【单元练】山东省潍坊第二中学高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．2020年10月22日，俄“联盟MS-16”载人飞船已从国际空间站返回地球，在哈萨克斯坦着陆。

若载人飞船绕地球做圆周运动的周期为090min T =，地球半径为R 、表面的重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ）
A ．飞船返回地球时受到的万有引力随飞船到地心的距离反比例增加
B ．飞船在轨运行速度一定大于7.9km/s
C ．飞船离地高度大于地球同步卫星离地高度
D
解析：D
A ．由万有引力定律可知
2Mm F G
r
= 即飞船返回地球时受到的万有引力随飞船到地心的距离的平方反比例增加，所以A 错误； B ．由
2
2Mm v G m r r
= 可知，得
v =
又7.9km/s 是第一宇宙速度，即近地卫星的坏绕速度。

由于飞船轨道半径大于地球半径，所以飞船的速度小于7.9km/s ，所以B 错误； C ．由
2
224πMm G m r r T
= 可知，得
T =
已知同步卫星的公转周期为24h ，大于飞船的周期。

所以飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以C 错误； D ．由
2
02200
4πMm G m r r T = 可知，得
2302
04πr GM T =
2Mm
G
mg R
= 可知，得
2GM gR =
由
020
Mm
G
mg r = 可知，得
02
0GM
g r =
联立可得，该飞船所在圆轨道处的重力加速度为
0g =所以D 正确。

故选D 。

2．下列说法正确的是（ ）
A ．在赤道上随地球一起转动的物体的向心力等于物体受到地球的万有引力
B ．地球同步卫星与赤道上物体相对静止，且它跟地面的高度为某一确定的值
C ．人造地球卫星的向心加速度大小应等于9.8m/s 2
D ．人造地球卫星运行的速度一定大于7.9km/s B 解析：B
A ．在赤道上随地球一起转动的物体的向心力是物体受到地球的万有引力的一个分力，另一个分力是重力，故A 错误；
B ．地球同步卫星与赤道上物体相对静止，且它跟地面的高度为某一确定的值，故B 正确；
C ．由
2Mm
G
ma r
= 可知
2
GM
a r =
则人造地球卫星的向心加速度大小应小于9.8m/s 2，故C 错误； D ．由
22Mm v G m R R
= 得
7.9k m/s v =
= 人造地球卫星运行的轨道半径大于R ，所以速度一定小于7.9km/s ，故D 错误。

故选B 。

3．据报道，我国将在2022年前后完成空间站建造并开始运营，建成后空间站轨道距地面高度约h =4.0×102km 。

已知地球的半径R =6.4×103km ，第一宇宙速度为7.9km/s 。

则该空间站的运行速度约为（ ） A ．7.7km/s B ．8.0km/s
C ．7.0km/s
D ．3.1km/s A
解析：A
卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，得
G 2Mm r =m 2v r
得
v 当r =R 时，第一宇宙速度为
v 1=7.9km/s 空间站的轨道半径
r ′=R +h =6.4×103km+4.0×102km=6.8×103km
空间站的运行速度为
v 空 联立解得
v 空=v 解得
v 空≈7.7km/s
故选A 。

4．已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G ，有关同步卫星，下列表述中正确的是（ ） A ．卫星的运行速度可能等于第一宇宙速度
B C ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D ．卫星运行的向心加速度等于地球赤道表面物体的向心加速度C 解析：C
A ．第一宇宙速度为
1v =
而同步卫星的速度为
v =
因此同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故A 错误； B ．万有引力提供向心力，有
22
224GMm mr mv r T r
π==
且有
r =R +h
解得
h R = 故B 错误；
C ．卫星运行时受到的向心力大小是
()
2
GMm
F ma R h =
=+向向
向心加速度
2()GM
a R h =
+向
地表重力加速度为
2
GM
g R =
故卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C 正确；
D ．同步卫星与地球赤道表面的物体具有相同的角速度，根据a =ω2r 知，卫星运行的向心加速度大于地球赤道表面物体的向心加速度，故D 错误。

故选C 。

5．电影《流浪地球》深受观众喜爱，地球最后找到了新的家园，是一颗质量比太阳大一倍的恒星。

假设地球绕该恒星做匀速圆周运动，地球中心到这颗恒星中心的距离是地球中心到太阳中心的距离的2倍，则现在地球绕新的恒星与原来绕太阳运动相比，说法正确的是（ ）
A ．线速度大小是原来的2倍
B ．角速度大小是原来的2倍
C ．周期是原来的2倍
D ．向心加速度大小是原来的2倍C
解析：C
A ．根据万有引力充当向心力
G 2Mm r =m 2v r
线速度
v=GM r
由题知，新恒星的质量M是太阳的2倍，地球到这颗恒星中心的距离r是地球到太阳中心的距离的2倍，则地球绕新恒星的线速度不变，故A错误；
B．根据
v
r
ω=
可知，线速度不变，半径r变为原来的2倍，角速度大小是原来的1
2
倍，选项B错误；
C．由周期
T=2r v π
可知，线速度v不变，半径r变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；D．由向心加速度
a=
2 v r
可知，线速度v不变，半径r变为原来的2倍，则向心加速度变为原来的1
2
，故D错误。

故选C。

6．2020年7月23日12时41分，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭成功发射首次火星探测任务，“天问一号”探测器，火箭成功将探测器送入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了我国行星探测第一步。

已知火星质量与地球质量之比为1：10，火星半径与地球半径之比为1:2，若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，下列说法正确的是（）
A．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
B．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
C．火星与地球绕太阳运动的角速度大小之比为2233
D．火星与地球绕太阳运动的向心加速大小之比为9:4C
解析：C
A．航天器沿地球表面作圆周运动时必须具备的发射速度，第一宇宙速度，也叫环绕速度；当航天器超过第一宇宙速度达到一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度就叫做第二宇宙速度；从地球表面发射航天器，飞出太阳系，
到浩瀚的银河系中漫游所需要的最小发射速度，就叫做第三宇宙速度。

火星探测器要脱离地球同时不能脱离太阳系，其发射速度应介于地球的第二和第三宇宙速度之间，故A 错误；
B ．近地卫星运行速度近似等于第一宇宙速度，对于地球的近地卫星，有
22Mm v G m R R
= 得
v =
对火星，有
2
2M m v G m
R R
''='' 得
v v '=
==<
故B 错误； C ．根据2
2Mm G
m r r
ω=得
ω∝已知火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3:2，则火星与地球绕太阳运动的角速度大小之比为
= 故C 正确； D ．根据2
Mm
G
ma r =得 221
GM a r r
=
∝ 已知火星质量与地球质量之比为1:10，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为
3:2，火星与地球绕太阳运动的向心加速大小之比为
2
211
:4:932
= 故D 错误。

故选C 。

7．2020年7月23日12时41分，我国在海南文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭
将“天问一号”火星探测器发射升空，并成功送入预定轨道，迈出了我国自主开展行星探测的第一步。

假设火星和地球绕太阳公转的运动均可视为匀速圆周运动。

某一时刻，火星会运动到日地连线的延长线上，如图所示。

下列选项正确的是（ ）
A ．“天问一号”在发射过程中处于完全失重状态
B ．图示时刻发射“天问一号”，可以垂直地面发射直接飞向火星
C ．火星的公转周期大于地球的公转周期
D ．从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星再次共线C 解析：C
A ．“天问一号”在发射过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A 错误；
B ．由于火星与地球绕太阳公转的周期不同，所以图示时刻垂直地面发射“天问一号”，不可能直接飞向火星，故B 错误；
C ．根据万有引力提供向心力
2
22()Mm G
mR R T
π= 可得它们绕太阳公转的周期的公式
23
4R T GM
π=
由于R R >火地，故T T >火地，故C 正确；
D ．地球绕太阳公转的周期为一年，由于火星，地球绕太阳公转的周期不同，所以从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星不可能再次共线，故D 错误。

故选C 。

8．2020年7月23日，天问一号发射升空，如图所示，计划飞行约7个月抵达火星，并通过2至3个月的环绕飞行后着陆火星表面，开展探测任务。

已知火星与地球的质量之比约为1：10，火星与地球的半径之比约为1：2，则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一圈的最短时间之比约为（ ）
A ．
52
B 5
C 5
D ．25解析：B
近中心天体旋转的卫星周期最小，对于近中心天体旋转的卫星，根据万有引力提供向心力可得
2
224πGMm m R R T
=⋅ 解得
=2T 则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一周的最短时间之比为
T T 火地
故选B 。

9．2020年7月23日中午12时41分，我国在海南文昌卫星发射中心，使用长征五号遥四火箭，将我国首颗火星探测器“天问一号”发射升空，随后，“天问一号”探测器顺利进入预定轨道，我国首次火星探测发射任务取得圆满成功！设想为了更准确了解火星的一些信息，探测器到火星之前做一些科学实验：当到达与火星表面相对静止的轨道时，探测器对火星表面发射一束激光，经过时间t ，收到激光传回的信号；测得相邻两次看到日出的时间间隔为T ，测得航天器的速度为v 。

已知引力常量G ，激光的速度为c ，则（ ）
A ．火星的半径2π2
vT ct R =
- B ．火星的质量22πv T
M G
=
C ．航天器的轨道半径π
vT r = D ．根据题目所给条件，可以求出航天器的质
量A 解析：A
AC ．航天器的轨道半径
2π
vT r =
航天员与火星表面间的距离
2
ct s =
则火星的半径
22
vT ct R π=
- 故A 正确，C 错误；
BD ．根据万有引力充当向心力知
2
224πGMm m r r T
= 解得
2332
4π2πr v T
M GT G
== 只能求出中心天体的质量，则无法求出航天器的质量，故B 错误。

故选A 。

10．已知太阳系的两个行星A 和B 的公转轨道半径分别为r A 、r B ，且r A <r B 。

关于这两个行星的运动，以下说法正确的是（ ）
A ．A 行星的线速度比
B 行星的线速度小，即v A <v B B ．A 行星的角速度比B 行星的角速度小，即ωA <ωB
C ．A 行星公转周期比B 行星的公转周期小，即T A <T B
D ．A 行星的向心加速度比B 行星的向心加速度小，即a A <a B C 解析：C
由万有引力提供向心力得
222
2
24GMm v m r m r m ma r T r
πω==== 可得
2T = ，2GM a r =
，ω=，v =由于r A <r B 可得
v A >v B ，ωA >ωB ，T A <T B ，a A >a B
故选C 。

二、填空题
11．2020年12月3日，携带月球m =2kg 样品的“嫦娥五号”上升器先完成月面竖直向上起飞，然后进入近圆形的环月轨道。

设此环月轨道半径为r ，月球的质量为M ，万有引力常量为G ，则在向上起飞阶段样品的惯性___________（选填“增大”、 “不变”和“减小”），上升器在此环月轨道上运行周期为___________。

不变
解析：不变 2π
[1]在向上起飞运动中，样品的质量大小不变，因此样品的惯性不变。

[2]由月球引力提供向心力可得
2
224Mm G m r r T
π= 解得上升器在此环月轨道上运行周期为
2T π=12．我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星，运行轨道不同，前者采用“极地圆形轨道”，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12小时巡视地球一周，每天只能对同一地区进行两次观测；后者采用“地球同步轨道”，轨道平面在赤道平面内 ，能对同一
地区进行连续观测。

两种不同轨道的气象卫星在运行与观测时，“风云一号”卫星的轨道半径________（填“大于”、“小于”或“等于”）“风云二号”卫星的轨道半径，“风云一号”卫星运行的向心加速度______（填“大于”、“小于”或“等于”）“风云二号”卫星运行的向心加速度。

小于大于
解析：小于 大于
[1]由题意可知“风云一号”的周期小于“风云二号”的运动周期，根据公式
2
224Mm G m R R T
π= 可得
R = 所以周期越大，轨道半径越大，所以“风云一号”卫星的轨道半径小于“风云二号”卫星的轨道半径；
[2]万有引力充当向心力，根据公式
2Mm
G
ma R
= 解得
2
GM
a R =
所以轨道半径越大，向心加速度越小，所以“风云一号”卫星的向心加速度大于“风云二号”卫星的向心加速度。

13．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km 和100km ，运动速率分别为v 1和v 2。

那么v 1和v 2的比值为（月球半径取1700km ）_________（可保留根号）
[1]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力有
22Mm v G m r r
= 可得
v =
（M 为月球质量，r 为轨道半径），它们的轨道半径分r 1=1900km 、r 2=1800km ，则
12:v v =
= 14．有两颗人造地球卫星，质量之比是m 1∶m 2=2∶1，运行速度之比是v 1∶v 2=2∶1。

①它们周期之比T 1∶T 2=________________。

②所受向心力之比F 1∶F 2=_______________。

1∶832∶1 解析：1∶8 32∶1
①[1]根据万有引力提供向心力有
2222π()Mm v G m m r r r T
== 得
v =
运行的线速度大小之比是v 1：v 2=2：1，所以轨道半径之比是
12:1:4r r =
周期
2T =所以周期之比
12:1:8T T =
②[2]万有引力提供向心力，则2
=GMm
F r ，它们的质量之比是2：1，轨道半径之比是1：4，所以向心力大小之比为32：1
15．2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。

任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”第二次交会对接。

变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R 1、R 2，对应的角速度和向心加速度分别为1ω、2ω和1a 、2a ，则12:ωω=_____________，
12:a a =____________。

解析：12ωω=212221a R a R = [1]万有引力提供圆周运动的向心力，根据
22
GMm
mr r
ω=， 可得：
ω=
则：
12ωω= [2]万有引力提供圆周运动的向心力，根据：
2
GMm
ma r =， 可得：
2
12
221
a R a R =。

16．有三个物体、、A B C ，物体A 在赤道上随地球一起自转，物体A 的向心力加速度为
1a ，物体B 在地球大气层外贴着地球表面飞（轨道半径近似等于地球半径），物体B 的加
速度为2a ；物体C 在离地心距离为N 倍的地球半径的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，且物体C 的公转周期与地球的自转周期相同，物体C 的加速度为3a ，则：
123a a a ：：=_____。

解析：31::N N
[1]设地球自转的周期为T ，地球半径为R ，物体A 在赤道上随地球一起自转，则有：
2
124a R T
π=
物体B 在地球大气层外贴着地球表面飞，根据万有引和提供向心力，则有：
22
B
B Mm G
m a R
= 解得：22
GM
a R =
由题意知，物体C 与地球同步，则有：
2
324a NR T
π=
根据万有引和提供向心力，则有：
()
32
C
C Mm G
m a NR =
解得：()
32
GM
a NR =
则有：
131a a N = 22
3
a N a = 联立解得：
12331::N a a a N =：：
17．如图所示，三个质量均为m 的恒星系统，组成一个边长为a 的等边三角形。

它们仅受彼此之间的万有引力作用，且正在绕系统的质心O 点为圆心、在三角形所在的平面做匀速
率圆周运动。

则此系统的角速度ω=_________________。

（提示：对于其中的任意一个恒星，另外两颗恒星对它的万有引力指向O 点，且提供向心力）
解析：
33Gm
a
[1]三个质量均为m 的恒星系统，组成一个边长为a 的等边三角形，等边三角形的角为60°；任意两个星星之间的万有引力为：
2
2Gm F a
=
根据平行四边形定则，可得每一颗星星受到的合力：
2
22cos3033m F F F G a
=︒==合
由几何关系得：
cos302
a r =
解得：33
r a =
根据某一星球所受的合外力提供向心力，有：
2
223m G m r a
ω=
解得：3
3Gm
a ω=
18．如图所示，一个密度均匀、半径为R 的球体，它和距球心为2R 处的质点1m 之间的万有引力大小为F .如果在球体内挖去一个半径为
2
R
的小球体（图中阴影部分所示）后，剩余部分与质点1m 之间的万有引力F '=_________F.
解析：7
9
[1]设大球质量为m 2，小球未被挖去时，大球对质点m 1的万有引力为
12
2
(2)Gm m F R =
， 大球和小球的密度相同，被挖去部分小球的质量为2
m '，所以 22
3
344()3
32
m m R R ρππ'=
=
， 即：
2
218
m m '= 挖去部分对质点m 1的万有引力为
2
121
2
21832Gm m Gm m F R R ''=
=
⎛⎫ ⎪⎝⎭
挖去小球后剩余部分对质点m 1的万有引力为
212121
222
741836Gm m Gm m Gm m F F F R R R '''=-=
-= 所以：
7
9
F F ''=
19．宇航员站在某星球表面上用弹簧秤称量一个质量为m 的砝码，示数为F ，已知该星球半径为R ，则这个星球表面的人造卫星的运行线速度v 为_______________．
星球表面的重力加速度F g m
=
; 星球表面的人造卫星由万有引力提供向心力，2
v mg m R
=
联立解得：v =【点睛】
解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用． 20．火星的质量是地球质量的
110，火星半径是地球半径的1
2
，地球的第一宇宙速度是7.9km/s ，则火星的第一宇宙速度为______________．53km/s 解析：53km/s
第一宇宙速度为围绕星球做圆周运动的最大速度，
根据万有引力提供向心力可有：
2
2
Mm v G m
r r
=
则此时第一宇宙速度的表达式为：v=据此可知火星上的第一宇宙速度为：
7.9km/s=3.53km/s
v v
地
火
.
【点睛】
能正确理解第一宇宙速度，知道它是环绕星于做圆周运动的最大速度，以第一宇宙速度运动时，物体所受万有引力完全提供向心力，据此列式根据半径和质量关系求解即可．三、解答题
21．已知地球半径为R，表面重力加速度为g，一昼夜时间为T，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响。

试求：
（1）第一宇宙速度v；
（2）近地卫星的周期T′；
（3）同步卫星离地面的高度h；
解析：（1
；（2
）2；（3
R
（1）近地卫星在地表运动则卫星的重力提供向心力即
2
v
mg m
R
＝
解得
v=
（2）近地卫星的周期
2
2
R
T
v
π
'==
（3）同步卫星在地球表面重力等于万有引力即
2
GMm
m g
R
'
'=
地球质量
G
gR
M
2
=
同步卫星到地面高度为h，由万有引力充当向心力可得
2
22
4
()
()
Mm
G m R h
R h T
π
'
'
=+
+
h R =
22．某人造地球卫星沿圆轨道运行，运行高度为400km ，周期是35.610s ⨯，（已知地球半径为6400km ，万有引力常量11
226.6710N m /kg G -=⨯⋅）求：
（1）该人造卫星的线速度； （2）估算地球的质量。

解析：（1）7625m/s ；（2）24
610kg ⨯ （1）经分析可知
2R
v T π=
R =R 地+h
解得该卫星的线速度
v =7625m/s
（2）由
2
Mm G
R =2
2()m R T π R =R 地+h
解得地球质量
M =24610kg ⨯
23．木星的卫星之一叫“艾奥”，它上面的珈火山喷出的岩块初速度为18m/s 时，上升高度可达90m 。

已知“艾奥”的半径为R =1800km 。

忽略“艾奥”的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，引力常量G =6.67×10-11N·m 2/kg 2，求： (1)“艾奥”的质量； (2)“艾奥”的第一宇宙速度。

解析：(1)8.7×1022kg ；(2)1800m/s (1)根据v 2=2gh 可得
22
2218m/s 1.8m/s 2290
v g h ===⨯
根据
2
Mm
G
mg R = 可得
322
1
2126.1.8(180010)kg 8.71670
0kg 1gR M G -⨯⨯⨯==≈⨯ (2)根据
2
=v mg m R
31.8180010m/s 1800m/s v gR ==⨯⨯=
24．月球背面始终背对地球，是因为月球的自转周期跟它绕地球公转的周期相同。

2019年1月3日22时22分玉兔二号完成与嫦娥四号着陆器的分离，驶抵月球背面，首次实现月球背面着陆，成为中国航天事业发展的又一座里程碑。

设月球绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r ，求月球的自转周期T 。

解析：3
2πr T GM
=（或2πr r GM ）
月球绕地球做匀速圆周运动，公转周期为T′，设月球的质量为m 1，则有
2
11224πMm G m r r T ='
解得
32π
r T GM
'=
由于月球的自转周期跟它绕地球公转的周期相同，因此月球的自转周期
3
=2π
r T T GM
'=（或2πr r GM ）
25．经科技工作者不懈奋斗，我国航天技术取得了举世瞩目的成就。

现设想在月球上有图示装置，小滑块A 、B 用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，B 从图示位置由静止释放后，A 在水平台面上、B 在竖直方向上做匀加速运动。

若A 、B 的质量分别为2m 、m ，A 与台面间的动摩擦因数为μ，地球表面的重力加速度大小为g 0，月球的质量为地球的1
81
，半径为地球的
1
4
，求： （1）月球表面的重力加速度大小g ′； （2）A 匀加速运动过程中轻绳的拉力大小F 。

解析：（1）
01681g ；（2）()0321243
mg μ+ (1)天体表面，万有引力近似等于重力，由
2
=Mm
G
mg R 得
2
M g G
R =
则
2
000()R g M g M R ='''
解得
'01681
g g =
(2)A 匀加速运动过程中，A 与B 的加速度大小相等，设为a ，根据牛顿第二定律 对A 有
'22F mg ma μ-⨯=
对B 有
'mg F ma -=
解得
()032
1243
F mg μ=
+ 26．宇航员在地球表面做如下实验：如图所示，将一个物体在斜面顶端以初速度v 0水平抛出，物体恰好击中斜面的底端，已知斜面倾角为θ，地球表面重力加速度为g 。

假设宇航员携带该斜面到某星球表面，已知该星球质量和半径均是地球的2倍。

宇航员仍然在斜面顶端以某一初速度水平抛出物体，物体恰好也到达斜面底端。

求： （1）在地球表面抛出时，小球从斜面顶端运动到底端时间； （2）在该星球抛出的初速度。

解析：（1）02tan v g θ；（22
v 0 （1）设运动时间为t ，则有
tan θ=2
012gt
v t
解得
t =02tan v g
θ
（2）设该星球表面重力加速度为g ´，则有
mg ´=G 2M m
R
''
在地球表面，有
mg =G
2
Mm
R
由题意代入数据可得
g ´=
2
g
设初速度为v ´，由（1），在该星球上，物体运动到斜面底端时间为
t ´=2tan v g θ
''
依题意，有
v ´t ´=v 0t
联立解得
v ´=
2
v 0 27．某同步卫星围绕地球运行的轨道的近似圆形，它的质量为m ，已知地球的半径为r ，卫星离地面的高度为h ，卫星绕地球公转的线速度为v ，求： (1)求地球的质量M 。

(2)求地球表面的重力加速度g 。

解析：（1）2()v r h M G +=（2）22()
r g h r v +=
（1）根据万有引力定律提供圆周运动向心力有：
22()mM v G m r h r h
=++ 地球的质量为
2()v r h M G
+=
（2）忽略自转，地球表面重力与万有引力相等有：
2
mM
G
mg r = 地球表面的重力加速度为
22
()r g h r v +=
28．若登月宇航员进行以下测量：
①当飞船沿贴近月球表面的圆形轨道环绕时，测得环绕周期为T ；
②登月舱在月球表面着陆后，宇航员在距月球地面高h 处让一小球自由下落，测得小球经过时间t 后落地，已知万有引力常量G ，h 远小于月球半径，试根据以上测得的量，求： （1）月球表面的重力加速度g 月的大小； （2）月球的半径R 。

解析：（1）22h t ；（2）2
22
2πhT t
（1）根据
21
2h g t =
月 解得月球表面的重力加速度
2
2h g t =
月 （2）质量为m 的飞船在近月面轨道环行时，有
2
22Mm G m R T R π⎛⎫= ⎪⎝⎭
质量为m 的物体在月球上有
2
GMm
mg R =月 解得
22
2
2242==月g T hT R t
ππ。