冀教新版八年级上册《第12章 分式和分式方程》单元测试卷

冀教新版八年级上册《第12章 分式和分式方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知下列四个代数式：①
x−13
；②2x +1
x ；③2x+32π
；④5
x+y ，其中分式有( )
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ①④
2. 若分式
x 2−4x+2
的值为0，则x 应满足的条件是( )
A. x =−2
B. x =2
C. x ≠−2
D. x =±2
3. 在分式1
2a 、
3a+13a
、x 2+y 2
x 2−y 2、
a 2−
b 2a−b
、(a+b)2a+b
中，最简分式的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. 下列各式中所有字母都不为零，这些等式不．
成立的是 A. a b =ac
bc B. x−y x+y =y−x
x−y C. x+y
x 2+xy =1
x
D. 0.3a+b
0.2a+0.5b =
3a+10b 2a+5b
5. 在同一段路上，某人上坡速度为a ，下坡速度为b ，则该人来回一趟的平均速度是( )
A. a
B. b
C.
a+b 2
D. 2ab
a+b
6. 已知1
m +1
n =−1
m+n ，则n
m +m
n 的值是( )
A. −1
B. −3
C. 0
D. 2
7. 如果a +b =2，那么代数式(1+2b
a−b )⋅a−b
a 2+2ab+
b 2的值是( )
A. 1
2
B. 1
C. √2
D. 2
8. 用换元法解方程
3x
x 2−1
+x 2−1x
=5
2时，如果设x
x 2−1=y ，则原方程可化为( )
A. y +1y =5
2 B. 2y 2−5y +2=0 C. 6y 2+5y +2=0
D. 3y +1
y =5
2
9. 已知关于x 的分式方程x
x−3−4=k
3−x 的解为非正数，则k 的取值范围是( )
A. k ≤−12
B. k ≥−12
C. k >−12
D. k <−12
10.某施工队要铺设一条长为1500米的管道，为了减少施工对交通造成的影响，施工队实际的工作
效率比原计划提高了20%，结果比原计划提前2天完成任务．若设施工队原计划每天铺设管道x 米，则根据题意所列方程正确的是()
A. 1500
(1−20%)x −1500
x
=2 B. 1500
x
=2+1500
(1−20%)x
C. 1500
(1+20%)x −1500
x
=2 D. 1500
x
=2+1500
(1+20%)x
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11.若分式2
x−4
有意义，则x的取值范围是______．
12.化简x2−2x
x2−4x+4
的结果是______．
13.分式3
2a b 与−2x
ab c
的最简公分母是________．
14.某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5
天后，乙工程队在单独施工45天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为．
15.若关于x的分式方程3x+2m
x+2
=2有增根，则m的值为______．
16.关于x的分式方程2x
x−4=m
x−4
无解，则m的值为______．
17.若1
x −1
y
=3，则分式3x+xy−3y
2x+5xy−2y
=______．
18.已知y1=√3，y2=1
1−y1，y3=11−y
2
，y4=11−y
3
…，y n=1
1−y n−1
按此规律则y2018=______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.解分式方程：
①40
x−3=64
x
；
②2x
x−1+2=−2
1−x
．
四、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
20.化简：(2
a+1+a+2
a2−1
)÷a
a−1
．
21.解分式方程：x
x−2−1=4
x2−4x+4
．
22.先化简，再求值：(x2+4
x −4)÷x2−4
x−2x
−x−x2
x−1
，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的x值，
代入求值．
23.港珠澳大桥由香港人工岛向西横跨伶仃洋，经过澳门，至珠海洪湾，总长55千米.一辆客车和一
辆轿车同时从香港人工岛出发沿港珠澳大桥行驶到达珠海洪湾，若轿车的行驶时间是客车行驶
时间的10
11
，轿车平均每小时比客车多行驶8千米，求这辆轿车从香港人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间．
24.某中学在商店购进A、B两种品牌的书包，已知购买一个A品牌书包比购买一个B品牌书包多
花30元，且用300元购买A品牌书包的数量比用320元购买B品牌书包的数量多2个．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的书包各需多少元？
(2)该学校决定用不超过2900元购进A品牌、B品牌的书包共40个，则至少购进A品牌书包多
少个？
25.阅读并解决下列问题：
已知：1
x(x+1)=(1
x
−1
x+1
)×1；
1
x(x+2)=(1
x
−1
x+2
)×1
2
；
1
x(x+3)=(1
x
−1
x+3
)×1
3
；
…
1
x(x+10)=(1
x
−1
x+10
)×1
10
．
(1)请你用发现的规律填空：
①1
x(x+n)
=；
②1
(x+m)(x+n)
=(m>n)．
(2)由|ab−2|+(b−1)2=0,试求1
ab +1
(a+1)(b+1)
+1
(a+2)(b+2)
+⋯+1
(a+2018)(b+2018)
的值．
26.将分式a
b 的分子、分母互换位置后得到分式b
a
.若a>0，b>0，且这两个分式的和比分子、分母
的积小2，则分子、分母的和等于它们的积．试证明上面的结论．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，注意π不是字母，是常数，本题属于基础题型．根据分式的定义即可求出答案．
解析：
解：x−1
3,2x+3
2π
分母中不含有字母，故为整式，而不是分式，
2x+1
x ,5
x+y
分母中含有字母，是分式，
故选C．
2.答案：B
解析：
此题主要考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式值为0的条件可得x2−4=0且x+2≠0，再解出x的值即可．
解：由题意得：x2−4=0且x+2≠0，
解得：x=2．
故选：B．
3.答案：B
解析：
本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的判定方法是解本题的关键．
利用最简分式的定义：分式的分子分母中没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
解：1
2a 是最简分式、3a+1
3a
是最简分式、x
2+y2
x2−y2
是最简分式、a2−b2
a−b
=a+b不是最简分式、(a+b)2
a+b
=a+b
不是最简分式；
则最简分式的个数为3．故选B．
解析：
本题主要考查了分式的基本性质，直接根据分式的基本性质判断各选项．
A.a
b =ac
bc
，故A选项不符合题意；
B.x−y
x+y =y−x
−x−y
，故B选项符合题意
C.x+y
x2+xy =x+y
x(x+y)
=1
x
，故C选项不符合题意；
D.0.3a+b
0.2a+0.5b =3a+10b
2a+5b
，故D选项不符合题意；
故选B．
5.答案：D
解析：
直接表示出上下坡所用时间，进而利用总路程÷总时间=平均速度，进而得出答案．此题主要考查了列代数式，正确表示出总的时间是解题关键．
解：设总路程为x，由题意可得：2x x
a +x
b
=21
a
+1
b
=2
a+b
ab
=2ab
a+b．
故选D．
6.答案：B
解析：
本题考查分式的化简与求值，属于中档题．
将已知条件变形整理，得到m2+n2=−3mn,再计算所求，即可得到答案．
解：由1
m +1
n
=−1
m+n
得
m+n mn =−1
m+n
，
所以m2+2mn+n2=−mn，即m2+n2=−3mn，
所以n
m +m
n
=m2+n2
mn
=−3mn
mn
=−3．
故选B．
解析：
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a+b=2代入化简后的式子即可解答本题．
解：(1+2b
a−b )⋅a−b
a2+2ab+b2
=
a−b+2b
a−b
⋅
a−b
(a+b)2
=
a+b
(a+b)2
=1
a+b
，
当a+b=2时，原式=1
2
，故选：A．
8.答案：D
解析：解：设x
x2−1
=y，
则原方程变形为：3y+1
y
=5
2
，
故选：D．
把x
x2−1
用y替换，整理即可．
本题考查的是换元法解分式方程，掌握换元法解分式方程的一般步骤是解题的关键．9.答案：A
解析：解：方程x
x−3−4=k
3−x
两边同时乘以(x−3)得：
x−4(x−3)=−k，∴x−4x+12=−k，∴−3x=−k−12，∴x=k
3
+4，
∵解为非正数， ∴k
3+4≤0，
∴k ≤−12． 故选：A ．
表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．
本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
10.答案：D
解析：解：设施工队原计划每天铺设管道x 米，实际的工作效率为每天(1+20%)x 米， 由题意得，
1500x
=2+
1500(1+20%)x
．
故选：D ．
设施工队原计划每天铺设管道x 米，实际的工作效率为每天(1+20%)x 米，根据题意可知，实际比计划提前2天完成任务，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
11.答案：x ≠4
解析：解：∵分式2
x−4有意义， ∴x ≠4．
故答案为：x ≠4．
分式有意义的条件是分母不等于零
本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12.答案：x
x−2
解析：解：原式=x(x−2)
(x−2)2 =x
x−2，
故答案为x
x−2
．
先将分式的分子、分母各自分解因式，再约分，即可求解．
本题考查了分式的约分，涉及到分解因式，分式的约分，先分解因式，再约分，是基础知识比较简单．
13.答案：2a2b2c
解析：
本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义求解．
解：分式3
2a2b 与−2x
ab2c
的最简公分母是2a2b2c，
故答案为2a2b2c．
14.答案：+=1
解析：
本题主要考查分式方程的应用.解题的关键是找到等量关系并列出方程.利用“甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成”这一等量关系列出方程即可．
解：∵甲、乙两工程队合作施工20天可完成；
∴合作的工作效率为：
设乙工程队单独完成此工程需要x天，则可列方程+=1，
故答案为+=1．
15.答案：3
解析：
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解：方程两边都乘(x+2)，得：
3x+2m=2x+4．
∵原方程有增根，
∴x+2=0，
∴原方程的增根为x=−2，
∴把x=−2代入整式方程，
得：−6+2m=−4+4，
解得：m=3，
故答案为3．
16.答案：8
解析：
本题考查了分式方程的解.先将分式方程去分母转化为整式方程，用m表示出x，由分式方程无解得到x−4=0，求出x的值，代入求出m的值即可．
解：分式方程去分母得：2x=m，
，
即x=m
2
由分式方程无解得到x−4=0，即x=4，
，
代入得：4=m
2
解得：m=8．
故答案为8．
17.答案：8
解析：解：∵1x−1y=3，
∴y−x=3xy，
∴原式=3(x−y)+xy
2(x−y)+5xy
=−9xy+xy −6xy+5xy
=8
故答案为：8
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．18.答案：−1+√3
2
解析：解：∵y1=√3，
∴y2=1
1−y1=
1−√3
=−1+√3
2
，
y3=1
1−y2=
1−(−1+√3
2
)
=3−√3
3
，
y4=1
1−y3=
1−3−√3
3
=√3，
…，
∵2018÷3=672…2，
∴y2018=−1+√3
2
，
故答案为：−1+√3
2
．
根据题目中的式子，可以写出前几项，从而可以发现数字的变化规律，即可求得y2018的值．
本题考查分式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．19.答案：解：(1)方程两边都乘以x(x−3)得，
40x=64(x−3)，
64x−40x=192，
x=8，
检验：当x=8时，x(x−3)≠0，
∴x=8是原方程的解；
(2)方程两边都乘以(x−1)得，
2x+2(x−1)=2，
4x=4，
x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
解析：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
(1)方程两边都乘以x(x−3)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)方程两边都乘以(x−1)，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
20.答案：解：(2
a+1+a+2
a2−1
)÷a
a−1
=2(a−1)+a+2 (a+1)(a−1)⋅a−1
a
=2a−2+a+2
a(a+1)
=3a
a(a+1)
=3
a+1
．
解析：根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
21.答案：解：x
x−2−1=4
x2−4x+4
，
方程两边乘(x−2)2得：x(x−2)−(x−2)2=4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，(x−2)2≠0．
所以原方程的解为x=4．
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22.答案：解：(x 2+4x −4)÷x 2−4
x 2−2x −x−x 2x−1
=x 2+4−4x x ×x(x −2)(x +2)(x −2)−x(1−x)x −1
=(x −2)2x ×x x +2
+x =x 2−4x +4x +2
+x =x 2−4x +4+x 2+2x x +2
=2x 2−2x+4x+2，
∵当x =0，x =1和x =2时原分式无意义，
∴当x =3时，原式=2×32−2×3+43+2=165．
解析：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意x 不能等于0，1，2．
先化简题目中的式子，然后在0，1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
23.答案：解：设客车的速度为x 千米/时，则轿车的速度为(x +8)千米/时．
由题意，得55x+8=
55x ×1011， 解得x =80．
经检验，x =80是所列方程的根．
所以5580+8=58(小时)．
故这辆轿车从香港人工岛出发到珠海洪湾需要58小时．
解析：本题考查的是分式方程的应用，设客车的速度为x 千米/时，则轿车的速度为(x +8)千
米/时.由轿车行驶的时间=客车行驶的时间× 1011，可得方程 55x+8 = 55x × 1011，求出x 的值，代入55x+8，即
可得到答案．
24.答案：解：(1)设购买一个A 品牌的书包需x 元，则一个B 品牌的书包需(x +30)元，
根据题意，得：300x =320x+30+2， 解得，x =50或−90，
经检验，x =50或−90都是原方程的解，但是x =−90不符合题意，舍去．
50+30=80．
答：购买一个A 品牌的书包需50元，一个B 品牌的书包需80元；
(2)设购进A 品牌书包的数量为a 个，则购进B 品牌书包的数量为(40−a)个，
根据题意列不等式组得：50a +80(40−a)≤2900，
解得a ≥10，
故至少购进A 品牌书包10个．
解析：(1)设购买一个A 品牌的书包需x 元，则一个B 品牌的书包需(x +30)元，根据用300元购买A 品牌书包的数量比用320元购买B 品牌书包的数量多2个列出方程解答即可；
(2)设购进A 品牌书包的数量为a 个，则购进B 品牌书包的数量为(40−a)个，根据购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题即可．
此题考查一元一次不等式与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
25.答案：解：(1)①1n (1x −1x+n )；
②1m−n (1x+n −1x+m )；
(2)由已知得{ab −2=0,b −1=0,
解得{a =2,b =1.
∴原式=12+12×3+13×4+⋯+12019×2020
=12+12−13+13−14+⋅⋅⋅+12019−12020
=1−
12020
=20192020．
解析：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
(1)①，②根据题中所给出的式子，推导出规律，即可解题；
解：①1
x(x+n)=1
n
(1
x
−1
x+n
)；
②1
(x+m)(x+n)=1
m−n
(1
x+n
−1
x+m
)．
故答案为①1
n (1
x
−1
x+n
)；
②1
m−n (1
x+n
−1
x+m
)；
(2)先由非负性的知识得出a，b的值，再用(1)中所得规律化简式子，即可解答．
26.答案：证明：∵a
b +b
a
+2=ab，
∴a2+b2+2ab
ab
=ab．
∴a2+b2+2ab=(ab)2,(a+b)2=(ab)2．
∵a>0，b>0，a2+b2+2ab=(ab)2,(a+b)2=(ab)2
∴a+b>0，ab>0．
∴a+b=ab．
解析：本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握有关运算法则进行计算即可．。