合规定的要求时，则判该测量仪器在该准确度级别合格。

使用这种仪器时，可直接用其示值。

不需要加修正值。

例如：
弹簧式精密压力表，用引用误差的最大允许误差表示的准确度等级分为0.05级，0.1级，0.16级，0.25级，0.4级，0.6级等。

0.05级表明用引用误差表示的最大允许误差0.05%。

（2）实际值的测量不确定度评定准确度等级
依据计量检定规程对测量仪器进行检定，得出测量仪器示值的实际值，测量仪器实际值的扩展不确定度满足某一档次的要求，且其他相关特性也符合规定的要求时，则判该测量仪器在该准确度等别合格。

这表明测量仪器实际值的扩展不确定度不超出某个给定的极限。

用这种方法评定的仪器在使用时，必须加修正值，或使用校准曲线给出的值。

（3）测量仪器多个准确度等级的评定
当被评定的测量仪器包含两个或两个以上的测量范围，并对应不同的准确度等级时，应分别评定各个测量范围的准确度等级。

对多参数的测量仪器，应分别评定各测量参数的准确度等级。

(二)分辨力
对测量仪器分辨力的评定，可以通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的最小示值来确定。

（1）带数字显示装置的测量仪器的分辨力为：
最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。

例如：
数字电压表最低位数字显示变化一个字的示值差为1μv，则分辨力为1μv。

（2）用标尺读数装置(包括带有光学机构的读数装置)的测量仪器的分辨力为：
标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。

(三)灵敏度
对被评定测量一起，在规定的某激励值上通过一个小的激励变化δx，得到相应的响应变化δy，，则比值s=δy/δx，即为该激励值时的灵敏度。

对线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。

（四）鉴别力
对被评定测量仪器，在一定的激励和输出相应下，通过缓慢单方向地逐步改变激励输入，观察其输出响应。

使测量仪器产生恰能察觉有响应变化时的激励变化，就是该测量仪器的鉴别力。

（五)稳定性
这是对测量仪器保持其计量特性恒定能力的评定。

通常可用以下几种方法来评定：
（1）方法一：
通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化，当变化达到某规定值时，其变化量与所经过的时间间隔之比即为被评定测量仪器的稳定性。

（2）方法二：
通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随时间的变化，用所记录的被评定测量仪器计量特性在观测期间的变化幅度除以其变化所经过的时间间隔，即为被评定测量仪器的稳定性。

（3）方法三：频率源的频率稳定性用阿伦方差的正平方根值评定，称频率稳定度。

当稳定性不是对时间而言时，应根据检定规程、技术规范或仪器说明书等有关技术
文件规定的方法评定。

（六）漂移
根据技术规范要求，用测量标准在一定时间内观测被评定测量仪器计量特性随时间的慢变化，记录前后的变化值或画出观测值随时间变化的漂移曲线。

当测量仪器计量特性随时间呈线性变化时，漂移曲线为直线，该直线的斜率即漂移率。

在测得随时间变化的一系列观测值后，可以用最小二乘法拟合得到最佳直线，并根据直线的斜率计算出漂移率。

(七)响应特性
在确定条件下，激励与对应响应之间的关系称为测量仪器的响应特性。

评定方法是：
在确定条件下，对被评定测量仪器的测量范围内不同测量点输入信号，并测量输出信号。

当输入信号和输出信号不随时间变化时，记下被评定测量仪器的不同激励输入时的输出值，列成表格、画出曲线或得出输入输出量的函数关系式，即为测量仪器静态测量情况下的响应特性。

18，概率分布：（3-31）
19，期望：期望又称(概率分布或随机变量的)均值(mean)或期望值，有时又称数学期望。

常用符号μ表示，也可用e(x)表示被测量x的期望。

离散随机变量的期望为
（3-32）
连续随机变量的期望为
（3-33）
式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。

期望是在无穷多次测量的条件下定义的，通俗地说：无穷多次测量的平均值。

期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。

对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。

因为实际上不可能进行无穷多次测量，因此测量中期望值是可望而不可得的。

10，方差：（随机变量或概率分布的）方差用符号σ 2 表示
（3-34）测量值与期望值之差是随机误差，用δ表示，δi=x i－μ，方差就是随机误差平方的期望值。

测量值x的方差还可写成v(x)，是随机变量x的每一个可能值对其期望e(x)的偏差的平方的期望，也就是测量的随机误差平方的期望
（3-35）
已知测量值的概率密度函数时，方差可表示为
（3-36）
当期望值为零时方差可表示成
（3-37）
方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。

但由于方差是平方，使用不方便、不直观，因此引出了标准偏差这个术语。

21，标准偏差——σ
（概率分布或随机变量的）标准偏差是方差的正平方根值，用符号σ表示，又可称标准差。

（3-38）
标准偏差是表明测量值分散性的参数，σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。

用期望与标准偏差表征概率分布
期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。

由于方差不便使用，通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。

——μ影响概率分布曲线的位置；
对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。

——σ影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。

（σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。

）
期望与标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无法由测量得到μ和σ2，因此都是概念性的术语。

22，实验标准偏差：用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。

实验标准偏差s是有限次测量时标准偏差σ的估计值。

最常用的估计方法是贝塞尔公式法，即在相同条件下，对被测量x作n次重复测量，每次测得值为x i，测量次数为n，则实验标准偏差按式(3－40)计算
（3-40）
式中：
－－－－－－－n次测量的算术平均值；
vi=xi———残差(是测量值与算术平均值之差)；
v=n—1——自由度；
s(x)——(测量值x的)实验标准偏差。

在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表明估计值的可信度越高。

[(n—1)越大，1/n—1值越小，则其s(x)值也越小]
23，正态分布曲线：正态分布图，具有如下特征：
①单峰：概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；
②对称分布：正态分布以x= －μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的；
③当x∞时，概率分布曲线以x轴为渐近线；
④概率分布曲线在离均值等距离(即x=μ±σ)处两边各有一个拐点；
⑤分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；
⑥μ为位置参数，σ为形状参数。

由于μ，σ能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号x~n(μ,σ)表示正态分布。

当μ=0,σ=1时表示为x~n (0，1)，称为标准正态分布。

24，几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系
上述几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系列于表3－8中。

表3－8几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系
25，t分布又称学生分布，是两个独立随机变量之商的分布。

如果随机变量x是期望值为μ的正态分布，设其算术平均值与其期望之差与算术平均值的实验标准偏差之比为新的随机变量t。

t分布是期望值为零的概率分布。

26，相关性是描述两个或多个随机变量间的相互依赖关系的特性。

如果两个随机变量X和Y，其中一个量的变化会导致另一个量的变化，就说这两个量是相关的。

27，协方差是两个随机变量相互依赖性的度量。

两个随机变量x和y，各自的误差之积的期望称为x和y的协方差，用符号cov(x，y) 或v(x，y) 表示
定义的协方差是在无限多次测量条件下的理想概念，根据有限次测量数据得到协方差的估计值。

协方差的估计值用s(x，y)表示
（3-49）
式中：
有限次测量时两个随机变量的一对算数平均值（X与Y）的协方差估计值，按下式计算。

及1/n与s(x,y)的乘积。

28，相关系数也是两个随机变量之间相互依赖性的度量，它等于两个随机变量间的协方差除以它们各自的方差乘积的正平方根，用p(x，y)表示。

定义的相关系数也是在无限多次测量条件下的理想概念。

根据有限次测量数据，得到相关系数估计值。

相关系数的估计值用r(x，y)表示，用式(3－51)求得
(3-51) 式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。

29，相关系数与协方差的关系
(1)相关系数是一个纯数字，相关系数的值在－1到+1之间，它表示两个量的相关程度，通常比协方差更直观。

相关系数为零，表示两个量不相关；
相关系数为+1，表明x与y正全相关(正强相关)，即随着x增大y也增大；
相关系数为－1，表明x与y负全相关(负强相关)，即随着x增大y变小。

(2)协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x，y)的关系
（3-52）
（3-53）
式中，s(x)和s(y)分别为x和y的实验标准偏差。

30，gum法评定测量不确定度的步骤：
(1)明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；
(2)列出所有影响测量不确定度的影响量(即输入量x i)，并给出用以评定测量不确定度的数学模型；
(3)评定各输入量的标准不确定度u(x i)，并通过灵敏系数c i进而给出与各输入量对应的不确定度分量
(4)计算合成标准不确定度u c(y)，计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；
(5)列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；
(6)对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平p确定包含因子k p；
(7)在无法确定被测量y的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接取包含因子k=2；
(8)由合成标准不确定度u c(y)和包含因子k或k r的乘积，分别得到扩展不确定度u或u p；
(9)给出测量不确定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。

利用这些
信息，至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。

31，通常测量不确定度来源从以下方面考虑：
（1）被测量的定义不完整
（2）复现被测量的测量方法不理想
（3）取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量
（4）对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善
（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏移
（6）测量仪器的计量性能的局限性
（7）测量标准或标准物质提供的量值的不准确
（8）引用的数据或其他参量值的不准确
（9）测量方法和测量程序的近似和假设
（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化
在实际工作中，通常多次测量可以得到一系列不完全相同的数据，测量值具有一定的分散性，这是由诸多的随机因素影响造成的，这种随机变化常用测量重复性表征，也就是重复性是测量结果的不确定度来源之一。

除此之外，如果已经对测量结果进行了修正，给出的是已修正测量结果，则还要考虑修正值不完善引入的测量不确定度。

通常，在分析测量结果的不确定度来源时，可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑，应尽可能做到不遗漏、不重复。

特别应考虑对测量结果影响较大的不确定度来源。

32，标准不确定度分类的A类评定方法，基本的标准不确定度A类评定流程图
33，测量过程的a类标准不确定度评定
对一个测量过程，如果采用核查标准核查的方法使测量过程处于统计控制状态，则该测量过程的实验标准偏差为合并样本标准偏差s p。

若每次核查时测量次数n相同(即自由度相同)，每次核查时的样本标准偏差为s i，共核。