2020年河北省保定市综合高级中学高二数学理期末试卷含解析

2020年河北省保定市综合高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，，即可求出a的值．
【解答】解：由题意，，
∴a=2，
故选：C．
2. 已知，动点满足：，则动点的轨迹为（ *** ）
A.椭圆
B. 线段
C.两条射
线 D. 双曲线
参考答案：
B
3. 直线过圆内一点，则被圆截得的弦长恰为整数的直线共有
A、5条
B、6条
C、7条
D、8条
参考答案：
D
4. 已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为（）。

参考答案：。

因为，所以，
于是有，因此。

由于
，得，其中的最大值当，
时取到。

又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。

5. 直线与圆的位置关系（）
A .相交 B.相切 C.相离 D.以上情况均有可能
参考答案：
A
略
6. 已知函数，关于的方程有四个不等实数根，则的取值范围为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 已知直线和两个平面，给出下列两个命题：
命题p：若，，则；
命题q：若，，则；
那么下列判断正确的是( )
A．p为假 B．为假 C．为真 D．为真
参考答案：
D
8. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，，则数列的前100项和为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
10. 用一个平面去截一个正方体，截法不同，所得截面的形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面是（）
Ａ．四边形Ｂ．五边形Ｃ．六边形Ｄ．八边形
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若点的坐标是，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，的最小值为 ______
参考答案：
12. 不论m取什么实数，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点．参考答案：
（2，3）
【考点】恒过定点的直线．
【专题】计算题；函数思想；直线与圆．
【分析】将直线的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【解答】解：直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0可为变为m（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0
令解得：，
故不论m为何值，直线（2m﹣1）x﹣（m+3）y﹣（m﹣11）=0恒过定点（2，3）
故答案为：（2，3）．
【点评】正确理解直线系的性质是解题的关键．
13. 已知，，且，则
的最大值是
．
参考答案：
14. 已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为
.
参考答案：
15. 设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦长为，为坐标原点，则面积的最小值为_______.
参考答案：
略
16. 函数的定义域为__________．
参考答案：
{x|x≥4或x≤－2}
略
17. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直
线的方程为
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若函数的值域为，求实数的取值范围。

参考答案：
解析：
令
，则须取遍所有的正实数，即
，
而
19. 已知数列满足：，其中为数列的前项和.
（1）试求
的通项公式；
（2）若数列
满足：
，试求
的前项和
.
参考答案：
略
20. 已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，P 为抛物线上一点，当直线l 过抛物线焦点时，|AB |的最小值为2． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若AB 的中点为（3，1），且直线PA ，PB 的倾斜角互补，求△PAB 的面积．
参考答案：
【分析】（Ⅰ）当直线l 过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2，由此得到2p=2，从而能求出抛物线C 的方程．
（Ⅱ）设直线l 的方程为x=my+n ，代入抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n=0，利用韦达定理结合AB 的中点
为（3，1），求出m=1，从而直线l 的方程为x=y+2，由此利用弦长公式、直线PA ，PB 的倾斜角互补、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△PAB 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2=2px （p ＞0），直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，P 为抛物线
上一点，
当直线l 过抛物线焦点时，|AB|的最小值为2， ∴2p=2，解得p=1， ∴抛物线C 的方程为y 2=2x ．
（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0），
设直线l 的方程为x=my+n ，代入抛物线方程得y 2﹣2my ﹣2n=0， y 1+y 2=2m ，y 1y 2=﹣2n ，
∵AB 的中点为（3，1），∴2m=2，即m=1， ∴直线l 的方程为x=y+2， ∴y 1+y 2=2，y 1y 2=﹣4， ∴|AB|=
=2
，
∵k AP +k BP =
=
=0，
∴2y 0+y 1+y 2=0，∴y 0=﹣1，
∴P （
），点P 到直线l 的距离d=
，
∴△PAB 的面积为|AB|d=
．
21. 、(12分) 如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中
点，
是
的中点，点
为线段
上的动点，
(I) 判断异面直线和
所成的角的大小是否变化，并证明你的结论； (II) 当直线
和平面
所成角最大时，试确定点
的位置．
参考答案：
(I) 不变；(II) 为的中点．
22. 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2．
参考答案：
【考点】不等式的证明；基本不等式；等比数列的性质．
【分析】左边减去右边等于2（ab+bc﹣ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c＞b，进而推出2（ab+bc﹣ac ）＞0，
从而证得不等式成立．
【解答】证明：∵a2+b2+c2 ﹣（a﹣b+c）2=2（ab+bc﹣ac ）．
∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b2 =ac≤，
开方可得，故a+c≥2b＞b．
∴2（ab+bc﹣ac ）=2（ab+bc﹣b2）=2b（a+c﹣b）＞0，
∴a2+b2+c2 ﹣（a﹣b+c）2＞0，∴a2+b2+c2＞（a﹣b+c）2 ．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，等比数列的定义和性质，用比较法证明不等式，属于中档题．。