2016大东区高三一模监测数学答案（理）.doc

2016年沈阳市大东区高三质量监测 数学参考答案及评分标准（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B A A C D A C A D D B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸中横线上.
13. 21
14.
725
15. 16
16433
π- 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由()()3a b c a b c ab +++-=，得2
2
2
a b c ab +-= ………………2分
∴2221
cos 22
a b c C ab +-=
=，∴在ABC ∆中，3C π= ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3C π
=，
∴()2322sin 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 2166x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ………………8分
∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴3sin 213x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭，
∴132sin 2133x π⎛
⎫≤-+≤ ⎪⎝
⎭ ………………11分
∴函数()f x 的值域为13,3⎡⎤⎣⎦
………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高；……………… 3分
（Ⅱ）158162163168168170171179179182
17010
x +++++++++==cm ………………5分
甲班的样本方差为：
2s =()()()()()2222221
[(158170)16217016317016817016817017017010
-+-+-+-+-+-
()()()()2222
171170179170179170182170]=57.2+-+-+-+- ………………8分
（Ⅲ）设抽取的三名同学身高不低于175cm 的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，
363101(0)6C P X C ===，21643101
(1)2
C C P X C ===，
12643103(2)10C C P X C ===，343101
(3)30
C P X C ===， ………………10分
∴()0123 1.2621030
E X =⨯+⨯+⨯
+⨯=. ………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：作//FM CD 交PC 于M ，连结ME .
∵点F 为PD 中点，
∴CD FM 21
=，
∵11
22AE AB CD ==，
∴//FM AE =
， ∴AEMF 为平行四边形， ∴//AF EM ， ……………………2分 ∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线//AF 平面PEC ；
……………………4分 （Ⅱ）∵60DAB ∠=
，AD AB =，E 为AB 中点， ∴DE AB ⊥，即DE ⊥
DC ，
∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，PD ⊥DE ，
如图所示，以D 为原点，
DE 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立坐标系， 设PD a =，则(0,0,)P a ，(0,1,0)C ，(,0,0)2E ，1(,0)22A -，1
(
,0)22
B ， ∴1,2AP a ⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
，
()0,1,0AB =， ……………………6分 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，
∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴1
02
x y az y ⎧
++=⎪⎨⎪=⎩
，取1x =，则z
= ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,2n a
=， ……………………8分 ∵(0,1,)PC a =-，
设向量n 与PC 所在直线成角为θ，又∵PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
14
， A
∴sin 14
1n PC n PC
θ⋅=
=
=
解得1a
=或a =
，即PD 的长为1 ……………………10分 （Ⅲ）∵F 为PD 中点，
∴P CEF D CEF F CDE V
V V ---==13CDE S DF ∆=⋅
⋅=， 由（Ⅱ）可知三棱锥P CEF -
116
. ……………………
12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得22242
a c
a
a b c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎩
，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴所求椭圆C 的椭圆方程为2
212
x y +=，
……………………3分
（Ⅱ）（1）若直线1l 斜率不存在，则此时||PQ ||MN =
∴四边形PMQN 的面积||||
22
PQ MN S ⋅=
=， ……………………5分 （2）若直线1l 的斜率存在且不为0，则可设1:(1)l y k x =+ ，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由22
(1)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222
(21)4220k x k x
k +++-= ……………………6分
∴1
2|||
PQ x x =-22
121
k k +=
=+， 同理，用1k - 代替k ，得||MN = ……………………8分
四边形PMQN 的面积：
4242||||2142252PQ MN k k S k k ⋅++==++24214()24104k k k =-++=2
2
11
4()42
410
k k
-
++，
∵2
2448k k +
≥=，当且仅当21k = 时等号成立， ……………………10分
∴
2211(0,]416410k k ∈++，∴221116
4()[,2)429410k k
-∈++，
综上所述，四边形PMQN 的面积16S ,29⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. ……………………12分
21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()2ln f x ax x ax b '=++， ……………………2分 ∵(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+2
1e e =-+，
∴1a =，1b =-； ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()ln 1f x x x x =-+， 设222()()(1)ln g x f x x x x x x =--=-+ (1)x ≥，
求得()2ln 1g x x x x '=-+，(())2ln 10g x x ''=+>， ……………………6分 ∴()g x '在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=．
∴2
()(1)f x x ≥-； ……………………8分 （Ⅲ）设2
2
2
()()(1)ln (1)1h x f x m x x x x m x =--=---+， 求得()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，
由（Ⅱ）知，22
ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，
∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---， ……………………10分
①当320m -≥，即3
2
m ≤
时，()0h x '≥， ∴()h x 在[1,)+∞单调递增，∴()(1)0h x h ≥=成立； ②当320m -<，即3
2
m >
时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=+--， 求得(())2ln 32h x x m ''=+-，令0(())'0h x '=，得232
01m x e
-=>，
当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，
∴()h x 在[)01,x x ∈上单调递减，∴()(1)0h x h <=，不成立． 综上所诉，2
3
≤
m ． ……………………12分
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22．证明：（Ⅰ）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD =∠BAD ， ……………………2分
又∵AD 平分∠BAC ，∴∠EBD =∠CAD ， ……………………4分 又∵∠CBD =∠CAD ，∴∠EBD =∠CBD ， ……………………5分 （Ⅱ）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB ，
∴△EBD ∽△EAB ， ……………………7分
∴
BE BD
AE AB
=
， ∴AB BE AE BD ⋅=⋅， ……………………9分 又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC =， 故AB BE AE DC ⋅=⋅． ……………………10分
23．解：（Ⅰ）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2sin cos 0ρθθ-=得22
sin cos ρθρθ=，
∴2
y x =即为曲线C 的直角坐标方程， ……………………2分 点M 的直角坐标为(0,1)， ……………………3分
直线l 的倾斜角为
34
π
，故直线l 的参数方程为： 3cos 431sin 4x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（t 为参数）
，即12
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
， ……………………5分 （Ⅱ）把直线l
的参数方程212
x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t
为参数）代入曲线C 的方程得：
2(1)
=，即220t ++=，
……………………7分
242100∆=-⨯=>，
设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1212
2t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩ ……………………8分
又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得：
点M 到A 、B 两点的距离之积12||||||2MA MB t t ⋅=⋅=． ……………………10分
24．解：（Ⅰ）当3a =时，1, 23()53, 2231, 2
x x f x x x x x ⎧
⎪->⎪
⎪
=-≤≤⎨⎪
⎪
-<⎪⎩ ……………………2分
当2x >时，由10x ->，解得1x <，∴()0f x >的解集为∅， 当322x ≤≤时，由530x ->，解得53x <，∴3523x ≤<， 当32x <时，由10x ->，解得1x >，∴3
12
x <<， ……………………5分
综上所述，当3a =时，不等式()0f x >的解集为513x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩
⎭． ……………6分
（Ⅱ）∵(,2)x ∈-∞，∴()2|2|f x x x a =---， 由()0f x <，得2|2|0x x a ---<， ∴2|2|x x a -<-在(,2)x ∈-∞恒成立，
即2a x >+或32a x <-在(,2)x ∈-∞恒成立，
∴4a ≥． ……………………10分。