七年级下学期数学期末压轴难题模拟试卷及答案-百度文库

七年级下学期数学期末压轴难题模拟试卷及答案-百度文库
一、选择题
1．100的算术平方根是（） A ．100 B ．10± C ．10- D ．10 2．下列生活现象中，不是平移现象的是( ) A ．人站在运行着的电梯上 B ．推拉窗左右推动
C ．小明在荡秋千
D ．小明躺在直线行驶的火车上睡觉
3．在平面直角坐标系中，点()3,2-位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．下列命题中，假命题的数量为（ ）
①如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为补角； ②内错角相等； ③两个锐角的和是锐角；
④如果直线a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ． A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）
A ．∠1+∠2−∠3=90°
B ．∠1−∠2+∠3=90°
C ．∠1+∠2+∠3=90°
D ．∠2+∠3−∠1=180° 6．对于有理数a ．b ，定义min {a ，b }的含义为：当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ，当b ＜a 时，min {a ，b }＝b ．例如：min {1，﹣2}＝﹣2，已知min {30，a }＝a ，min {30，b }＝30，且a 和b 为两个连续正整数，则a ﹣b 的立方根为（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣2
D ．2
7．如图，已知//AB CD ，BC 平分ABE ∠，64BED ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）
A ．26︒
B ．32︒
C ．48︒
D ．54︒
8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x -++叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得
点A 1，A 2，A 3，…，n A ，…，若点1A 的坐标为(3)1，
，则点A 2021的坐标为（ ） A ．(0,2)-
B ．(0)4，
C ．(3)1，
D ．(3,1)-
二、填空题
9．已知x ，y ()2
120x y --=，则x-y =___________．
10．点A ()2,4-关于x 轴的对称点1A 的坐标为____________．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 三点的坐标分别是()2,0A -，()0,4B ，
()0,1C -，过点C 作//CD AB ，交第一象限的角平分线于点D ，连接AD 交y 轴于点E ．则
点E 的坐标为______．
12．如图，已知a ∥b ，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝_____度．
13．如图，将ABC 沿着AC 边翻折得到AB 1C ，连接BB 1交AC 于点E ，过点B 1作B 1D //AC 交BC 延长线于点D ，交BA 延长线于点F ，连接DA ，若∠CBE ＝45°，BD ＝6cm ，则ADB 1的面积为_________．
14．请阅读下列材料，现在规定一种新的运算：
a b ad bc c d
=-，例如：
()232431111
4
-=⨯--⨯=．按照这种计算的规定，当
23682
x x =-，x 的值为___．
15．已知点P 的坐标(3-a ，3a -1)，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是_______________．
16．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），第一次点A 跳动至点A 1（﹣1，1），第二次点A 1跳动至点A 2（2，1），第三次点A 2跳动至点A 3（﹣2，2），第四次点A 3跳动至点A 4（3，2），…依此规律跳动下去，则点A 2021与点A 2022之间的距离是_______．
三、解答题
17．（1）计算：238127(2)|32|+-+-+- （2）解方程：()3
1125x -=- 18．求下列各式中的x 值： (1)25x 2-64=0 (2)x 3-3=3
8
19．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证AB ∥CD ．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4 ∴∠2＝ （等量代换）， ∴ ∥BF （ ）， ∴∠3＝∠ （ ）． 又∵∠B ＝∠C （已知）， ∴∠3＝∠B ∴AB ∥CD （ ）．
20．在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母：
（1）点A (32)--，
，B (21)--，，C (10)-，，D (12)，； （2）点E 在x 轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F 在x 轴下方，y 轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度．
21．阅读下面的文字，解答问题:大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，而12
-来表示2的小数
＜＜2，于是可用21
部分．请解答下列问题：
(1)29的整数部分是_______，小数部分是_________；
(2)如果10的小数部分为15
a，的整数部分为b，求10
+-的值．
a b
二十二、解答题
22．工人师傅准备从一块面积为25平方分米的正方形工料上裁剪出一块18平方分米的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下来的长方形的长宽的比为3:2，问这块正方形工料是否合格？（参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.236）
二十三、解答题
23．已知：直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，作射线EG平分∠BEF交CD 于G，过点F作FH⊥MN交EG于H．
（1）当点H在线段EG上时，如图1
①当∠BEG＝36︒时，则∠HFG＝．
②猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．
（2）当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．
24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC ＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°
/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°
/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以下两个结论：①CPD
BPN
∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
25．如图，直线//AB CD ，E 、F 是AB 、CD 上的两点，直线l 与AB 、CD 分别交于点
G 、H ，点P 是直线l 上的一个动点（不与点G 、H 重合），连接PE 、PF ．
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，GEP EGP ∠=∠，60FHP ∠=︒，则
PFD ∠=_____．
（2）若点P 与点E 、F 不在一直线上，试探索AEP ∠、EPF ∠、CFP ∠之间的关系，并证明你的结论． 26．解读基础：
（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由；
（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（3）①如图3，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，请直接写出A ∠和D ∠的关系 ；
②如图4，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．
（4）如图5，BAC ∠与BDC ∠的角平分线相交于点F ，GDC ∠与CAF ∠的角平分线相交
于点E ，已知26B ∠=︒，54C ∠=︒，求F ∠和E ∠的度数．
【参考答案】
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据算术平方根的定义求解即可求得答案． 【详解】 解：∵102=100， ∴100算术平方根是10； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了算术平方根的定义．注意熟记定义是解此题的关键．
2．C 【分析】
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，解答即可． 【详解】
解：根据平移的性质，A 、B 、D 都正确，而C 小明在荡秋千，荡秋千的运动过程中，方向不断的发
解析：C 【分析】
根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，解答即可． 【详解】
解：根据平移的性质，A 、B 、D 都正确，而C 小明在荡秋千，荡秋千的运动过程中，方向不断的发生变化，不是平移运动． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：点（3，-2）所在象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．B
【分析】
根据平角和补角的性质判断①；内错角不一定相等判断②；根据锐角的定义：小于90°的角，判断③；根据平行线的性质判断④．
【详解】
根据平角和补角的性质可以判断①是真命题；
两直线平行内错角相等，故②是假命题；
两锐角的和可能是钝角也可能是直角，故③是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，故④是真命题，
因此假命题有两个②和③，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平角、补角、内错角、平行线和锐角，熟练掌握相关定义和性质是解决本题的关键．
5．D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】
∵EF∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．6．A
【分析】
根据a，b的范围即可求出a−b的立方根．
解：根据题意得：a
b ∵25＜30＜36， ∴56，
∵a 和b 为两个连续正整数， ∴a ＝5，b ＝6， ∴a ﹣b ＝﹣1， ∴﹣1的立方根是﹣1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查用新定义解决数学问题及无理数的估计，立方根的求法，正确理解新定义是求解本题的关键． 7．B 【分析】
利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题． 【详解】
解：∵//AB CD ，64BED ∠=︒，BC 平分ABE ∠， ∴64ABE ∠=︒，11
643222
ABC EBC ABE ∠=∠=∠=⨯︒=︒，
∵//AB CD ， ∴32C ABC ∠=∠=︒， 故选：B ． 【点睛】
本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．C 【分析】
根据“伴随点”的定义依次求出各点，得出每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定点A2021的坐标即可． 【详解】
解：∵点的坐标为， ∴点的伴随点的坐标为，即
解析：C 【分析】
根据“伴随点”的定义依次求出各点，得出每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据余数的情况确定点A 2021的坐标即可． 【详解】
解：∵点1A 的坐标为(3)1，
， ∴点1A 的伴随点2A 的坐标为(11,31)-++，即(0,4) ，
345(3,1),(0,2),(3,1),
A A A --
∴每4个点为一个循环组依次循环， ∵20214505
1÷=，
∴A 2021的坐标与1A 的坐标相同，
即A 2021的坐标为(3)1，， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中探索点的变化规律问题，解题关键是读懂题目，理解“伴随点”的定义，并能够得出每4个点为一个循环组依次循环．
二、填空题 9．-1 【分析】
根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可求出x 和y ，代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴ 解得： ∴x-y=-1 故答案为：-1． 【点睛】
此题考查的是非负性的应用，掌握算术平方
解析：-1 【分析】
根据算术平方根的非负性和平方的非负性即可求出x 和y ，代入求值即可． 【详解】
解：∵
()2
20y -=()2
0,20y -≥
∴10,20x y -=-= 解得：1,2x y == ∴x-y =-1 故答案为：-1． 【点睛】
此题考查的是非负性的应用，掌握算术平方根的非负性和平方的非负性是解决此题的关键．
10．（2，4） 【分析】
直接利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点
P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ），进而得出答案． 【详解】
解：点A （2，-4）关于x 轴
解析：（2，4） 【分析】
直接利用关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P ′的坐标是（x ，-y ），进而得出答案． 【详解】
解：点A （2，-4）关于x 轴对称点A 1的坐标为：（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点睛】
此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
11．【分析】
设D （x ，y ），由点在第一象限的角平分线上，可得，由待定系数法得直线AB 的解析式为，由，可设，把代入， 得，进而可求得，再由待定系数法求得直线AD 的解析式为，令x=0时，得，即可求得点E
解析：20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
设D （x ，y ），由点D 在第一象限的角平分线上，可得x y =，由待定系数法得直线AB 的解析式为24y x =+，由//CD AB ，可设2CD y x b =+，把()0,1C -代入， 得21CD y x =-，进而可求得1(1)D ，
，再由待定系数法求得直线AD 的解析式为12
33
y x =+，令x =0时，得2
3
y =
，即可求得点E 的坐标. 【详解】
解：设D （x ，y ），
点D 在第一象限的角平分线上， ∴x y =，
//CD AB ，()20A -，
，()04B ，
∴设直线AB 的解析式为：4y kx =+，把()20A -，，代入得： k =2，
24AB y x ∴=+， 2CD y x b ∴=+，
把()0,1C -代入，得b =-1， 21CD y x ∴=-，
点D 在21CD y x =-上， (11)D ∴，，
设直线AD 的解析式为：11y k x b =+，
可得1111120k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 111323k b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
， 1233
AD y x ∴=+， 当x =0时，23
y =
， 2(0)3E ∴，， 故答案为：2(0)3
， 【点睛】
此题考查了一次函数的性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解答此题的关键. 12．75
【分析】
根据平行线的性质和的度数得到，再利用平角的性质可得的度数．
【详解】
解：如图：
，，
．
，
．
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平
解析：75
【分析】
根据平行线的性质和1∠的度数得到4∠，再利用平角的性质可得3∠的度数．
【详解】
解：如图：
//a b ，170∠=︒，
4170∴∠=∠=︒．
235∠=︒，
3180703575∴∠=︒-︒-︒=︒．
故答案为：75．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用． 13．cm²
【分析】
根据翻折变换的性质可知AC 垂直平分BB1，且B1D 平行AC ，得到AC 为三角形ADB 中位线，从而求解．
【详解】
解：根据翻折变换的性质可知AC 垂直平分BB1，
∵B1D ∥AC ，
∴ 解析：92
cm ²
【分析】
根据翻折变换的性质可知AC 垂直平分BB 1，且B 1D 平行AC ，得到AC 为三角形ADB 中位线，从而求解．
【详解】
解：根据翻折变换的性质可知AC 垂直平分BB 1，
∵B 1D ∥AC ，
∴AC 为三角形ADB 中位线，
∴BC =CD =12BD =3cm ， 在Rt △BCE 中，∠CBE =45°，BC =3cm ，
∴CE 2+BE 2=BC 2，
解得BE =CE ．
∴EB 1=BE ∵CE 为△BDB 1中位线，
∴DB
1=2CE ，
△ADB 1的高与EB 1相等，
∴S
△ADB 1=12×DB 1×EB 1=1292
cm ²， 故答案为：92
cm ²． 【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质、三角形面积的求法，解题关键是能够明确AC 为△ADB 的中位线从而得出答案．
14．【分析】
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，
移项合并得：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤
解析：2-
【分析】
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x 的值．
【详解】
解：根据题中的新定义得：21636x x --=，
移项合并得：1836x -=，
解得：2x =-，
故答案是：2-．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
15．(2,2)或(4,-4)．
【分析】
点P 到x 轴的距离表示为，点P 到y 轴的距离表示为，根据题意得到=，然后去绝对值求出x 的值，再写出点P 的坐标．
【详解】
解：∵点P 到两坐标轴的距离相等
∴=
∴
解析：(2,2)或(4,-4)．
【分析】
点P 到x 轴的距离表示为31a -，点P 到y 轴的距离表示为3a -，根据题意得到31a -=3a -，然后去绝对值求出x 的值，再写出点P 的坐标．
【详解】
解：∵点P 到两坐标轴的距离相等
a-=3a-
∴31
∴3a-1=3-a或3a-1=-(3-a)
解得a=1或a=-1
当a=1时，3-a=2，3a-1=2；
当a=-1时，3-a=4，3a-1=-4
∴点P的坐标为(2,2)或(4,-4)．
故答案为(2,2)或(4,-4)．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征求出线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面；①到x轴的距离与纵坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
16．2023
【分析】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2
解析：2023
【分析】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2021与点A2022的坐标，进而可求出点A2021与点A2022之间的距离．
【详解】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2022次跳动至点的坐标是（1012，1011），
第2021次跳动至点的坐标是（-1011，1011）．
∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，
∴点A2021与点A2022之间的距离=1012-（-1011）=2023，
故答案为：2023．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据实数的运算法则直接计算即可，
（2）利用立方根的含义求解再求解即可．
【详解】
（1）原式=
（2）解：
【点睛】
本题考查的是实数的运算，求一个数的立方根
解析：（1）102）4
x=-
【分析】
（1）根据实数的运算法则直接计算即可，
（2）利用立方根的含义求解1,
x-再求解x即可．
【详解】
（1）原式= 9(3)22
+-++
10
=
（2）解：15
x-=-
4
x=-
【点睛】
本题考查的是实数的运算，求一个数的立方根，掌握求解的方法是解题关键．18．(1)x=±；(2)x=．
【解析】
【分析】
(1)常数项移到右边，再将含x项的系数化为1，最后根据平方根的定义计算可得；
(2)将原式变形为x3=a(a为常数)的形式，再根据立方根的定义计算可
解析：(1)x=±8
5
；(2)x=
3
2
．
【解析】
【分析】
(1)常数项移到右边，再将含x项的系数化为1，最后根据平方根的定义计算可得；
(2)将原式变形为x3=a(a为常数)的形式，再根据立方根的定义计算可得．
【详解】
解：(1)∵25x2-64=0，
∴25x2=64，
则x2=64 25
，
∴x=±8
5
；
(2)∵x3-3=3
8
，
∴x3=27
8
，
则x=3
2
．
故答案为：(1)x=
8
5
；(2)x=
3
2
.
【点睛】
本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是将原等式变形为x3=a或x2=a(a为常数)的形式及平方根、立方根的定义．
19．∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝
解析：∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B＝∠C（已知），
∴∠3＝∠B（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）直接在平面直角坐标系内描出各点即可；
（2）根据题意确定点的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可；（3）根据题意确定点的坐标，然后
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）直接在平面直角坐标系内描出各点即可；
（2）根据题意确定点E的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可；
（3）根据题意确定点F的坐标，然后在平面直角坐标系内描出各点即可．
【详解】
解：（1）如图，
（2）∵点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度，
E；
∴点()2,0
（3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度，
∴点()
F--．
3,3
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，正确把握点的坐标的性质是解题的关键．21．（1）5；-5（2）0
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】
（1）∵5＜＜6，
∴的整数部分是5，小数部分是-5，
故
解析：（1）529（2）0
【分析】
（129
（21015a、b的值，再代入求出即可．
【详解】
（1）∵56，
∴5，
故答案为：5；
（2）∵34，
∴a，
∵34，
∴b＝3，
∴a b+．
【点睛】
二十二、解答题
22．（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1）根据正方形的面积公式求出的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3
解析：（1）正方形工料的边长是 5 分米；
（2）这块正方形工料不合格，理由见解析.
【详解】
试题分析：（1的值即可；
（2）设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，得出方程3x•2x=18，求出
长方形的长和宽和5比较即可得出答案．
试题解析：（1）∵正方形的面积是 25 平方分米，
∴正方形工料的边长是 5 分米；
（2）设长方形的长宽分别为 3x 分米、2x 分米，
则3x•2x=18，
x2=3，
x1，x2=
5，，
即这块正方形工料不合格．
二十三、解答题
23．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-
∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
解析：（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．
【详解】
解：（1）①∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°，
∵∠BEG=36°，
∴∠HFG=18°．
故答案为：18°．
②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．
理由：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，
∴2∠BEG+∠HFG=90°．
（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．
理由：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠FEG，
∵FH⊥EF，
∴∠EFH=90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEF +∠EFG =180°，
∴2∠BEG +90°-∠HFG =180°，
∴2∠BEG -∠HFG =90°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（1）①90；②t 为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和
解析：（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，
∵PC ∥BD ，∠DBP ＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
PC BD∠PBD＝90°，
∵//,
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
//
AC DP，
∴∠=∠=︒，
90
DPA PAC
∠+∠=︒-︒+︒=︒，
1803090240
DPN DPA
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC ∥BD ，
∴∠DBP ＝∠BAC ＝90°，
∴点A 在MN 上，
∴三角板PAC 绕点P 逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当//AC BP 时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s ，27s ．
综上所述：当t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s 时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD 在MN 上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝30°﹣2t ，∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝180°﹣∠DPM ﹣∠CPA ﹣∠APN ＝90°﹣t ，
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD 在MN 下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，
∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝230,t -︒ ∠APN ＝3t ．
∴∠CPD ＝360CPA APN DPB BPN ︒-∠-∠-∠-∠
()360603301802t t =︒-︒--︒-︒-
=90t ︒-
21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2
CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
25．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB ∥CD ，∠FHP=60°，可以推出
解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点P 与点E 、F 在一直线上时，作出图形，由AB ∥CD ，∠FHP=60°，可以推出GEP EGP ∠=∠=60°，计算∠PFD 即可；
（2）根据点P 是动点，分三种情况讨论：①当点P 在AB 与CD 之间时；②当点P 在AB 上方时；③当点P 在CD 下方时，分别求出∠AEP 、∠EPF 、∠CFP 之间的关系即可．
【详解】
（1）当点P 与点E 、F 在一直线上时，作图如下，
∵AB ∥CD ，∠FHP=60°，GEP EGP ∠=∠，
∴GEP EGP ∠=∠=∠FHP=60°，
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；
（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ．
证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；
②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；
③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，
综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP 或∠AEP=∠EPF+∠CFP ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
26．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结
解析：（1）D A B C ∠=∠+∠+∠，理由详见解析；（2）A D B C ∠+∠=∠+∠，理由详见解析：（3）①1902
D A ∠=︒+∠；②360°；（4）124
E ∠=︒； =14
F ∠︒.
【分析】
（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；
（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；
②连结BE ，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；
（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）D A B C ∠=∠+∠+∠．理由如下：
如图1，BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，
BDC B BAD C CAD B BAC C ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，D A B C ∴∠=∠+∠+∠； （2）A D B C ∠+∠=∠+∠．理由如下：
在ADE ∆中，180AED A D ∠=︒-∠-∠，在BCE ∆中，180BEC B C ∠=︒-∠-∠，
AED BEC ∠=∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；
（3）①180A ABC ACB ∠=︒-∠-∠，180D DBC DCB ∠=︒-∠-∠，BD 、CD 分别平分ABC
∠和ACB ∠，∴1122ABC ACB DBC DCB ∠+∠=∠+∠，
1111180()180(180)902222D ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠． 故答案为：1902D A ∠=︒+∠．
②连结BE ．
∵C D CBE DEB ∠+∠=∠+∠，360A B C D E F A ABE F BEF ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒． 故答案为：360︒；
（4）由（1）知，BDC B C BAC ∠=∠+∠+∠，
26B ∠=︒，54C ∠=︒，80BDC BAC ∴∠=︒+∠，402CDF CAE ∴∠=︒+∠，4BAC CAE ∠=∠，2BDC CDF ∠=∠，1902
GDE CDF ∴∠=︒-∠，26180AGD B GDB CDF ∠=∠+∠=︒+︒-∠，3GAE CAE ∠=∠，
3336064(2)644012422
E GAE AGD GDE CAE CD
F ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠=︒+⨯︒=︒； 180180(206)2262264014F AGF GAF CDF CAE CDF CAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=-︒+∠-∠=-︒+︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．。