四川省遂宁市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．某学校有教职工150人，其中高级职称45人，中级职称90人，一般职员15人．现用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则各职称抽取的人数分别为（）
A．5，15，5 B．3，6，1 C．3，10，17 D．5，9，16
2．如图，边长为3的正方形中有一张封闭的曲线围成的笑脸．在正方形内随机
撒一粒豆子，它落在笑脸区域的概率为，则笑脸区域的面积为（）
A．4 B．C．6 D．无法计算
3．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
4．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人
的平均成绩分别是X
甲，X
乙
，则下列结论正确的是（）
A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲＞X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲＞X乙；乙比甲成绩稳定D．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定
5．如果直线l将圆x2+y2+2x﹣4y=0平分，且不过第一象限，那么l的斜率的取值范围是（）
A．[0，2]B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
6．方程表示的曲线是（）
A．一个圆B．半圆C．两个圆D．两个半圆
7．如图，OABC是四面体，G是△ABC的重心，G2是OG上一点，且OG=3OG1，
则（）
A． B．
C．D．
8．已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是（）
A．B．C．D．14
9．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（）
A．B． C．6 D．不存在
10．如图1是遂宁市某校高中学生身高的条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）[150，155）内的学生人数）．图2是图1中身高在一定分为内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～175cm（含160cm，不含175cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填入的条件是（）
A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9
11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，长为1的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹的面积为（）
A．B．C．D．
12．如果直线x=ky﹣1与圆C：x2+y2+kx+my+2p=0相交，且两个交点关于直线y=x 对称，那么实数p的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设有一个线性回归方程为=1.6x+2，当变量x增加一个单位时，y的值平均增加．
14．若圆x2+y2=1与圆x2+y2+6x﹣8y+m=0相切，则m的值为．
15．若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为．
16．如图，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④直线AD与直线B1P为异面直线；
⑤点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M一定在直线A1D1上．
其中真命题的编号为．（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，
（1）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l4的方程；
（2）若直线l5：ax﹣2y+1=0与直线l2垂直，求a．
18．如图是遂宁市某校高二年级20名学生某次体育考试成绩（单位：分）的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值，以及成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（2）请估计出20名学生成绩的中位数与平均数．
19．如图，已知平面α∩平面β=AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D．（1）求证：P、C、D、Q四点共面；
（2）求证：QD⊥AB．
20．在遂宁市中央商务区的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小
布袋，袋中有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积，质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得统一颜色的3个球，摊主送个摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球．摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少？
（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
21．如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．
若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
22．已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2016-2017学年四川省遂宁市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．某学校有教职工150人，其中高级职称45人，中级职称90人，一般职员15人．现用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则各职称抽取的人数分别为（）
A．5，15，5 B．3，6，1 C．3，10，17 D．5，9，16
【考点】分层抽样方法．
【分析】利用总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，求出结果．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，抽取的各职称人数分别为45×=3，90×=6，15×=1，
故选B．
2．如图，边长为3的正方形中有一张封闭的曲线围成的笑脸．在正方形内随机
撒一粒豆子，它落在笑脸区域的概率为，则笑脸区域的面积为（）
A．4 B．C．6 D．无法计算
【考点】几何概型．
【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．
【解答】解：边长为3的正方形中，S
正方形=9，随机撒一粒豆子，它落在笑脸区
域的概率为，
又∵S
正方形=9，
∴S
阴影=9×
=6，
故选C．
3．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．
【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
4．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人
的平均成绩分别是X
甲，X
乙
，则下列结论正确的是（）
A．X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定B．X甲＞X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲＞X乙；乙比甲成绩稳定D．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定
【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】由茎叶图可知，甲的成绩和乙的成绩，利用求平均数的公式做出两者的
平均数，有X
甲＜X
乙
；从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，
乙比甲成绩稳定．
【解答】解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：72，77，78，86，92，平均成绩为：81；
乙的成绩分别为：78，82，88，91，95，平均成绩为：86.8，
则易知X
甲＜X
乙
；
从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，
乙比甲成绩稳定．
故选A．
5．如果直线l将圆x2+y2+2x﹣4y=0平分，且不过第一象限，那么l的斜率的取值范围是（）
A．[0，2]B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心C坐标，由于k OC=﹣2，根据直线l将圆x2+y2+2x﹣4y=0平分得到直线l过圆心C（﹣1，2），且不过第一象限，即可求出k的范围．
【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=5，
∴圆心C（﹣1，2），
由于k OC=﹣2，根据直线l将圆x2+y2+2x﹣4y=0平分得到直线l过圆心C（﹣1，2），且不过第一象限，
∴直线l斜率k的范围为（﹣∞，﹣2]．
故选D．
6．方程表示的曲线是（）
A．一个圆B．半圆C．两个圆D．两个半圆
【考点】曲线与方程．
【分析】由题意，x≥2，方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；x≤﹣2，方程化为（x+2）
2+（y﹣2）2=4，即可得出方程表示的曲线．
【解答】解：由题意，x≥2，方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；x≤﹣2，方程化
为（x +2）2+（y ﹣2）2=4，
∴方程表示的曲线是两个半圆，
故选D ．
7．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G 2是OG 上一点，且OG=3OG 1，
则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】空间向量运算的坐标表示． 【分析】利用空间向量加法法则求解．
【解答】解：∵OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G 2是OG 上一点，且OG=3OG 1，
∴==（）=+ []
=
+（
）+（
）=
．
故选：B ．
8．已知方程x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4=0，则x 2+y 2的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．14
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】把已知的方程配方后，得到此方程表示以B 为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB 并延长，与圆B 交于A 点，此时A 到原点的距离最大，|AB |为圆B 的半径，利用两点间的距离公式求出|OB |的长，根据|AB |+|OB |=|AO |求出|AO |的平方，即为所求式子的最大值． 【解答】解：方程x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4=0变形得：
（x+2）2+（y﹣1）2=9，
表示圆心B（﹣2，1），半径为3的圆，
画出相应的图形，如图所示：
连接OB并延长，与圆B交于A点，此时x2+y2的最大值为|AO|2，
又|AO|=|AB|+|BO|=3+=3+，
则|AO|2=（3+）2=14+6，即x2+y2的最大值为14+6．
故选：C．
9．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（）
A．B． C．6 D．不存在
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程求得圆心C，半径r，“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形面积转化为两个直角三角形面积求解．
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
∴圆心C（1，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小．
∵圆心到直线的距离为d=，
∴PA=PB=．
=2××PA×r=，
故四边形PACB面积的最小值为2S
△PAC
故选：A．
10．如图1是遂宁市某校高中学生身高的条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）[150，155）内的学生人数）．图2是图1中身高在一定分为内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～175cm（含160cm，不含175cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填入的条件是（）
A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9
【考点】程序框图；频率分布直方图．
【分析】该流程图的目的是算出身高在[160，175）内的学生人数，可得循环体需计算i=4、5、6时四个A i的和，由此可得判断框内应填写的条件是：“i＜7”．【解答】解：为了统计身高在[160，175）内的学生人数，先算出从160到175的小组分别有
[160，165），[165，170），[170，175）共有三组，分别为第4组、第5组、第6组．
因此，当i=4时开始，直到i=6时算出这四组的频数之和，
可得判断框内应填写的条件是：“i＜7”．
故选：B．
11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，长为1的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方形ABCD内运动，则MN中点P的轨迹的面积为（）
A．B．C．D．
【考点】轨迹方程．
【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分．【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得：
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为的球的球面．
所以MN中点P的轨迹的面积为，
故选：C．
12．如果直线x=ky﹣1与圆C：x2+y2+kx+my+2p=0相交，且两个交点关于直线y=x 对称，那么实数p的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的性质，得直线x=ky ﹣1与直线y=x 垂直且圆心C （﹣，﹣）在直线y=x 上，由此解出k=m=﹣1，从而得到直线和圆的方程，再由圆心C 到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式即可算出实数p 的取值范围．
【解答】解：∵直线x=ky ﹣1与圆C 相交，且两个交点关于直线y=x 对称， ∴圆心C （﹣，﹣）在直线y=x 上，可得m=k
∵直线x=ky ﹣1与直线y=x 垂直，∴k=m=﹣1
得直线方程x=﹣y ﹣1即x +y +1=0，
圆C ：x 2+y 2﹣x ﹣y +p=0，圆心C （，），半径R=
∵直线x +y +1=0与圆C 相交，
∴＜，解之得p ＜﹣，
即实数p 的取值范围是（﹣∞，﹣）．
故选A ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设有一个线性回归方程为=1.6x +2，当变量x 增加一个单位时，y 的值平均增加 1.6 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据回归方程求出y 的增加值即可．
【解答】解：由线性回归方程为=1.6x +2，
得变量x 增加一个单位时，y 的值平均增加1.6，
故答案为：1.6，
故答案为：1.6．
14．若圆x 2+y 2=1与圆x 2+y 2+6x ﹣8y +m=0相切，则m 的值为 ﹣11或9 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得m 的值．
【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y+m=0 即（x+3）2+（y﹣4）2=25﹣m，
表示以（﹣3，4）为圆心，半径等于的圆．
由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，
可得5=|﹣1|，
解得m=﹣11．
两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1，
解得m=9，
故答案为：﹣11或9．
15．若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值
范围为0＜k＜或k=．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据方程的根与对应函数的零点的关系，我们可用图象法解答本题，即
关于x的方程有且只有一个实数根，则函数y=的图
象与y=kx+3﹣2k的图象有且只有1个交点，在同一坐标系中画出函数y=
的图象与y=kx+3﹣2k的图象，分析图象即可得到答案．
【解答】解：若关于x的方程有且只有一个实数根，
则函数y=的图象与y=kx+3﹣2k的图象有且只有1个交点
∵函数y=kx+3﹣2k的图象恒过（2，3）点
故在同一坐标系中画出函数y=的图象与y=kx+3﹣2k的图象如下图所示：
由图可知
当k=时，直线与圆相切，
当k=时，直线过半圆的左端点（﹣2，0）
若函数y=的图象与y=kx+3﹣2k的图象有且只有1个交点，则0＜k＜或
k=
故答案为：0＜k＜或k=．
16．如图，点P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1（线段BC1）上运动，给出下列五个命题：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④直线AD与直线B1P为异面直线；
⑤点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M一定在直线A1D1上．
其中真命题的编号为①③④⑤．（写出所有真命题的编号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】对于①：容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，以P为顶点，平面AD1C为底面，易得；
对于②：可以从向量的角度进行判断；
对于③：平面PD1A平面ACD1的法向量的夹角是不变的，得到结论；
对于④：根据异面直线的判定定理，可得结论；
对于⑤：点M到点D和C1距离相等，故点M在平面A1D1CB上，进而可得结论．【解答】解：对于①：容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，
则三棱锥A﹣D1PC的体积不变；①正确；
对于②：∵随着P点的移动，与平面ACD1的法向量的夹角也是变化的，∴②错误
对于③：∵平面PD1A平面ACD1的法向量的夹角是不变的，∴③正确；
对于④：AD∥平面B1C1CB，B1P⊂平面B1C1CB，B1P与AD不平行，故直线AD与直线B1P为异面直线；④正确；
对于⑤，点M到点D和C1距离相等，故点M在平面A1D1CB上，又由M在平面A1B1C1D1上，故点M一定在直线A1D1上．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，
（1）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线l4的方程；
（2）若直线l5：ax﹣2y+1=0与直线l2垂直，求a．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．
【分析】（1）求出交点P，求出直线l3：x﹣2y﹣1=0的斜率，利用点斜式求解直线l4的方程；
（2）求出直线l5的斜率，利用直线ax﹣2y+1=0与直线l2垂直，得到关系式即可求a．
【解答】解：依题意，由，∴，P（﹣2，2）．
（1）∵直线l4平行于直线l3，∴直线l4的斜率为
∴直线l4的方程为y﹣2=（x+2），y=x+3．
（2）∵直线l5垂直于直线l2，直线l2的斜率为﹣2，l5的斜率为．
∴﹣2×=﹣1，∴a=1．
18．如图是遂宁市某校高二年级20名学生某次体育考试成绩（单位：分）的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值，以及成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（2）请估计出20名学生成绩的中位数与平均数．
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；
（2）估计中位数两边的频率相等，列方程求出中位数；
利用每一组中点值计算平均数即可．
【解答】解：（1）根据频率和为1，得（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，
解得a=0.005，
成绩落在[50，60）的频率为2×0.005×10=0.1，
对应人数为0.1×20=2；
成绩落在[60，70）内的频率为3×0.005×10=0.15，
对应人数为0.15×20=3；
（2）设中位数为x，则
0.1+0.15+（x﹣70）×7×0.005=0.5，
解得x≈77.14，
∴估计中位数为77.14；
计算平均数为=55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3+95×0.1=76.5．
19．如图，已知平面α∩平面β=AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D．（1）求证：P、C、D、Q四点共面；
（2）求证：QD⊥AB．
【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】（1）利用线面垂直的性质，可得线线平行，从而可得四点共面；（2）利用线面垂直可得线线垂直，再利用线面垂直的判定可得线线垂直．【解答】证明：（1）∵PQ⊥α，CD⊥α，∴PQ∥CD，∴P，C，D，Q四点共面；（2）设P，C，D，Q四点共面于γ
∵AB⊂α，PQ⊥α，∴PQ⊥AB，
又∵PC⊥β，AB⊂β，∴PC⊥AB，
∵PQ∩PC=P，∴AB⊥γ，
又∵QD⊂γ，∴AB⊥QD
20．在遂宁市中央商务区的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积，质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得统一颜色的3个球，摊主送个摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球．摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球中至少有1个白球的概率是多少？
（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）摸出的3个球中至少有1个白球的对立事件是摸出的三个球都是黄球，由此利用对立事件概率公式能求出摸出的3个球中至少有1个白球的概率．
（2）设事件A={摸出的3个球为同一颜色}，则P（A）==0.1，假定一天中有
100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件A发生有10次，不发生90次．由此能求出这个摊主一个月（按30天计）可赚多少钱．
【解答】解：（1）摸出的3个球中至少有1个白球的对立事件是摸出的三个球都是黄球，
∴摸出的3个球中至少有1个白球的概率P=1﹣=．
（2）设事件A={摸出的3个球为同一颜色}，
则P（A）==0.1，假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件A发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1﹣10×5=40，
故这个摊主一个月（按30天计）可赚1200元．
21．如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且SP=3PD．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣D的大小；
（Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．
若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据正四棱锥的定义，连接BD交AC于O，连接SO，这样即可分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设OB=1，根
据已知条件即可求出图形上各点的坐标，从而可求出，这样即可得出结论；
（Ⅱ）首先说明为平面DAC的法向量，设平面PAC的法向量为，
根据求出法向量，设二面角P﹣AC﹣D的大小为θ，从而根据
cosθ=求出θ；
（Ⅲ）假设侧棱SC上存在点E，使得BE∥平面PAC，并可设E（），
这时候，从而根据即可求出z0，若便判断出存在满足
条件的E点，否则不存在；存在点E时，根据两点间距离公式即可求出．【解答】解：
（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O，连接SO；
∵四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，且底面是正方形；
∴OB，OC，OS三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系；
设OB=1，由已知可得：A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（﹣1，
0，0），S（0，0，），P（）；
∴；
∴；
∴AC⊥SD；
（Ⅱ）SO⊥底面ABCD；
∴为平面DAC的一条法向量；
设平面PAC的法向量为，则：；
∴；
∴，取x=1，则；
设二面角P﹣AC﹣D的大小为θ，则：
cosθ=；
∴；
即二面角P﹣AC﹣D的大小为；
（Ⅲ）假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，则：
和平面PAC的法向量垂直；
E在棱SC上，∴设E（）；
∴；
∴；
∴存在点E（）使BE∥平面PAC；
此时，．
22．已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得r，可得圆A的方程；
（2）设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当时，QM=，利用圆心到直线的距离AQ，勾股定理可得K的值，可得直线l的方程．
（3）由直线l过B（﹣2，0），可分直线斜率存在和不存在两种进行讨论，分别
讨论是否是定值．
【解答】解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线相切，可得
r=d=
∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20．
（2）当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得x=﹣2，符合题意；
当当斜率k存在时，设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当
时，QM=．
AQ=，即圆心到直线y=k（x+2）的距离为1．
可得：，解得k=
∴直线l的方程为x=﹣2或y=（x+2）．
（3）∵AQ⊥BP，
∴=（）•=．
①当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得P（﹣2，﹣），，
又，
∴．
②当斜率k存在时，设直线l的方程，
由解得P（，），则，
∴=﹣5
综上所得，是定值，且这个定值．
2017年2月27日。