福建省长汀、连城一中等六校2020届高三上学期期中考联考试题 数学(文)

“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）
一中联考
2019—2020学年第一学期半期考
高三（文科）数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

) 1.已知集合{
}0
62≤--=x x x A ，{}2>=x x B ，则集合
等于（ ）
A.)(3,2
B.](3,2
C.)(2,3-
D.)[2,3-
2.若复数z 满足5)21(=+i z ,其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数=z （ ） A.i 21- B ．i 21+ C ．i 21+- D ．i 21--
3.“在()b a ,内0)(<'x f ”是“)(x f 在()b a ,内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
4.已知在平面直角坐标系xoy 中，()1,2A ，()1,-m B ，若//，则=m
（ ）
A.2
B. 2-
C. 21
D.21
-
5.设变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若352a a =，则=5
9S S (
)
A.109
B.1815
C. 59
D. 518
7.设5
tan
,2log ,25.05
.0π
===c b a ，则（ ）
A.c a b <<
B.c b a <<
C.b c a <<
D.c a b << 8．我们知道：在平面内，点
)
,(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离公式
2
200B A C By Ax d +++=
，
通过类比的方法，可求得：在空间中，点)3,4,2(到直线0222=+++z y x 的距离为( )
A ．3
B ．5 C.6 D ．55
18
9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆
面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A.π)53(+
B. π)15(-
C.π)15(+
D.π)53(-
10.函数)
62sin(2)(π
-=x x f 的图像为C ，以下结论错误．．的是（ ） A.图像C 关于直线
65π
=
x 对称 B.图像C 关于点
⎪⎭⎫
⎝⎛0,127π对称 C.函数)(x f 在区间⎪
⎭⎫ ⎝⎛-3,6ππ内是增函数
D.由x y 2sin 2=图像向右平移6π
个单位长度可以得到图像C
11．已知直三棱柱111C B A ABC -中，︒
=∠90ABC ，2,11===CC BC AB ，则异面直线
1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．53
B ．53-
C ．54
D ．54
-
12.已知实数b a ,满足0ln 42=--b a a ，R c ∈，则2
2)2()(c b c a ++-的最小值为( )
A ．
5
5
3 B ．59 C ．55 D ．51
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。

） 13.已知第一象限的点()b a ,在直线012=-+y x 上，则
b
a 2
1+的最小值为_________. 14.数列
{}n a 中，若21=a ，
n
n a n n a 11+=
+，则=n a .
15.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边长分别为c b a ,,，且5
3cos =
A ，2cos cos =+
B c
C b ，则ABC ∆的外接圆面积为__________．
16.已知)(x f 是R 上的偶函数，且⎪⎩⎪
⎨⎧≥+⎪⎭⎫
⎝⎛<≤=1,1311
0,3)(x x x x f x ，若关于x 的方程
0)()(2=-x mf x f 有三个不相等的实数根，则m 的取值范围_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。

）
17.（本小题满分12分）已知函数21sin cos sin 3)(2+
+=x x x x f .
（1）求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）若
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的取值范围.
18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*+∈-=N n S n n ,221.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）1
22log log 1
+⋅=n n n a a b ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:1<n T .
19.（本小题满分12分）已知函数ax
x e x f x --=221
3)(.
（1）若函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程为b x y +=2，求b a ,的值；
（2）若函数)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的最大值．
20.（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥
S ABCD -中，已知//AD BC ， ︒=∠90ASC ，2===DS DC DA ，2==SC SA .
（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积.
21.（本小题满分12分）已知
x ax x
x f ln 1)(+-=
,()0,≠∈a R a 且.
（1）试讨论函数)(x f y =的单调性；
（2）若0(0,)
x ∃∈+∞使得(0,)x ∀∈+∞都有0()()
f x f x ≥恒成立，且0()0
f x ≥，求满
足条件的实数a 的取值集合．
选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 3y x ，其中α为参数，
(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π，直线l 的极坐标方程为0
225)4sin(=+-πθρ.
（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
x
x f =)(.
（1）设4)2()1(<++-x f x f 的解集为A ，求集合A ；
（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且m c b a =++（其中a ，b ，c 均为正
实数），求证：8111≥-⋅-⋅-c c
b b a a .
参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1-5 BBABA 6-10 DCCDD 11-12 CB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13、9 14、
n 2 15、 π1625 16、](⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋃3,341,0
三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：(1）21
sin cos sin 3)(2
+
+=x x x x f
1)6
2sin(2122cos 12sin 23+-=+-+=
πx x x . …3分 由2326222πππππ+≤-≤+k x k ，k Z ∈，得6
53π
πππ+≤≤+k x k ，k Z ∈.
∴函数()f x 的单调递减区间为]6
5,3[π
πππ+
+k k ，k Z ∈. …………6分 （2）由（1）得1)62sin()(+-=π
x x f ,
∵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65,662πππx , …………8分 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-
1,21)62sin(π
x ， …………10分 ∴⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∈2,2
1)(x f .
即)(x f 的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,2
1. …………12分
18. 解：（1）当1=n 时，222211=-==S a ; …………1分 当2n ≥时，
n n n n n n n n n n S S a 222222)22()22(111=-⨯=-=---=-=++-. …………5分
又21=a 满足上式,
*∈=∴N n a n n ,2. …………6分
(2)由（1）得*
∈=N n a n n ,2.
∴1
1
1)1(1log log 1122+-=+=∙=
+n n n n a a b n n n , …………8分
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=∴111
41313121211321n n b b b b T n n
11
1+-
=n …………11分
又*∈N n ，∴111
1<+-
=n T n . …………12分 19.解 (1)∵,2
13)(2ax x e x f x --=∴a x e x f x
--='3)(， …………1分
则.3)0(a f -='由题意知23=-a ，即1=a . …………3分 ∴,2
13)(2
x x e x f x
--
=，则.3)0(=f 于是3,023=+⨯=b b .
∴⎩⎨
⎧==3
1
b a . …………5分 (2)由题意0)(≥'x f ，即03≥--a x e x 恒成立，∴x e a x -≤3恒成立． …………6分
设x e x h x -=3)(，则13)(-='x
e x h . …………7分
令0)(='x h ，得3ln -=x
∴当)3ln ,(--∞∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数； 当),3ln (+∞-∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 为减函数， ∴3ln 1)3ln ()(min +=-=h x h .
∴3ln 1+≤a ，即a 的最大值为3ln 1+. …………12分 20.解：（1）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ， …………1分 ∵SA SC =，∴OS AC ⊥，
∵DA DC =，∴DO AC ⊥， 又,OS OD ⊂平面SOD ，且OS
OD O =，
AC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，
∴AC SD ⊥. ………5分
（2）∵在ASC ∆中，，︒=∠90ASC ，O 为AC 的中点， ∴ASC ∆为等腰直角三角形，且2AC =，1=OS ， …………6分 ∵在ACD ∆中，
，O 为AC 的中点，
∴ACD ∆为等边三角形,且3=OD ， …………7分
∵在SOD ∆中，222
OS OD SD +=，∴SOD ∆为直角三角形，且90SOD ∠=，…8分
∴SO OD ⊥又OS AC ⊥，且ABCD OD ABCD AC O OD AC 平面平面⊂⊂=,, ， ∴SO ⊥平面ABCD . …………10分
∴B SAD S BAD V V --=1
3
BAD S SO ∆=
⋅⋅. ∵,
∴3322
1
21=⨯⨯=⋅⋅=
=∆∆OD AC S S CAD BAD . 3
3
1331=⨯⨯=∴-SAD B V . …………12分
21、解：由题意知0x > …………1分
（1）0,111)()1()(2
222>+-=+-=+⋅---='x ax
ax
x x a a x ax a x ax x f …………2分 ①当0<a 时，),0(0)(+∞>'在x f 上恒成立,
()(0,)f x ∴+∞在上单调递增. …………3分
②当0>a 时，由()0f x '>得1x a >
， 由()0f x '< 得1
0x a
<< 1
()(0,)f x a
∴在上单调递减，在1(,)a +∞ 上单调递增. …………4分
综上：①当0<a 时，()(0,)f x +∞在上单调递增，无递减区间;
②当0>a 时，1()(0,)f x a 在上单调递减，在1(,)a
+∞ 上单调递增. …………5分 （2）由题意函数存在最小值0()f x 且0()0f x ≥, …………6分 ①当0<a 时，由（1）上单调递增且0)1(=f ,
当)1,0(∈x 时0)(<x f ，不符合条件; …………7分 ②当0>a 时，1()(0,)f x a 在上单调递减，在1(,)a
+∞ 上单调递增, a a a
f f 1
ln 11)1(min +-
==∴ ， ∴只需0min ≥f 即01
ln 11≥+-a
a , …………8分
记0,ln 1)(>+-=x x x x g 则1
()1g x x
'=-+ …………9分
由1
()10g x x
'=-+>得01x <<，由()0g x '< 得 1x >,
()(0,1)g x ∴在上单调递增，(1,)+∞在上单调递减, …………10分
0)1()(=≤∴g x g
11
=∴
a
即1=∴a . …………11分 即满足条件a 的取值集合为{
}1. …………12分 22.解：（1）∵直线的极坐标方程为02
2
5)4sin(=+
-
π
θρ，即05cos sin =+-θρθρ.
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为05=--y x . …………2分
将曲线C 的参数方程⎩⎨
⎧==α
αsin cos 3y x 消去参数α，
得曲线C 的普通方程为)0(13
22
>=+y y x .(注：漏0>y ，扣1分) …………5分 （2）设)sin ,cos 3(ααQ (0)απ<<， …………6分 点P 的极坐标⎪⎭
⎫
⎝
⎛4,22π化为直角坐标为()2,2， 则)1sin 2
1
,1cos 23(
++ααM . …………7分 ∴点M 到直线的距离232
5
3sin 25sin 2
1
cos 23≤+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=--=παααd .
当sin()13
π
α-
=，即56
π
α=
时，等号成立. ∴点M 到直线的距离的最大值为23. …………10分
23.解：（1）4)2()1(<++-x f x f ，即4
21<++-x x ， …………1分 当2-<x 时，不等式化为421<---x x ，解得：22
5
-<<-x ； 当12≤≤-x 时，不等式化为421<++-x x ，解得：12≤≤-x ；
当1>x 时，不等式化为421<++-x x ，解得：2
3
1<<x .
综上可知，集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
<<-
=2325x x A . …………5分 （2）由（1）知1=m ，则1=++c b a . …………6分
又a ，b ，c 均为正实数， 则a bc a c b a a 21≥+=->0,同理b ac b c a 2≥+>0,c
ab
c b a 2≥+>0, 则
8222111=⋅⋅≥-⋅-⋅-c ab b ac a bc c c b b a a 即8111≥-⋅-⋅-c
c
b b a a . …………10分。