四川省广安市邻水县2019年中考数学模拟考试试卷(三)含解析

邻水县2019中考数学模拟试卷（三）
一、选择题，每小题给出的四个选项中．只有一个选项符合题意要求．请将符合要求的选
项的代号填涂在机读卡上．（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1．﹣3的绝对值是（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
2．下列各式计算正确的是（）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣4y2B．x3+x3＝x6
C．（﹣2x2）4＝﹣8x6D．3x2•x3＝3x5
3．2018年全市旅游收入294.6亿元，用科学记数法表示294.6亿元是（）A．2.946亿元B．2.946×102亿元
C．2.946×101亿元D．0.2946×103亿元
4．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）
A．平均数为160 B．中位数为158
C．众数为158 D．方差为20.3
5．下列几何体的左视图为长方形的是（）
A．B．
C．D．
6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 7．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
8．下列说法正确的是（）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票就一定会中奖一次
C．某地会发生地震是必然事件
D．若甲组数据的方差S2甲＝0.1，乙组数据的方差S2乙＝0.2，则甲组数据比乙组稳定9．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题，请把最简答案直接填写在题后的横线上．（每小题3分，共18分）
11．因式分解：18﹣2x2＝．
12．在函数中，自变量x的取值范围是．
13．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为．
14．用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为cm．
15．分式方程﹣＝0的解为x＝．
16．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其
直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…
的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018＝．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分．共23分）
17．π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
19．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．
20．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21题6分，22、23、24题各8分，共30分）21．为迎接十二运，某校开设了A：篮球，B：毽球，C：跳绳，D：健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共查了名学生：
（2）请补全两幅统计图：
（3）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率．
22．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．
23．2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
24．在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：
点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P 是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？
经过思考，甲同学给出如下画法：
如图1，过点P画PE⊥AB于E，在EB上取点M，使EM＝2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；
（2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出；
（3）如图2，A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A1C1∥AD．当点P 在线段A1C1上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？
（4）如图3，正方形ABCD边界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在边的三等分点．当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况．
五、推理论证题（本题9分）
25．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC 于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
六、拓展探索题（本题10分）
26．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣3的绝对值是（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
【分析】根据绝对值的定义，即可解答．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
2．下列各式计算正确的是（）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣4y2B．x3+x3＝x6
C．（﹣2x2）4＝﹣8x6D．3x2•x3＝3x5
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方，即可解答．
【解答】解：A、（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，故错误；
B、x3•x3＝x6，故错误；
C、（﹣2x2）4＝16x8，故错误；
D、正确；
故选：D．
3．2018年全市旅游收入294.6亿元，用科学记数法表示294.6亿元是（）A．2.946亿元B．2.946×102亿元
C．2.946×101亿元D．0.2946×103亿元
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：294.6亿元＝2.946×102亿元．
故选：B．
4．在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）
A．平均数为160 B．中位数为158
C．众数为158 D．方差为20.3
【分析】分别利用平均数、中位数、众数及方差的定义求解后即可判断正误．
【解答】解：A、平均数为（158+160+154+158+170）÷5＝160，正确，故本选项不符合题意；
B、按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，
故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；
C、数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；
D、这组数据的方差是S2＝[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣
160）2]＝28.8，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
5．下列几何体的左视图为长方形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】找到各图形从左边看所得到的图形即可得出结论．
【解答】解：A．球的左视图是圆；
B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；
D．圆锥的左视图是三角形．
故选：C．
6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
7．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
【分析】根据判别式的意义得到△＝22+4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝22+4m＞0，
解得m＞﹣1．
故选：C．
8．下列说法正确的是（）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票就一定会中奖一次
C．某地会发生地震是必然事件
D．若甲组数据的方差S2甲＝0.1，乙组数据的方差S2乙＝0.2，则甲组数据比乙组稳定【分析】根据用全面调查和抽样调查的条件，必然事件与随机事件的区别，方差的意义，
分析判断即可．
【解答】解：A、因为数量太大，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故选项错误；
B、某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票中奖为随机事件，故选项错误；
C、显然是随机事件，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案．
【解答】解：如上图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2）（0，﹣2）（0，4）．故选：B．
10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x 轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴x＝1时，y＝a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．因式分解：18﹣2x2＝2（x+3）（3﹣x）．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（9﹣x2）＝2（x+3）（3﹣x），
故答案为：2（x+3）（3﹣x）
12．在函数中，自变量x的取值范围是x≥3且x≠4 ．
【分析】根据二次根式的意义可知：x﹣3≥0，根据分式的意义可知：x﹣4≠0，就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣4≠0，
解得：x≥3且x≠4．
13．将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝x2．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝x2+3；
再向下平移3个单位为：y＝x2．
故答案为y＝x2．
14．用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆
半径为cm．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝cm．
故选：．
15．分式方程﹣＝0的解为x＝﹣1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣2﹣3x＝0，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
故答案为：﹣1
16．如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…
的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018＝．
【分析】分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得
【解答】解：如图，分别过点P1、P2、P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，
∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，
∴OC＝CA1＝P1C＝3，
设A1D＝a，则P2D＝a，
∴OD＝6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y＝﹣x+4，得：﹣（6+a）+4＝a，
解得：a＝，
∴A1A2＝2a＝3，P2D＝，
同理求得P3E＝、A2A3＝，
∵S1＝×6×3＝9、S2＝×3×＝、S3＝××＝、……
∴S2018＝，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：π0+2cos30°﹣|2﹣|﹣（）﹣2
＝1+2×﹣（2﹣）﹣4
＝1+﹣2+﹣4
18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a＝
原式＝•
＝•
＝
＝﹣1
19．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．
【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB＝∠DFE，故证得结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AC＝DF．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
20．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【解答】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y＝﹣
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当﹣＝﹣2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA＝
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
四．解答题（共6小题）
21．为迎接十二运，某校开设了A：篮球，B：毽球，C：跳绳，D：健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
（1）这次调查中，一共查了200 名学生：
（2）请补全两幅统计图：
（3）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率．
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）根据题意采用列举法，举出所有的可能，注意要做到不重不漏，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总学生是＝200（名）；
故答案为：200．
（2）B所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣30%＝35%，
C的人数是：200×30%＝60（名），
补图如下：
（3）用A1，A2，A3表示3名喜欢毽球运动的学生，B表示1名跳绳运动的学生，
则从4人中选出2人的情况有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），共计6种，
选出的2人都是最喜欢毽球运动的学生有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共计3种，则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率＝．
22．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．
【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝
11．设BF＝3x知EF＝4x、DF＝，由DE＝18求得x＝4，据此知BG＝BF﹣GF ＝1，再求得∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝30°可得AB＝2BG＝2．
【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝11．
由题意得∠BDE＝α，tan∠β＝．
设BF＝3x，则EF＝4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝，
∴DF＝＝＝x，
∵DE＝18，
∴x+4x＝18．
∴x＝4．
∴BF＝12，
∴BG＝BF﹣GF＝12﹣11＝1，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2BG＝2，
答：灯杆AB的长度为2米．
23．2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不
超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
【分析】（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数＝总费用，列方程．
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x＝60时，a值最小，代入求解．
【解答】解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得
，
解得．
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，
，
解得x≥60．
a＝100x+30y＝100x+30（240﹣x）＝70x+7200，
由于a的值随x的增大而增大，所以当x＝60时，a值最小，
最小值＝70×60+7200＝11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
24．在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：
点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P 是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？
经过思考，甲同学给出如下画法：
如图1，过点P画PE⊥AB于E，在EB上取点M，使EM＝2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；
（2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出；（3）如图2，A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A1C1∥AD．当点P 在线段A1C1上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？
（4）如图3，正方形ABCD边界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在边的三等分点．当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况．
【分析】（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例线段可知EM＝2EA，所以MP：MN＝2：3，即点P是线段MN的一个三等分点；
（2）由（1）中的证明过程可知，在EB上取M1，使EM1＝AE，直线M1P就是满足条件的直线，所以能画出一条符合题目条件的直线；
（3）当点P在线段A1C1上，根据正方形的性质可知能够画出符合题目条件的直线有无数条；
（4）分情况讨论．
【解答】解：（1）甲同学的画法正确；
∵PE∥AD，
∴△MPE∽△MNA，
∴，
∵EM＝2EA，
∴MP：MN＝2：3，
∴点P是线段MN的一个三等分点．
（2）能画出一个符合题目条件的直线，在EB上取M1，使EM1＝AE，直线M1P就是满足条件的直线，图2；
（3）若点P在线段A1C1上，能够画出符合题目条件的直线无数条，图3；
（4）若点P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上时，可以画出无数条符合条件的直线l；
当点P在正方形A0B0C0D0内部时，不存在这样的直线l，使得点P是线段MN的三等分点；
当点P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段MN的三等分点．
25．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC 于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得MC＝MG＝ME，所以∠G＝∠1，接着证明∠1+∠2＝90°，从而得到∠OCM＝90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G＝∠A，再证明∠EMC＝∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
26．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝2x﹣12，直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN＝•4•t﹣•t•t，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q（m，m2﹣m），根据相似三角形的判定方法，当＝时，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|＝2|m|；当＝时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|＝|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则N（t，t），
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM
＝•4•t﹣•t•t
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣3）2+3，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当＝时，△PQO∽△COA，即＝，
∴PQ＝2PO，即|m2﹣m|＝2|m|，
解方程m2﹣m＝2m得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程m2﹣m＝﹣2m得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；∴当＝时，△PQO∽△CAO，即＝，
∴PQ＝PO，即|m2﹣m|＝|m|，
解方程m2﹣m＝m得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程m2﹣m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．。