上海彭浦初级中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：
①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个
数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．平行四边形一边的长是12cm ，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A ．4cm 或6cm B ．6cm 或10cm C ．12cm 或12cm D ．12cm 或14cm 3．下列命题为假命题的是（ ）
A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．
C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．
D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
4．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．正方形 5．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．10091
2 B ．10101
2 C ．10111
2 D ．10211
2
6．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
7．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2 8．如图，在平行四边形ABCD 中，D
E 平分∠ADC ，AD ＝6，BE ＝2，则平行四边形ABCD 的
周长是（ ）
A ．60
B ．30
C ．20
D ．16
9．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3B
E =，则
EF 的长为（ ）
A ．23
B ．17
C ．25
D ．35
11．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．
A ．103
B ．53
C ．10
D ．20
12．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．75︒
C ．80︒
D ．85︒
二、填空题
13．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
14．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．
15．如图，点E 是长方形纸片DC 上的中点，将C ∠过E 点折起一个角，折痕为EF ，再将D ∠过点E 折起，折痕为GE ，且C ，D 均落在GF 上的一点H 处．若1649'∠=︒，则CEF ∠=_______．
16．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．
17．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当点B 在边ON 上移动时，点A 随之在边OM 上移动，2AB =，1BC =，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为______．
18．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若1DE =，则BF 的长为__________．
19．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．
20．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．
三、解答题
21．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．
（1）求线段AB 的长．
（2）若3BP =，求ABP △的面积．
22．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．
（1）求证：AM ∥CN ；
（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．
23．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题
问程情境：
已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．
深入探究：
（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方
形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''
DD OC 的值． 24．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．
25．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得到GFC ．
（1）求证：BE DG =
（2）若四边形ABFG 是菱形，且60B ︒∠=，求:AB BC 的值．
26．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，延长AE 到点N ，
使AE EN =，连接CN 、CE ．
（1）求证：CAN △为直角三角形．
（2）若45AN =6，求BE 的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，
AG AG AB AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，
∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，
设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2，
∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2
∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2
解得：x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5×6＝
18
5
，
∴④不正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
2．D
解析：D
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=1
2
AC，OB=
1
2
BD，然后利用三角形三边关系分析
求解即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=1
2AC，OB=
1
2
BD，
A、∵AC=4cm，BD=6cm，
∴OA=2cm，OB=3cm，
∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；
B、∵AC=6cm，BD=10cm，
∴OA=3cm，OB=5cm，
∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；
C、∵AC=12cm，BD=12cm，
∴OA=6cm，OB=6cm，
∴OA+OB=12cm=12cm，不能组成三角形，故不符合；
D、∵AC=12cm，BD=14cm，
∴OA=6cm，OB=7cm，
∴OA+OB=13cm＞12cm，能组成三角形，故符合；
故选D．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
3．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；
B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．
C、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；
D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．A
解析：A
【分析】
画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∵E ，F ，G ，H 是菱形各边的中点，
∴EF ∥BD ，FG ∥AC ，
∴EF ⊥FG ，
同理：FG ⊥HG ，GH ⊥EH ，HE ⊥EF ，
∴四边形EFGH 是矩形．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．
【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，
∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，
同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．
△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=
012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=
12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=
21142
=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1
21
2n -，
则△A2019A2020A2021中最短边的长度为120211
22
11
22
n--
==
1010
1
2
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
6．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质证得DFP PBE
S S
=，然后求解即可．
【详解】
解：作PM⊥AD于M，交BC于N，
∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，
∵
ADC ABC
S S
=
△△
，AMP AEP
S S
=，
PBE PBN
S S
=，
PFD PDM
S S
=，
PFC PCN
S S
=，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，
∵PM=AE=1，PF=NC=3，
∴13
13
22
DFP PBE
S S
==⨯⨯=
△△
，
∴S阴=33
+=3
22
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE
S S
=是解答本题的关键．7．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴(2
22
=+，
4x x
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
⊥，
∵D是AC边的中点，DE AC
∴DE=1
BC=4，
2
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，
∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，
∵DA=DF ，DG=DG ，
∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，
∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12
（∠ADF+∠CDF ） =45°，
∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，
∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC ，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
10．C
解析：C
【分析】
如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，
四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，
求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，
矩形ABCD ，53AF BE ==，，
//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，
,AFE CEF ∴∠=∠
由对折可知：,AEF CEF ∠=∠
,AFE AEF ∴∠=∠
5AE AF ∴==，
4AB ∴=
=，
四边形ABEM 为矩形，
43ME AB AM BE ∴====，，
2MF ∴=，
22+2 5.EF ME MF ∴=
故选：.C
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
由矩形的性质和已知条件求出3，BC=10，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO=CO=DO=BO ，AD=BC ，∠ABC=90°，AB ∥CD ，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴3，
∵△ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC ，△AOB 的周长=AB ＋AO ＋BO ，
又∵ABC 的周长比△AOB 的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB ＋AO ＋BO ）=BC=10，
∴3103
故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC 的长是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得
''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据
180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．
【详解】
由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，
由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，
又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，
∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，
∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，
又∵''30A EB ∠=︒，
∴75NEM ∠=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
二、填空题
13．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
14．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得
到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析：5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
F ，
G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142
GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132
GH CE =
=， ∵∠FGH =90°，
∴由勾股定理得，
5FH ===，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．【分析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1∠HEF=∠CEF 从而可求出∠DEH ∠CEF 的度数【详解】解：
∵∠GEH=∠1∴∠GEH=∴∠DEH=+=∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=故答案为：【 解析：2551'︒
【分析】
根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF ，从而可求出∠DEH ，∠CEF 的度数．
【详解】
解：∵1649'∠=︒，∠GEH=∠1，
∴∠GEH=649'︒，
∴∠DEH =649'︒+649'︒=12818'︒，
∴∠HEF=∠CEF=12
×(180°-12818'︒)=2551'︒， 故答案为：2551'︒．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键． 16．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF 【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB=
解析：3
【分析】
过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．
【详解】
解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，
∵150ABC ∠=︒，
∴∠ABM=30°，
∴AM=12AB=12
×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，
∴AM ∥EF ，
∵//AE BC ，
∴四边形AMFE 是平行四边形，
∵AM ⊥CB ，
∴四边形AMFE 是矩形，
∴EF=AM=3，
故答案为：3．
．
【点睛】 本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．
17．【分析】取AB 的中点E 则OE=1DE=利用三角形原理可确定最大值【详解】如图取AB 的中点E 连接OEDE ∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线AB=2∴OE=1在直角三角形DAE 中根据勾股定理得DE==
21
【分析】
取AB 的中点E ，则OE=1，2.
【详解】
如图，取AB 的中点E ，
连接OE ，DE ，
∵OE 是直角三角形ABO 斜边上的中线，AB=2，
∴OE=1，
在直角三角形DAE中，
根据勾股定理，得DE=22
+=2，
DA AE
∴当O，D，E三点共线时，DO最大，
且最大值为2+1，
故应该填21
+.
【点睛】
本题考查了线段的最值，构造斜边上的中线，灵活运用三角形原理是解题的关键. 18．【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=（2-x）2+12从而得到关于
解析：51
-
【分析】
连接FE，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x，则FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（5-2）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（2-x）2+12，从而得到关于x方程，求解x即可．
【详解】
解：连接EF，如图，
∵E是CD的中点，且CE=1
∴CD=2，DE=1
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2
∴2222
+=+
AD DE
215
设BF=x，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x，
∴
2，
在Rt △GFE 中，222222)EF FG GE x =+=+
在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1
∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+
∴22222)(2)1x x +=-+
解得：1x ，即1,
1
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
19．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是
解析：4
【分析】
根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．
【详解】
在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，
30,2ACB AB ︒∠==，
2224AC AB ∴==⨯=，
∵四边形ABCD 是矩形，
4BD AC ∴==．
故答案为：4．
【点睛】
此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 20．【分析】如详解图：作垂足为F 的延长线垂足为G 可证可得四边形AFOG 为正方形BF=CGAF=AG=进而可求得答案【详解】如图所示：作垂足为F 的延长线垂足为G 则四边形AFOG 为矩形四边形BCDE 是正方形
解析：3
【分析】
如详解图：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，可证
OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形，BF=CG ，AF=AG=
【详解】
如图所示：
作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，
则四边形AFOG 为矩形，
四边形BCDE 是正方形，
∴OB=OC ，90BOC ∠=°，
9090COG COF BOF COF BOF COG
∠+∠=︒
∠+∠=︒∴∠=∠
,,
OFB OGC OB OC OFB OGC
OF OG
∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形
6
32
3
323
3233223
AO AF AG AC CG AG AC BF CG
AB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+= 故答案为：623．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质，关键是构造全等三角形证明． 三、解答题
21．（1）5；（2）6
【分析】
（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；
（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．
【详解】
解：（1）∵AP 平分∠DAB ，
∴∠DAP=∠PAB ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB ∥CD ，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP 是等腰三角形，
∴AD=DP=2.5，
同理：PC=CB=2.5，
即AB=DC=DP+PC=5；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，
∴∠PAB+∠PBA=12
（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；
在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，
∴
，
∴△APB 的面积=4×3÷2=6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．
（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD 且AB CD =．
∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点， ∴12CM CD =，1AN AB 2
=
． ∴CM AN =．
又∵AB ∥CD ，
∴四边形ANCM 是平行四边形
∴AM ∥CN ．
（2）设BH 与CN 交于点E ，
∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，
∴BH ⊥CN ，
∵N 是AB 的中点，
∴EN 是△BAH 的中位线，
∴BE=EH ，
∴CN 是BH 的垂直平分线，
∴CH=CB ，
∴△BCH 是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
2'='DD OC
． 【分析】
(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．
（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′O C=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．
（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.
【详解】
解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．
点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，
''∴=OB OC ，OB OC =．
∴四边形''BB CC 是平行四边形．
又
BC B C ''=，
∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，
BC CD ∴=，90C ∠=︒．
180180904522
-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB
454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．
四边形A B C D ''''是正方形，
90'∴∠=︒OB M
∴四边形OB MC '是矩形
OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，
∴OC=OB′
∴矩形OB MC '是正方形，
（3）2'='DD OC
． 如图，过D 作DN ⊥B′C′
可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，
∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，
在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，
∵OD=OD ，DN=DC ，
∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)
设OC=a ，则OB=2OC=2a ，
∴ON=OC=OC′=a
∴BC=OB+OC=3a ，
DD′=NC′=ON+OC′=2a ，
∴2DD a OC a
'='=2． 【点睛】
本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．
24．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒
【分析】
（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12
GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；
（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12
GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；
（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-
∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．
【详解】
证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，
//EG AB ∴，且12
GE AB =， 同理可证：//HF AB ，且12HF AB =
， //EG HF ∴，且EG HF =，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）GH EF ⊥，
理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，
12
GF CD ∴=， 由（1）知12
GE AB =， 又AB CD =，
GE GF ∴=， 又四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
GH EF ∴⊥；
（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，
//EG AB ∴，//HF AB ，12
GE AB =， //EG HF ∴，
同理可证//EH GF ，12
GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，
∵AB CD =，
GE GF ∴=，
∴四边形EGFH 是菱形，
20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，
∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，
∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE 平分∠GEH ，
∴∠GEF=11502522
GEH ∠=⨯︒=︒． 故答案为：25︒．
【点睛】 本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．
25．（1）见详解；（2）AB ：BC=2：3．
【分析】
（1）根据平移的性质，可得：AE=CG ，再证明Rt △ABE ≌Rt △CDG 即可得到BE=DG ；
（2）根据四边形ABFG 是菱形，得出AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 的AB 与BC 满足的数量关系即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ．
∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．
∴CG ⊥AD ．
∴∠AEB=∠CGD=90°．
∵AE=CG ，AB=CD ，
∴Rt △ABE ≌Rt △CDG （HL ）．
∴BE=DG ；
（2）∵四边形ABFG 是菱形
∴AB ∥GF ，AG ∥BF ，
∵Rt △ABE 中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=12
AB ．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半） ∵四边形ABFG 是菱形，
∴AB=BF ．
∴BE=CF ，
∴EF=12
AB ，
∴BC=32
AB ， ∴AB ：BC=2：3．
【点睛】
本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等和平行四边形的性质以及菱形的性质．
26．（1）见解析；（2
）BE =．
【分析】
（1）由四边形ABCD 是正方形，易证得△ABE ≌△CBE ，继而证得AE=CE ，再由AE=CE ，AE=EN ，即可证得∠ACN=90°，则可判定△CAN 为直角三角形；
（2）由
6，易求得CN 的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE 的长，继而求得答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB ，
在△ABE 和△CBE 中，
AB CB ABE CBE BE BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE=CE ；
∵AE=CE ，AE=EN ，
∴∠EAC=∠ECA ，CE=EN ，
∴∠ECN=∠N ，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴∠ACE+∠ECN=90°，
即∠ACN=90°，
∴△CAN 为直角三角形；
（2）∵正方形的边长为6，
∴AC BD ==
∵90,ACN AN ∠=︒=
∴CN ==
∵,OA OC AE EN ==，
∴12OE CN =
=
∵12
OB BD == ∴
BE OB OE =+=
【点睛】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．。