合情推理习题集

归纳推理
1、已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；1212
11
()()()4ii a a a a ++≥； 123123
111
()()(
)9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2、猜想数列
1111,,,,13355779
--⨯⨯⨯⨯ 的通项公式是 . 3、哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7,
…
…
,
50=13+37,
…
…
,
100=3+97
，
猜
想： . 4、观察下列等式：1+3=4=2
2，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=2
4，
1+3+5+7+9=25=2
5， ……
你能猜想到一个怎样的结论？ 5、观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36， 1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？ 6、在ABC ∆中，不等式
1119A B C π++≥成立；
在四边形ABCD 中，不等式111116
2A B C D π
+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式1111125
3A B C D E π
++++≥
成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？ 7、已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.
A.4()22x f x =
+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2
()21f x x =+ 8、111()1()23f n n N n +=+
++⋅⋅⋅+∈，
经计算得357
(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222
f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.
9、从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ . 10、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .
11、已知数列{}n a 的第一项11a =，且n
n
n a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通
项公式.
12、已知数列{n a }的前n 项和n S ，12
3
a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.
13、在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S 14、观察:
000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论. 15、已知：23150sin 90sin 30sin 2
2
2
=
++
2
3125sin 65sin 5sin 222=++
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明. 16、若
数
列
{}
n a 的通项公式
)()
1(1
2
+∈+=
N n n a n ，记
)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出
.________________)(=n f
17、已知数列{}n a 的通项公式2
1
()(1)n a n N n +=
∈+，
记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值. 18、已知数列
()()
1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+ ⑴求出1234,,,S S S S ； ⑵猜想前n 项和n S .
（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？
19、所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电.属于哪种推理（ ）. A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 20、用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是___________.
21、数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈
（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的结论. 22、已知数列
1111,,,,1447710(32)(31)
n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 23、已知数列
的前n 项和
，且
，通过计算
猜 想
（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
24、已知a 1=1，然后猜想
（ ） A 、n B 、n
2
C 、n 3
D 、
25、下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③；
B ．②③④；
C ．②④⑤；
D ．①③⑤.
26、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”
C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）” D.“
n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n
（b ）” 27、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然
是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
28、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算
S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =
（ ）
A ．12
1
2-+n n
B ．12
1
2--n n
C ．
n
n n 2)
1(+ D ．1－
1
21
-n
29、观察下列等式： ① cos2a=22
cos a -1;
② cos4a=84
cos a - 82
cos a + 1;
③ cos6a=326
cos a - 484
cos a + 182
cos a - 1;
④ cos8a=1288
cos a - 2566
cos a + 1604
cos a - 322
cos a + 1;
⑤ cos10a= m 10
cos a - 12808
cos a + 11206
cos a + n 4
cos a + p 2
cos a - 1. 可以推测，m – n + p = .
30、设112,,(2)(3)2
3
n
n
n n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+， 将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
其中n T =__________________ .
31、观察下列等式：3
3
2
123,+=3
3
3
2
1236,++=3
3
3
3
2
123410+++=,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
32、给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）
(A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 005
33、如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则a2 009+a2 010+a2 011等于( )
(A)1 003 (B)1 005 (C)1 006 (D)2 011
34、观察下表：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2010是第几行的第几个数?
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
35、当,||1x R x ∈<时，有如下表达式：2111n
x x x x
+++++=
- . 两边同时积分得：
111112
222220
1
11n
dx xdx x dx x dx dx x
+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰
从而得到如下等式：2
3
1
11111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
231
01211111112223212n n n n n n C C C C n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
36、设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量
1122(,),(,)a x y V b x y V
=∈=∈
，以及任意
R
λ∈，均有
[(1)]()(1)()f a b f a f b λλλλ+-=+-
则称映射f 具有性质P 。

先给出如下映射：
①11:,(),(,)f V R f m x y m x y V →=-=∈
； ②2
22:,(),(,)f V R f m x y m x y V →=+=∈ ； ③33:,()1,(,)f V R f m x y m x y V →=++=∈
.
其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号） 37、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1，3，6，10…，第
n 个三角形数为
2(1)11
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211
(,3)22
N n n n =+，
正方形数：2
(,4)N n n =， 五边形数：231
(,5)22
N n n n =
-， 六边形数：2
(,6)2N n n n =-， ……
可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N = .
38、观察下列等式：2
11=，
22123-=-， 2221236-+=， 2222123410-+-=-，
…，
照此规律，第n 个等式可为 39、观察下列各式：56753125,515625,578125,,=== 则2011
5
的末四位数字为 ( )
A ．3125
B ． 5625
C ．0625
D ．8125 40设函数()(0)2x
f x x x =
>+,观察： 1()(),
2x
f x f x x ==+
21()(()),
34x
f x f f x x ==+ 32()(()),
78x
f x f f x x ==+
43()(()),
1516x
f x f f x x ==+
根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +
∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==
41．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。

当
4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互
不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）
42．观察下列等式
1=1 2+3+4=9
3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……
照此规律，第n 个等式为 。

43、回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．
类比推理
1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
2、下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“
a b a b
c c c
+=+ （c ≠0）” D.“
n n
a a
b =n
（b ）” 类推出“n
n
a a
b +=+n
（b ） 3、由“以点()00,x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为()()2
2
200x x y y r -+-=” 可以类比推出球的类似属性是 . 4、已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质： （1）()n m a a n m d =+-，
（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，
则m n p q a a a a +=+，
类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.
5、对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。

类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“___________________________________________________”。

6、在直角三角形ABC 中，两直角边分别为a b 、，设h 为斜边上的高，则
222111
h a b
=+，由此类比：三棱锥S ABC -的三个侧棱SB SC SA 、、两两垂直，且长分别为a b 、、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 .
7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ， ， ，16
12
T T 成等比数列．
8、下列说法正确的是( )
A ．由合情推理得出的结论一定是正确的
B ．合情推理必须有前提有结论
C ．合情推理不能猜想
D ．合情推理得出的结论无法判定正误
9、下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180° A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 10、三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c)·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( ) A ．V ＝1/3abc B ．V ＝1/3Sh
C ．V ＝1/3(S1＋S2＋S3＋S4)r ，(S1、S2、S3、S4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)
D ．V ＝1/3(ab ＋bc ＋ac)h(h 为四面体的高)
11、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①B．①②C．①②③D．③
12、类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的1/4
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )
A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不对
13、由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b ＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c ＝ab”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
14、下列说法正确的是( )
A．类比推理一定是从一般到一般的推理B．类比推理一定是从个别到个别的推理
C．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D．类比推理是从个别到一般的推理15、下面类比推理中恰当的是( )
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
16、设f(x)＝1/(2x＋2)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
17、由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；
③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；
⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b
”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18、在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2
＝14
，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2
＝( ) A.18 B.19 C.164 D.127
19、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
20、若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．
平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形
两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12
×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12
；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
21、给出下列三个类比结论：
①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.
其中结论正确的个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
22、在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面
积为S △ABC ＝12
(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”
23、在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．
24、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A 、由圆的性质类比出球的有关性质
B 、由平行四边形、矩形、菱形、正方形的内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°
C 、因为当a ＞1时，对数函数log a y x =在(0)+，
∞上是增函数，所以，2log y x =在(0)+，∞上是增函数
D 、“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”可以推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、”
25、在平面中ABC ∆的角C 的内角平分线CE 分∆ABC 面积所成的比AEC BEC S AC S BC
∆∆=, 将这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于E , 则类比的结论为______________．。