2021年辽宁省大连市开发区第一高级中学高二数学文上学期期末试题含解析

2021年辽宁省大连市开发区第一高级中学高二数学文上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（）．
A．B．
C．D．
参考答案：
A
由题意，
当时，平均数为，
当时，平均数为，
即平均数在区间内，项排除．
故选．
2. 在空间中，下列命题正确的是（）
A平行于同一平面的两条直线平行 B 平行于同一直线的两个平面平行
C垂直于同一直线的两条直线平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行参考答案：
D
3. 如果等差数列中，，那么（）
A．35 B．28 C．21 D．14
参考答案：
C
略
4. 已知是等差数列，则（）
A．20 B．18 C．16 D．10
参考答案：
D
略
5. 设随机变量，且，，则（）
A. 0.6
B. 0.4
C. 0.5
D. 0.2
参考答案：
A
【分析】
根据，得，解得再求解.
【详解】因为
所以，
所以，
所以
故选：A
【点睛】本题主要考查正态分布的运算，属于基础题.
6. 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为
( )
A．－200 B．－120 C.120 D．200
参考答案：
A
7. 若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
8. 某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将( )．
A.画不出任何满足要求的三角形
B.画出一个锐角三角形
C.画出一个直角三角形
D.画出一个钝角三角形
参考答案：
D
9. 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）
A．1 B．C．D．﹣1
参考答案：
A
【考点】62：导数的几何意义．
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【解答】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
10. 已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是
A．B．C．D．参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列中，，则__________；
参考答案：
20
12. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为__________．参考答案：
如图所示，
设对角线，
∴．
∵，
∴，
又，，
∴平面，
∴三棱锥的体积，
，
，
．
13. 在平面几何中，有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有
．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关
系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面，点在底面上的射影为,则有___
参考答案：
14. 在二项式
的展开式中，含
的项的系数是______________.
参考答案：
240 略
15. 椭圆的一个焦点为，则
．
参考答案：
3
16. 实施简单抽样的方法有________、____________
参考答案：
抽签法、随机数表法
17. 侧棱与底面垂直的三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的所有棱长均为2，则三棱锥B ﹣AB 1C 1的体积为 ．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】先求出
，AA 1=2，由此能求出三棱锥B ﹣AB 1C 1的体积．
【解答】解：∵侧棱与底面垂直的三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的所有棱长均为2，
∴
=
=
，AA 1=2，
∴三棱锥B ﹣AB 1C 1的体积为： V==
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0（其中a ＞0），命题q ：实数x 满足
（1）若a=1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；
（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
参考答案：
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．
【分析】（1）由a=1，p∧q 为真，可得p ，q 都为真．分别化简命题p ，q 即可得出．
（2）命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0（其中a ＞0），利用一元二次不等式的解法可得解得a ＜x ＜3a ．￢p ，q ：2＜x≤3，则￢q ：x≤2或x ＞3．利用￢p 是￢q 的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：（1）∵a=1，p∧q 为真，∴p，q 都为真． p ：x 2﹣4x+3＜0，解得1＜x ＜3．
命题q ：实数x 满足
，化为
，解得2＜x≤3．
∴，解得2＜x ＜3．
∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3．
（2）命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0（其中a ＞0），解得a ＜x ＜3a ． ￢p ：x≤a 或x≥3a．
q ：2＜x≤3，则￢q ：x≤2或x ＞3． ∵￢p 是￢q 的充分不必要条件，
∴，解得1＜a≤2．
∴实数a 的取值范围是（1，2]．
19. （本小题满分14分）已知函数 ，
（1）令
，是否存在实数，当
（是自然常数）时，函数
的最小值
是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）求证：当时，
参考答案：
略
20. 四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的三视图和直观图如下 (1)求出该四棱柱的表面积;
(2)设E 是DC 上一点,试确定E 的位置,使D 1E ∥平面A 1BD,并说明理由
.
参考答案：
解:(1)由已知数据可知,四棱柱的表面积
S=2×1+2×1+2×2+2××1+2×
(2)连接AD1AE,设AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,连接MN,如图所示.
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,
要使D1E∥平面A1BD,
需使MN∥D1E,
又M是AD1的中点,
∴N是AE的中点.
又易知△ABN≌△EDN,
∴AB=DE.
即E是DC的中点.
综上所述,当E是DC的中点时,
可使D1E∥平面A1BD.
略
21. 在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T n=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a n}的通项公式；
（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b n}的每一项拆成
的形式，进而得到结论．
【解答】解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作T n，
∴T n=10n+2
又∵a n=lgT n，
∴a n=lg10n+2=n+2，n≥1．
（II）∵b n=tana n?tana n+1=tan（n+2）?tan（n+3）=，
∴S n=b1+b2+…+b n=++…+
=
【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这
n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．
22. （10分）如下图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长AB=1.
（1）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；（2）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．
参考答案：
（1）；（2）略.。