高三数学上学期期中试题 文 24

同文中学2021-2021高三上期中考试
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
文科数学
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
{}
{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，那么B A =〔 〕
A ．{}6,5
B ．{}4,3
C ．{}3,2
D ．{}6,5,4
21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，那么
=+22
1
z z z 〔 〕 A ．i 22+ B ．i 22- C ．i +-2 D ．i --2
3.R 上的奇函数)(x f 满足：当0<x 时，)1(log )(2x x f -=，那么=))1((f f 〔 〕 A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2
4．?孙子算经?是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，一共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?〞其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是〔 〕
A ． 15
B ． 16
C ． 18
D ． 21
5.10
10sin ),2,0(=∈απα，那么)4
2tan(π
α+
=〔 〕
A ．
71 B ．-7
1
C ．7
D ．-7 y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-+≥++020740
24y x y x y x ，那么y x z +-=3的最大值与最小值之和为〔 〕
A ．-7
B ．-2 C. -1 D ．6 7．
{}n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，那么=+101a a 〔 〕
A ． 7
B ． 7-
C ． 15
D ． 15-
21sin )(2-
=x x f 的图像向右平移6
π
个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，那么=⎪⎭
⎫
⎝⎛6
5π
g ( ) A ．21-
B ．2
1
C.23- D ．23
9．函数
x x f x
x cos )22()(⋅-=-在区间[]5,5-上的图象大致为〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下面四个命题真命题的个数是
①“假设x 2
－x ＝0，那么x ＝0或者x ＝1〞的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，那么x 2
－x ≠0〞 ②“x <1〞是“x 2
－3x ＋2>0〞的充分不必要条件
③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 2
0＋x 0＋1<0，那么非p ：任意x ∈R ，都有x 2
＋x ＋1≥0 ④假设p 且q 为假命题，那么p ，q 均为假命题 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 11．在ABC ∆中，点
D 是AC 上一点，且AD AC 4=，P
为
BD 上一点，向量
()0,0>>+=μλμλAC AB AP ，那么μ
λ
1
4+的最小值为〔 〕
A ． 16
B ． 8
C ． 4
D ． 2
12．函数)(x f 的导函数为)('x f ，且)()('x f x f <对任意的R x ∈恒成立，那么以下不等式均成立的是( )
A ．)0()2(),0(2)2(ln 2f e f f f <<
B ．)0()2(),0(2)2(ln 2
f e f f f >> C ．)0()2(),0(2)2(ln 2f e f f f >< D ．
)0()2(),0(2)2(ln 2
f e f f f <> 二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
13．函数x
e x y +=sin 在点()1,0处的切线方程是__________．
)3,1(),0,(-==b t a ，假设4-=⋅b a ，那么b a 2+与b
的夹角为 ．
15．假设函数()2
1
43
f x mx mx =-+的定义域为R ，那么实数m 的取值范围是__________. 16．
n
S 是数列
{}n a 的前n 项和，假设21
=a ，12+=n n a S ，*
N
n ∈.那么
=
6S __________．
三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
ABC ∆中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，C c a B b A a sin )(sin sin -=-.
〔1〕求B 的大小； 〔2〕假设6,3
1
cos ==a A ，求ABC ∆的面积S .
18.新颖的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超进展扶贫工作，按方案每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量一样且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.假如平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；假如平均气温位于
[)20,25摄氏度，需求量为200n =公斤；假如平均气温位于[)15,20摄氏度，需求量
为100n =公斤；假如平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如下图的频数分布表：
天数
2
16
36
25
7
4
〔Ⅰ〕假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润〔结果取整数〕；
〔Ⅱ〕假设该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.
19.在如下图的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面
60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD .
〔1〕证明：⊥BD 平面ACDE ；
〔2〕过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.
2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为32，且点
3(1,)2A -在椭圆C 上. 〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕不经过A 点的直线3
:2
l y x t =
+与椭圆C 交于,P Q 两点，P 关于原点对称点为R 〔与点A 不重合〕
，直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =.
21. 函数21
()x
x x f x e -+=.
〔1〕求函数()f x 的单调区间； 〔2〕当[]0,2x ∈时，2()2f x x x m ≥-++恒成立，求m 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩〔θ为参数，[]0,θπ∈〕将
曲线1C
经过伸缩变换：''x x
y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .
〔1〕以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； 〔2〕假设直线cos :sin x t l y t α
α
=⎧⎨=⎩〔t 为参数〕与1C ,2C 相交于,A B
两点，且1AB =，
求α的值.
23. 选修4-5：不等式选讲 函数
35)(+--=x x x f .
（1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；
（2）记函数)(x f 的最大值为m ，假设,0,0>>b a m ab b a e e e -=⋅44，求ab 的最小值.
（3）
同文中学2021-2021高三上期中考试
文科数学答案
一、选择题
1-5:BACCC 6-10:CBBDC 11、12：AA 二、填空题
13. 14.
3
π
15.30,
4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 16.
16
243
三、解答题
17.解：〔1〕因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-. 所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222.
又21
2cos 222=-+=
ac b c a B ，所以3
π=B . 〔2〕因为()π,0,3
1
cos ∈=
A A ，所以322sin =A . 由
B b A a sin sin =
，可得4693
2
223
6sin sin =⨯
==A B a b . 又6
3
22233121322)sin(sin +=⨯+⨯=
+=B A C . 所以8
2
273366322469621sin 21+=+⨯⨯⨯==
C ab S . 183．〔1〕这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，
最高气温低于25的频率为
， 所以这种酸奶一天的需求量不
超过300瓶的概率的估计值为0.6.
〔2〕当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
假设最高气温不低于25，那么Y =6450-4450=900；
假设最高气温位于区间 [20,25〕，那么Y =6300+2〔450-300〕-4450=300； 假设最高气温低于20，那么Y =6200+2〔450-200〕-4450= -100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
19.〔1〕证明：在BCD ∆中，360cos 2121222=⨯⨯-+= BD . 所以222DC BD BC +=，所以BCD ∆为直角三角形，CD BD ⊥. 又因为⊥AC 平面BCD ，所以BD AC ⊥. 而C CD AC = ，所以⊥BD 平面ACDE .
〔2〕解：取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接MF DM DF ,,，平面DFM 即为所求. 理由如下：
因为AF DE AC DE =,∥，所以四边形AEDF 为平行四边形，所以AE DF ∥，从而
∥DF 平面ABE ，
同理可证∥FM 平面ABE .
因为F DF FM = ，所以平面∥DFM 平面ABE . 由〔1〕可知，⊥BD 平面ACDE ，⊥FC 平面CDM . 因为()332
1
4231=⨯⨯+⨯=
-ACDE B V ， 63260sin 21131=
⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯=- CDM F V ，
所以，所求几何体的体积6
35633=-
=V . 20.解〔1
〕2
c e a =
=，不妨设22
4,3(0)a m c m m ==>，那么2b m = 所以
2214x y m m +=，将点(1,)2A -代入得1m =，即所求椭圆方程为2214
x y +=. 〔2〕设1122(,),(,)P x y Q x y ，那么11(,)R x y --
，且121222,11AR
AQ
y y k k x x -+
+
==---
由22
14x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y
化简得：22
10x t ++-=
∴212
12,1x x x x t +==-
∴1212121212(1)(1)(222211(1)(1)AR AQ
y y y x x y k k x x x x -+-+-+--++=+=------
1221211212()()2(1)(1)
x y x y y y x x x x ++-+
-+=
+-
分子12212112))))2222
x x t x x t x x x x =++++-+-
22112()1)()0x t x x t t =++-+=
即0AR
AQ k k +=，又,M N 分别为直线,AQ AR 与y 轴焦点，得AMN ANM ∠=∠
所以AM AN =得证.
21.解：〔1〕函数()f x 的定义域为{}
x x R ∈，(2)(1)
()x
x x f x e ---=
∵0x e ->，∴'()0f x <，解得1x <或者2x >；'()0f x >，解得12x <<， ∴()f x 的单调递减区间为(,1),(2,)-∞+∞，单调递增区间为(1,2).
〔2〕∵2()2f x x x m ≥-++在[]0,2x ∈恒成立
∴222()2(1)2x m f x x x x x e x x -≤
+-=-+⋅+-，
令2
2()(1)2x g x x
x e x x -=-+⋅+-，那么'()(2)(x 1)2(1)x g x x e x -=---⋅+-，
当[)0,1x ∈时，(1)(22)
'()0x x
x x e g x e --+=<； 当(1,2)x ∈时，(1)(22)
'()0x x
x x e g x e
--+=>， ∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴min 1()(1)1g x g e ==-，∴1
1m e
≤-. 22.解：〔1〕1C 的普通方程为2
21(0)x
y y +=≥，
把','x x y ==代入上述方程得，'2
'2
'1(3)3y x y +=≥， ∴2C 的方程为2
2
1(0)3
y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ== 所以2C 的极坐标方程为[]2222
33
(0,)3cos sin 2cos 1
ρθπθθθ=
=∈++； 〔2〕在〔1〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，
由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2
232cos 1ρθθα
⎧=⎪+⎨⎪=⎩
，得B ρ=，
11=，∴1cos 2
α=±，而[]0,απ∈，∴3
πα=或者23
π.
23.解：〔1〕当3-≤x 时，由135+≥++-x x x ，得7≤x ， 所以3-≤x ；
当53 x -时，由135+≥---x x x ，得3
1≤x ， 所以3
13≤
-x ； 当5≥x 时，由135+≥---x x x ，得9-≤x ，无解.
综上可知，31≤x ，即不等式1)(+≥x x f 的解集为⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞-31,. 〔2〕因为
83535=---≤+--x x x x ，
所以函数)(x f 的最大值8=m .
应为844-=⋅ab b a e e e ，所以844+=+ab b a . 又0,0 b a ， 所以ab ab b a 4424=≥+，
所以0484≥--ab ab ，即02≥--ab ab .
所以有.()0)2(
1≥-+ab ab .
又
0 ab ，所以2≥ab ，4≥ab ，即ab 的最小值为4.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。