广东省中考数学试题分类解析汇编 专题5 数量和位置变化

广东中考数学试题分类解析汇编 专题5：数量和位置变化
一、选择题
1. （广东佛山3分）在平面直角坐标系中，点M （－3，2）关于x 轴对称的点在【 】 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C 。

【考点】关于x 轴对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中各象限点的特征。

【分析】关于x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点M （－3，2）关于x 轴对称的点的坐标是（－3，－2）。

根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，
＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。

故点（－3，－2）位于第三象限。

故选C 。

2.（广东广州3分）将二次函数y=x 2
的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】 A ．y=x 2
﹣1 B ．y=x 2
+1 C ．y=（x ﹣1）2
D ．y=（x+1）2
【答案】A 。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。

上下平移只改变纵坐标，下减上加。

因此，将二次函数y=x 2
的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x 2
﹣1。

故选A 。

3. （广东深圳3分）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是【 】
A.a 1<-
B.31a 2-<<
C.3a 12-<<
D.3
a 2
>
【答案】B 。

【考点】关于x 轴对称的点的坐标，一元一次不等式组的应用。

【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可：
∵点P （a ＋1，2a －3）关于x 轴的对称点在第一象限，∴点P 在第四象限。

∴ a+102a 30><⎧⎨-⎩
①
②。

解不等式①得，a ＞－1，解不等式②得，a ＜3
2
， 所以，不等式组的解集是－1＜a ＜
3
2。

故选B 。

4. （广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm 2
，设该长方形一边长为ycm ，另一边的长为xcm ，则y 与x 之间的函数图象大致是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 。

【考点】反比例函数的性质和图象。

【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20
y=
x>0,y>0x。

故选B 。

5. （广东肇庆3分）点M （2，1-）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】
A ．（2，0）
B ．（2，1）
C ．（2，2）
D ．（2，3-） 【答案】B 。

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。

上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。

因此，
∵点M （2，-1）向上平移2个单位长度，∴－1＋2=1。

∴平移后的点坐标是（2，1）。

故选B 。

二、填空题
1. （广东珠海4分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，B 点坐标为（3，2），OB 与AC 交于点P ，D 、E 、F 、G 分别是线段OP 、AP 、BP 、CP 的中点，则四边形DEFG 的周长为 ▲ ．
【答案】5。

【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，三角形中位线定理。

【分析】根据题意，由B 点坐标知OA=BC=3，AB=OC=2；根据三角形中位线定理可求四边形DEFG 的各边长度，从而求周长：
∵四边形OABC 是矩形，∴OA=BC，AB=OC ， BA⊥OA，BC⊥OC。

∵B 点坐标为（3，2），∴OA=3，AB=2。

∵D、E 、F 、G 分别是线段OP 、AP 、BP 、CP 的中点，∴DE=GF=1.5； EF=DG=1。

∴四边形DEFG的周长为（1.5+1）×2=5。

三、解答题
1. （广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)
及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
(1)写出奇数a用整数n表示的式子；
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加1
2
个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加1
n
个单位时，y 的值变化规律是什么？
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。

（2）有理数b=m
n
（n≠0）。

（3）①当x的取值从0开始每增加1
2
个单位时，列表如下：
故当x的取值从0开始每增加1
2
个单位时，y的值依次增加
1
4
、
3
4
、
5
4
…
2i1
4
-。

②当x的取值从0开始每增加1
n
个单位时，列表如下：
故当x的取值从0开始每增加
1
n
个单位时，y的
值依次增加
2
1
n
、
2
3
n
、
2
5
n
…
2
2i1
n
-。

【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。

【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数
可以表示为2n+1。

（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。

（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变
化而变化的规律。

2. （广东梅州7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB
的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB
绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为；
（2）点A1的坐标为；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．
【答案】解：（1）（﹣3，﹣2）。

（2）（﹣2，3）。

（3
10。

【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。

【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。

（2）根据平面直角坐标系写出即可。

x i0 1 2 3 4 5 ...
y i0 1 4 9 16 25 ...
y i+1－y i 1 3 5 7 9 11 ...
x i0
1
2
1
3
2
2
5
2
...
y i0
1
4
1
9
4
4
25
4
...
y i+1－y i
1
4
3
4
5
4
7
4
9
4
11
4
...
x i0
1
n
2
n
3
n
4
n
5
n
...
y i0
2
1
n2
4
n2
9
n2
16
n2
25
n
...
y i+1－y i
2
1
n2
3
n2
5
n2
7
n2
9
n2
11
n
...
（3）先利用勾股定理求出OB 的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：
根据勾股定理，得22OB 1+3=10=，∴弧BB 1的长=
90010
=1802
ππ⋅⋅。

3. （广东梅州11分）如图，矩形OABC 中，A （6，0）、C （0，2）、D （0，3
），射线l 过点D 且与x 轴平行，
点P 、Q 分别是l 和x 轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B 的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为 ；（直接写出答案） （2）设OA 的中心为N ，PQ 与线段AC 相交于点M ，是否存在点P ，使△AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的横坐标为m ；若不存在，请说明理由．
（3）设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 的重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，23）。

②30。

③（3，33）。

（2）存在。

m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得
EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=1
3
（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：
EFQO 14343
S S EF OQ OC 3x x 43233
==+⋅=++梯形（）（）=
当3＜x≤5时，如图2，
()HAQ EFQO EFQO 221
S S S S AH AQ
2
43331333x 43x 3x x 32232
∆=-=-⋅⋅=+---+
- =梯形梯形。

当5＜x≤9时，如图3，
12S BE OA OC 312x 23
23=x 1233
=+⋅=--+ （）（）。

当x ＞9时，如图4，
11183543
S OA AH 6=
22x x
=⋅=⋅⋅。

综上所述，S 与x 的函数关系式为：
()()()()243
x 430x 3331333x x 3x 5232S 23
x 1235x 93543
x 9x
<<>⎧+≤≤⎪⎪
⎪-+-≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎪
⎪⎪⎩。

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：
∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC ，
∵A（6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）。

②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵OC 233
tan CAO ==
OA 63
∠=
，∴∠CAO=30°。

③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点
Q 与点A
重合时，过点P 作PE⊥OA 于E ，
∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33。

∴0
PE AE 3tan 60
=
=。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）。

（2）分别从MN=AN ，AM=AN 与AM=MN 去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N 与Q 重合。

∴点P 与D 重合。

∴此时m=0。

情况②，如图AM=AN ，作MJ⊥x 轴、PI⊥x 轴。

MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60
3
OA IQ OI sin603m 2
=--⋅︒=-（）（）
又113
MJ AM=AN=222
=，
∴
333m 22
-（）=，解得：m=3﹣3。

情况③AM=NM，此时M 的横坐标是4.5， 过点P 作PK⊥OA 于K ，过点M 作MG⊥OA 于G ， ∴MG=
32。

∴00PK 33MG 1
QK 3GQ 2
tan 603tan 60=
====，。

∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=
1
2
AN=1.5。

∴OK=2。

∴m=2。

综上所述，点P 的横坐标为m=0或m=3﹣3或m=2。

（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案。

4. （广东汕头12分）如图，抛物线21
3y=x x 922
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ． （1）求AB 和OC 的长；
（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）在21
3y=x x 922
--中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即21
3x x 9=022
--，解得：x 1=﹣3，x 2=6，∴A（﹣3，0）、B （6，0）。

∴AB=9，OC=9。

（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴2AED ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫
= ⎪⎝⎭，即：2
s m 19992
⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅⋅。

∴s=
12
m 2
（0＜m ＜9）。

（3）∵S △AEC =12AE•OC=92m ，S △AED =s=12
m 2
，
∴S △EDC =S △AEC ﹣S △AED
=﹣
12m 2+92m=﹣12（m ﹣92）2+818。

∴△CDE 的最大面积为81
8
，
此时，AE=m=92，BE=AB ﹣AE=9
2。

又22BC 6+9=313=，
过E 作EF⊥BC 于F ，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：EF BE OC BC =，即：9
EF
29313
=。

∴27
EF 1326
=。

∴以E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积 S ⊙E =π•EF 2
=
729
52
π。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C 点坐标；当y=0时，可确定A 、B 点的坐标，从而确定AB 、OC 的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE 关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. （广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化． (1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b= 时，直线l：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b= 时，直线l：y=－2x＋b(b≥0)与OM 相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，
【答案】解：（1）10；1025
±。

（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，
2）。

如图，当直线l经过A(2，0)时，b=4；当直线l经过D（2，2）
时，b=6；当直线l经过B（6，0）时，b=12；当直线l经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4＜b≤6时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=1
b
2
，则F（
1
b
2
，0）。

∴AF=1
b2
2
-，AE=－4＋b。

∴S=()2
1111
AF AE b24b b2b+4
2224
⎛⎫
⋅⋅=⋅-⋅=
⎪
⎝⎭
－＋－。

当6＜b≤12时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA
的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=
1
b
2
，则G（
1
b
2
，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=
1
b1
2
-，则H（
1
b1
2
-，2）。

∴DH=
1
b3
2
-，AG=
1
b2
2
-。

AD=2
∴S=()()
11
DH+AG AD b52b5
22
⋅⋅=⋅-⋅=-。

当12＜b≤14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为五边
形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=
1
b1
2
-，
则M（
1
b1
2
-，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。

∴MC=
1
7b
2
-，NC=14－b。

∴S=()2
1111
42MC NC87b14b b+7b41
2224
⎛⎫
⋅-⋅⋅=-⋅-⋅=--
⎪
⎝⎭
－。

当b＞14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。

综上所述。

S与b的函数关系式为：
()
()
()
()
()
2
2
00b4
1
b2b+44b6
4
S b56b1
1
b+7b4112b14
4
8b14
<
<
<
>
⎧≤≤
⎪
⎪≤
⎪
⎪
=-≤
⎨
⎪
⎪--≤
⎪
⎪
⎩
－。

【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相
切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。

【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点
P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。

设直线y=－2x＋b与
x ，y 轴分别交于点A ，B 。

则由△OAB∽△HMP，得
MH AO 1
PH OB 2
==。

∴可设直线MP 的解析式为11
y x b 2
=＋。

由M(4，2)，得1124b 2=⋅＋，解得1b 0=。

∴直线MP 的解析式为1
y x 2
=。

联立y=－2x ＋b 和1
y x 2
=，解得21x=b,y b 55= 。

∴P（21
b,b 55
）。

由PM=2，勾股定理得，22
21b +b 455⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-4 -2，化简得24b 20b+80=0-。

解得b=1025±。

（2）求出直线l 经过点A 、B 、C 、D 四点时b 的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b ＞14五种情况分别讨论即可。

6. （广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点A 、B 分别落在坐标轴上．O 为原点，点A 的坐标为（6，0），点B 的坐标为（0，8）．动点M 从点O 出发．沿OA 向终点A 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从点A 出发，沿AB 向终点B 以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M 、N 运动的时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N 的坐标，并求出经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）当t 为何值时，△MNA 是一个等腰三角形？
【答案】解：（1）N （3，4）。

∵A（6，0）
∴可设经过O 、A 、N 三点的抛物线的解析式为：y=ax （x ﹣6），则将N （3，4）代入得
4=3a （3﹣6），解得a=﹣4
9。

∴抛物线的解析式：2448
y x x 6x +x 993
=--=-（）。

（2）存在。

过点N 作NC⊥OA 于C ，
由题意，AN=
5
3
t ，AM=OA ﹣OM=6﹣t ， ∴NC=NA•sin∠BAO=544
t =t 353
⋅。

∴2
MNA 1142S AM NC 6t t t 362233
∆=⋅=⋅-=--+（）（）。

∴△MNA 的面积有最大值，且最大值为6。

（3）在Rt△NCA 中，AN=
53t ，NC=AN•sin∠BAO=544
t =t 353
⋅，AC=AN•cos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t 。

∴N（6﹣t ，4
t 3
）。

∴()
2
2
2452NM 6t t +t t 24t+3639⎛⎫
=-
--=- ⎪⎝⎭。

又AM=6﹣t 且0＜t ＜6， ①当MN=AN 时，
2525t 24t+36=t 93-，即t 2
﹣8t+12=0，解得t 1=2，t 2=6（舍去）。

②当MN=MA 时，
252t 24t+36=6t 9--，即243t 12t=09-，解得t 1=0（舍去），t 2=10843。

③当AM=AN 时，6﹣t=
53t ，即t=9
4。

综上所述，当t 的值取 2或10843
或9
4 时，△MAN 是等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。

【分析】（1）由A 、B 的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。

当t=3时，AN=
53t=5=1
2
AB ，即N 是AB 的中点，由此得到点N 的坐标N （3，4）。

利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。

（2）△MNA 中，过N 作MA 边上的高NC ，先由∠BAO 的正弦值求出NC 的表达式，而AM=OA-OM ，由三角形
的面积公式可得到关于S △MNA 关于t 的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA 的最大面积。

（3）首先求出N 点的坐标，然后表示出AM 、MN 、AN 三边的长。

由于△MNA 的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可。

7. （广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD 中，ABDC ，AB=32，DC=2，高CE=22，对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫
过的图形面积为S 1、被直线RQ 扫过的图形面积为S 2，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为
2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒． （1）填空：∠AHB= ；AC= ； （2）若S 2=3S 1，求x ；
（3）设S 2=mS 1，求m 的变化范围．
【答案】解：（1）90°；4。

（2）直线移动有两种情况：0＜x ＜
32及3
2
≤x≤2。

①当0＜x ＜3
2
时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。

∵直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒， ∴△AMN 和△ARQ 的相似比为1：2。

∴2
21S 24S 1⎛⎫
== ⎪⎝⎭。

∴S 2=4S 1，与题设S 2=3S 1矛盾。

∴当0＜x ＜
3
2
时，不存在x 使S 2=3S 1。

②当3
2
≤x≤2时，
∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。

∴CH：AH=CD ：AB=DH ：BH=1：3。

∴CH=DH=1
4
AC=1，AH═BH=4﹣1=3。

∵CG=4﹣2x ，AC⊥BD，∴S △BCD =1
2
×4×1=2
∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。

∴()2
2CRQ
42x S 2=82x 1∆-⎛⎫
=⋅- ⎪⎝⎭。

又ABCD ABD 1
111S AB CD CE 322228S AB CE 322262222
∆=+⋅=⋅+⋅==⋅=⋅⋅=梯形（）（），，
∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。

∴
2
21ABD
S AF x S AH 9∆⎛⎫
==
⎪⎝⎭
， ∴S 1=
23
x 2，S 2=8﹣8（2﹣x ）2。

∵S 2=3S 1，∴8﹣8（2﹣x ）2
=3·23x 2，解得：x 1=6253
<（舍去），x 2=2。

∴x 的值为2。

（3）由（2）得：当0＜x ＜
3
2
时，m=4， 当
3
2
≤x≤2时，∵S 2=mS 1， ∴()2
2
2221882x S 364812m=
=+12=36+42S x x 3x x 3
--⎛⎫=---- ⎪⎝⎭。

∴m 是
1x 的二次函数，当32≤x≤2时，即当1122x 3≤≤时，m 随1
x 的增大而增大， ∴当x=3
2
时，m 最大，最大值为4；当x=2时，m 最小，最小值为3。

∴m 的变化范围为：3≤m≤4。

【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。

【分析】（1）过点C 作CK∥BD 交AB 的延长线于K ，
∵CD∥AB ，∴四边形DBKC 是平行四边形。

∴BK=CD=2，CK=BD 。

∴AK=AB+BK=32+2=42。

∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴BD=AC。

∴AC=CK。

∴AE=EK=
1
2
AK=22=CE 。

∵CE 是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。

∴∠ACK=90°。

∴∠AHB=∠ACK=90°
∴AC=AK•cos45°=2
4242
⨯
=。

（2）直线移动有两种情况：0＜x ＜32及3
2
≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当
0＜x ＜32时，易得S 2=4S 1≠3S1；当3
2
≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求
得△BCD 与△CRQ 的面积，继而可求得S 2与S 1的值，由S 2=3S 1，即可求得x 的值；
（3）由（2）可得当0＜x ＜
32 时，m=4；当32≤x≤2时，可得()2
221882x S m=2S x 3
--=，化为关于1
x 的
二次函数2
12m=36+4x 3⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，利用二次函数的性质求得m 的变化范围。

8. （广东河源9分）如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l 过点D 且与 x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．
(1)点B 的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标 为 ；
(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应 的自变量x 的取值范围．
【答案】解：（1）（6，23）。

30。

（3，33）。

（2）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得
EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=1
3
（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：
EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233
==+⋅=++梯形（）（）=
当3＜x≤5时，如图2，
()HAQ EFQO EFQO 221
S S S S AH AQ
2
43331333x 43x 3x x 32232
∆=-=-⋅⋅=+---+
- =梯形梯形。

当5＜x≤9时，如图3，
12S BE OA OC 312x 23
23=x 1233
=+⋅=--+ （）（）。

当x ＞9时，如图4，
11183543
S OA AH 6=
22x x
=⋅=⋅⋅。

综上所述，S 与x 的函数关系式为：
()()()()243
x 430x 33
31333
x x 3x 5232S 23
x 1235x 93543
x 9x
<<>⎧+≤≤⎪⎪⎪-+-≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎪
⎪⎪⎩。

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：
∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC，OA=BC ，
∵A（6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）。

②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：
∵OC 233
tan CAO ==
OA 63
∠=
，∴∠CAO=30°。

③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点
Q 与点A
重合时，过点P 作PE⊥OA 于E ，
∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33。

∴0
PE AE 3tan 60=
=。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）。

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案。