推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题54 平面向量应用练 含解析

1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，4=BC ，AC AB AC AB -=+，则=AM _______. 【答案】2 【解析】=
AM 1111
422222
AB AC AB AC CB +=-==⨯=. 2.若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．
【答案】
3
5
3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则
OA OB OC OD +++等于 _______.
【答案】OM 4
【解析】本题需要将,,,,用OM 表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。

由图可知
,,-=+=,+=
,+=所以OM -+++=+++4,因为ABCD 为
平行四边形，所以有BM =-=，则OM 4=+++.
4.在ABC ∆中，
若2
AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是_______三角形 【答案】直角
5.在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：
①0)(=-⋅； AD AC AB ≥+； ③B AB AD
=；
其中结论正确的个数是_______. 【答案】3
【解析】∵AD BC ⊥，∴0AD BC ⋅=， ①()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=；
②取BC 中点M ，2AB AC AM +=，而||||AM AD ≥，∴||2AB AC AD +=； ③||cos ||||AD
AC AC CAD AD AD ⋅
=∠=，||sin ||AB B AD =，所以B AB AD
=； 所以正确的个数为3个.
6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆2
2
:4C x y +=相交于
, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =_______.
【答案】0
7.抛物线2
:8C x y =与直线22y x =-相交于,A B 两点,点P 是抛物线C 上不同,A B 的一点,若直线,PA PB 分别与直线2y =相交于点,Q R ,O 为坐标原点,则OR OQ ⋅的值是_______.
Q A
R
B
2
O y
x
J P
【答案】20
【解析】由抛物线2
:8C x y =与直线22y x =-联立方程得2
16160x x -+=，设
112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y .所以121216,16x x x x +==.所以直线
PA:
10
0010
()y y y y x x x x --=
--.令y=2．
1000
10(22)42(2)
x y x x
x x y -+-=
-+.即
1000
10(22)4(
,2)
2(2)
x y x x Q x y -+--+.同理
2000
20(22)4(
,2)
2(2)
x y x x R x y -+--+.
所以
OR OQ ⋅022
1200000122
120120(22)4(22)()164
42(2)()(2)x x y x x y x x x x x x y x x y -+--+++=
+-++++2002
001644864420284
y y y y -+=+=-+ 8.已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的长度θsin b a b a =⨯，若(2,0)u =，(1,3)u v -=-，则=+⨯)(v u u _______. 【答案】32 【解析】
试题分析：由题意()(1,3)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3
cos ,2
u u v <+>=， 得1sin ,2u u v <+>=
，由定义知1
()sin ,223232
u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯⨯= 9.直线y x m =+与圆2
216x y 交于不同的两点M ，N ，且3MN OM ON ≥+，其
中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[22,22]-
10在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 2CM CN ⋅的取值范围为 ． 【答案】
3
22
CM CN ≤⋅≤
【解析】根据题意可以C 为原点建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，直线AB 方程为：
2x y +=，可设点1122(,2),(,2)M x x B x x --，由MN =
=211x x -=，由
21212111111(2)(2)(1)(2)(1)222CM CN x x x x x x x x x x ⋅=+--=++--=-+，又
101x ≤≤，结合二次函数的图象可得：
3
22
CM CN ≤⋅≤． 11.已知a 、b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是_______. 【答案】
3
π 【解析】∵(2)a a b ⊥-, ∴2
2.0a a b -=. ∵(2)b b a ⊥-, ∴2
20b ab -=. 设a 与b 的夹角为θ, cos ab a b θ=,
则2
2
22cos 0a ab a a b θ-=-=, 2
2
22cos 0b ab b a b θ-=-=. ∴2
2cos a a b θ=，2
2cos b a b θ=.
若0a =或0b =，则a =0b =，此时，（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都正确.
若0a ≠且0b ≠，解方程组得到1cos 2θ=
.∴3
π
θ= 12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈，向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1
y x x
=+在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为_______.
【答案】3
2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
由定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈知：01λ≤≤，令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以
2
11222t t λλ-+
=+-在2]t ∈递减，2,2]t ∈213
2222
λλ-≤+≤-，
即32130222λ-≤--≤
从而2
1132132222222MN λλλλ+-⎛⎫=+=--≤ ⎪
--⎝⎭
，不等式MN k ≤恒成立，则k ≥
3
22
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3,)a ，a ∈R ，点P 满足OP OA λ=，
λ∈R ，||||72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．
【答案】24 【解析】
试题分析：点A 的坐标为(3,)a ，则||3OA ≥，又OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，
||||72OA OP =，则72
||||
OP OA =
，设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为||cos OP θ=2
3216
||
||||OP OA OA =24≤，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24． 14.如图：内接于⊙O 的△ABC 的两条高线AD 、BE 相交于点H,过圆心O 作OF ⊥BC 于 F ，连接AF 交OH 于点G ，并延长CO 交圆于点I.
(1) 若AH OF λ=,试求λ的值； (2)若OB y OA x CH +=,试求y x +的值；
(3)若O 为原点，点B 的坐标为(－4,－3)，点C 的坐标为C(4,－3),试求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）21=
λ;（2）2=+y x ;（3）9
25
)2(22=++y x （3-≠y ）. 【解析】∵CI 为直径 ∴∠IAC 和∠IBC 均为直角 ∴AI ∥BE,BI ∥AD ∴四边形AIBH 为平行四边形
（1）1122OF IB AH AH λ=
==∴2
1=λ （2）OH OB BH OB IA =+=+ 而IA OA OI OA CO =-=-
∴OH OB BH OB IA OB OA OC =+=+=++ ∴CH OA OB =+而CH xOA yOB =+
∴2=+y x。