(人教版)成都市九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）
A ．53m
B ．52m
C ．()5352m -
D ．()535m - 3．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125
i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）
A ．12.9
B ．22.2
C ．24.9
D ．63.1
4．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（ ）
A ．3
B ．8
C ．3
D ．365．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，
连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )
A ．23-
B ．23+
C ．36
D ．
32 6．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A ．tan a b α+
B ．sin a b α+
C ．tan b a α+
D ．sin b a α+ 7．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC 与DF 共线，将△DEF 沿CB 方向平移，当EF 经过AC 的中点O 时，直线EF 交AB 于点G ，若BC=3，则此时OG 的长度为（ ）
A 322
B 332
C ．32
D 33322
8．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）
A．3
5
B．
5
9
C．
5
12
D．
4
5
10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，BC=7,对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交B C，AD于点E，F,下列说法：①在旋转过程
中，AF=CE. ②OB=AC，③在旋转过程中，四边形ABEF的面积为21
2
，④当直线AC绕点
O顺时针旋转30°时，连接BF,DE则四边形BEDF是菱形，其中正确的是（）
A．①②④B．① ②C．①②③④D．② ③ ④11．如图，在扇形OAB中，120
AOB
∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B 重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33
CD=，则扇形AOB的面积为（）
A．12πB．2πC．4πD．24π12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）
A
．
5
13
B．
12
13
C．
5
12
D．
12
5
二、填空题
13
．已知ABC与ABD
△不全等，且3
AC AD
==，30
ABD ABC
∠
=∠=︒，60
ACB
∠=︒，则CD=________．
14．计算：22
303060
sin cos tan
︒︒︒
+-=__________．
15．已知ABC中，
1
6,
3
AB AC cosB
===，则边BC的长度为____________．16．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=23，则AB=_____．
17．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，
14
tan,
23
BO
ACB
OD
∠==，则ABD
CBD
S
S=___．
18．如图所示，AOB
∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB
∠的值是________．
19．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，则点C到AB 边的距离是______cm．
20．如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+1
2
PD的
最小值等于__________.
三、解答题
21．如图，AB为O的直径，,C D为O上两点，且C为弧BD的中点，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AC
（1）求证：EF是O的切线；
（2）当
3
2,sin
5
BF F
==时，求AE的长．
22．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为6010米，且这段斜坡的坡度i=1:3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果保留根号）
23．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36
a=︒，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：360.60
︒≈
sin，360.80
cos≈，360.75
tan≈）
24．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
探测最大角：∠OBC=73.14°
探测最小角：∠OAC=30.97°
安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上
学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，
sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）
25．计算：
1
1
126tan60|243
3
-
⎛⎫
+︒+-
⎪
⎝⎭
．
26．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的
高度为10m ，根据测得的数据，计算钟楼AB 的高度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43
）
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02
A -
=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】 解：2
1cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊
角的三角函数值是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，
∴BD=BC=5，
设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，
在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD ， 则535x +=， 解得：535x =-，
即AC 的长度是()535m -；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．C
解析：C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【详解】
解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，
在Rt △BCF 中，
由斜坡BC 的坡度i=
125，得，BF FC =125
， 又BC=65，
设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，
在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C ．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM
是等边三角形，进而得到∆BCM ≅
∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；
【详解】
∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，
∵∠ADC=60°，CM=CD ，
∴△CDM 是等边三角形，
∴60MCD ∠=︒，
∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，
即：∠BCM=∠ACD ，
∴∆BCM ≅∆ACD ，
∴∠BMC=∠ADC=60°，
∴∠BMC=∠MCD ，
∴BM ∥CD ，
根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，
过点M 作MH CD ⊥，
∵CD=4，
∴2==CH HD ， ∴tan 602
MH MH DH ︒==， ∴
MH =，
∴△△142BDC CDM S S ==
⨯⨯= 故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 5．A
解析：A
【分析】
设BC=x ，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，可得，AB=2x ，，由
AD AB ==2x ，可得，由AD AB =，可知，∠D=∠ABD=12
∠BAC=15°，在Rt BDC ∆ 中，根据锐角正切三角函数的定义，即可求解.
【详解】
∵AD AB =，
∴∠D=∠ABD ，
∵∠BAC=∠D+∠ABD ，
∴∠D=
12
∠BAC=15°， 设BC=x ， ∵在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，
∴AB=2x ，
=，
∴
=(2x +，
在Rt BDC ∆中，tan 2
BC D DC ∠===- ， ∴
°tan15=2 A.
【点睛】
本题主要考查锐角正切三角函数的定义，根据图形，设BC=x ，用含x 的代数式表示相关线段的长，是解题的关键.
6．A
解析：A
【分析】
延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB
的长．
【详解】
延长CE 交AB 于F ，如图，
根据题意得，四边形CDBF 为矩形，
∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，
在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，
tan ∠ACF=AF CF
∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,
AB=AF+BF=tan a b α+，
故选：A ．
【点睛】
主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
7．A
解析：A
【分析】
分别过O 作OH ⊥BC ，过G 作GI ⊥OH ，由O 是中点，根据平行线等分线段定理，可得H
为BC 的中点，则可得BH=
32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32
，在等腰直角三角形OGI 中，即可求解．
【详解】
解：过O 作OH ⊥BC 于H ，过G 作GI ⊥OH 于I ∵∠ABC=90°，
∴AB ⊥BC ，
∴OH ∥AB ，
又O 为中点，
∴H 为BC 的中点，
∴BH=12BC=32
∵GI ⊥OH ，
∴四边形BHIG 为矩形，
∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴在Rt △OGI 中，32cos 2
GI OG OGI ==∠．
故选：A
【点睛】
本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 8．B
解析：B
【分析】
分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【详解】
设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，
当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，
∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，
AA x '=，
∴tan ∠CAB =A M BC AA AB
=''，
∴A 'M =12x ， 其面积y=12AA A M ''=12x •12x =14
x 2， 故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ； 当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，
AA x '=，2AF x '=-，
同理：A 'M =12x ，()122
F M x ='-， 其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12
（x ﹣2）=x ﹣1， 故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．
当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，
AF '=x ﹣2，F 'N =
12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2， 其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14
x 2+x +3， 故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；
综上，只有B 符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．
∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，
∴△BDM ≌△CDF （SAS ），
∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，
∵CE ∥BM ，
∴∠AFE=∠M ，
∵EA=EF ，
∴∠EAF=∠EFA ，
∴∠BAM=∠M ，
∴AB=BM=9，
∵AE=4，
∴BE=5，
∵∠EBC=90°，
∴2222135EC BE -=-，
∴2222912AB BC ++，
∴cos ∠ACB=
124155
BC AC == ， 故选：D ．
【点睛】
此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．A
解析：A
【分析】
①通过证明AOF COE ≅△△即可判断；
②分别利用勾股定理求出OB,AC 的长度即可得出答案；
③先利用ABC 的面积求出AG 的长度，然后利用梯形的面积公式求解即可； ④易证四边形BEDF 是平行四边形，然后通过角度得出90DOF ∠=︒，然后证明DOF DOE ≅，则有DF DE =，则可证明结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
,//,AO CO AD BC AD BC ∴== ，
AFO CEO ∴∠=∠ ．
在AOF 和COE 中，AFO CEO AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()AOF COE AAS ∴≅
,AF CE OF OE ∴==，故①正确；
∵AB ⊥AC ，
90BAC ∴∠=︒ ．
∵AB =3，BC
=7，
222AC BC AB ∴=-= ，
112
AO AC ∴== ， 222OB AO AB ∴=+=，
OB AC ∴=，故②正确；
过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，
1122
ABC S AB AC BC AG =⋅=⋅ ， 322177
AB AC AG BC ⋅∴===， 11221()7322ABEF S AF BE AG ∴=
+⋅==四边形，故③错误； 连接DE,BF ，
,AF CE AD BC ==，
DF BE ∴= ．
∵//DF BE ，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
3sin AB AOB OB ∠== ， 60AOB ∴∠=︒ ．
30AOF ∠=︒，
180603090DOF ∴∠=︒-︒-︒=︒，
90DOE ∴∠=︒．
在DOF △和DOE △中，FO OE DOF DOE DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()DOF DOE SAS ∴≅，
DF DE ∴=，
∴四边形BEDF 是菱形，故④正确；
所以正确的有：①②④，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH ⊥AB 于H ．
∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．
∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB ＝2CD ＝63
∵OH ⊥AB ，
∴BH ＝AH ＝33
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，
∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，
在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO
， ∴AO ＝336sin 3
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360
ππ=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．B
解析：B
【分析】
先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义即可求解.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，BC 22AB AC -12，
∴sin A ＝
1213
BC AB =， 故选：B ．
【点睛】 此题考查勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题关键在于计算出BC 的长度.
二、填空题
13．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满
足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC 解析：3或3
【分析】
如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．
【详解】
解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，
∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，
∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形， 当D′是PB 中点时，AD′=
123ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，
∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，
当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，
∴3，
∴满足条件的CD 的长为33
故答案为：33
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题． 14．【分析】先根据特殊角的三角函数值化简然后再计算即可【详解】解：===故答案为【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键
解析：13【分析】
先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【详解】
解：22303060sin cos tan ︒︒︒+- =2213322⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =13344
+- =13-．
故答案为13-．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
15．4【分析】过A 作AD ⊥BC 于点D 则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答【详解】解：如图过A 作AD ⊥BC 于点D 则由已知可得△ABC 为等腰三角形BD=DC=∴由cosB=得BC=2BD=
解析：4
【分析】
过A 作AD ⊥BC 于点D ，则根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可以得到解答 ．
【详解】
解：如图，过A 作AD ⊥BC 于点D ，则由已知可得△ABC 为等腰三角形，BD=DC=12
BC ，
∴由 cosB=
13得111,62333
BD BD AB AB ===⨯=，BC=2BD=4， 故答案为4 ．
【点睛】 本题考查等腰三角形和锐角三角函数的综合应用，灵活运用等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义是解题关键 ．
16．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD 进
而可得出∠ACE=∠DCE 由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出
∠DCE=∠DCB 结合∠ACB=90°可求出∠ACE ∠A 的度
解析：4
【解析】
分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，
∴CE 平分∠ACD ，
∴∠ACE=∠DCE ．
∵CD 平分∠BCE ，
∴∠DCE=∠DCB ．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=
13
∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴
AB=60BC sin =︒=4．
故答案为4．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．
17．【分析】过B 点作BE//AD 交AC 于点E 证明得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案【详解】解：过B 点作BE//AD 交AC 于点EBE ⊥AD ∴∴由∴设则故答案为： 解析：332
【分析】
过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，证明ADO EBO ∽△△，得到3,AO OE =再证明,ABE ACB ∠=∠利用1tan tan ,2
BE AE ACB ABE CE BE ∠=
=∠==设,OE a =利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】 解：过B 点作BE//AD 交AC 于点E ，90,DAC ∠=︒
∴ BE ⊥AD ，
ADO EBO ∴∽， ∴,AO DO EO BO =
43BO OD = ∴3,4AO DO EO BO == 3,
4AO OE ∴= 由1tan 2
ACB ∠=， 1,2
BE CE ∴= 2,CE BE ∴=
90,,ABC BE AC ∠=︒⊥
90,ABE CBE CBE ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠
,ABE ACB ∴∠=∠
1tan tan ,2
AE ACB ABE BE ∴∠=∠== 2,BE AE ∴=
24,CE BE AE ∴==
∴OAB OAD
ABD CBD OCB OCD S S S S S S ∆∆+=+
()()11221122
AO AD AO BE AO AD BE AO OC AD BE OC OC AD OC BE •+•+===+•+• 设,OE a = 则3,4
AO a = 7,4
AE AO OE a ∴=+= 7,CE a = 8.OC OE CE a =+= 334.832
ABD
CBD a S AO S OC a ∆∆===
故答案为：332
18．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB如图所示：
解析：
2 2
【分析】
由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
【详解】
连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴2
OA=23+1=10，22
BA=3+1=10，222
OB=4+2=20，
∴ABO是直角三角形，
∴BA102
sin AOB=
OB2
20
∠=，
故答案为：
2 2
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 19．【分析】根据△ABC的面积相等选择AC和BC为底高算出的△ABC的面积和选择AB为底C到AB边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt△ABC中设点C到AB边的距离为由△ABC的面积相
解析：60 13
【分析】
根据△ABC的面积相等，选择AC和BC为底、高算出的△ABC的面积和选择AB为底，C到AB边的距离为高算出的面积一样列出等式求解.
【详解】
解：在Rt△ABC中，设点C到AB边的距离为d，
由△ABC的面积相等可列出如下等式：
11=22
⨯⨯AC BC AB d ，代入数据： 即：11125=1322
⨯⨯⨯⨯d 解得：6013
=d 故点C 到AB 边的距离是
6013cm. 故答案为：
6013
. 【点睛】 本题结合直角三角形考查了三角形的面积公式，点到直线的距离垂线段最短等知识点，掌握好直角三角形的等面积法是解题的关键.
20．4【分析】过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E 由锐角三角函数可得EP ＝即PB+=PB+PE 则当点B 点P 点E 三点共线且BE ⊥AD 时PB+PE 有最小值即最小值为BE 【详解】解：如图过点P 作PE ⊥AD 交
解析：4
【分析】
过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，由锐角三角函数可得EP ＝
12PD ，即PB+12
PD =PB+PE ，则当点B,点P ,点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为BE ．
【详解】
解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，
∵AB ∥CD
∴∠EDP ＝∠DAB ＝30°，
∴sin ∠EDP ＝
12EP DP = ∴EP ＝
12PD ∴PB ＋12
PD ＝PB ＋PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB ＋PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠DAB ＝
12BE AB = ∴BE ＝12
AB =4 故答案为:4
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．24 5
【分析】
（1）连接OC，如图，由弧BC=弧CD得到∠BAC=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC．则
∠OCA=∠DAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥FE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设半径OB=OC=3x，则OF=5x=3x+2，列方程得到OC=3，OD=5，求得AF=8，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图，
∵点C为弧BD的中点，
∴弧BC=弧CD．
∴∠BAC=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥FE，
∴OC⊥FE．
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵
3
in
5
OC
s F
OF
==，
∴设OB=OC=3x ，OF=5x ，
∵OF=OB+BF ，BF=2
∴5x=3x+2，
∴x=1，
∴OC=3，OF=5，
∴AF=8， ∵3in 58AE AE s F AF =
==， ∴245
AE =． 【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
22．山顶A 到地面BC 的高度AC 是（603+60）米．
【分析】
作DH ⊥BC 于H ．设AE=x ．在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABC=
AC BC
，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：作DH ⊥BC 于H ．设AE=x 米．
∵DH ：BH=1：3，
在Rt △BDH 中，DH 2+（3DH ）210)2，
∴DH=60米，BH=180米，
在Rt △ADE 中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x 米，
又∵HC=ED ，EC=DH ，
∴HC=x 米，EC=60米，
在Rt △ABC 中，tan30°=
60180x x
++， ∴3
∴AC=AE+EC=（3+60）米．
答：山顶A 到地面BC 的高度AC 是（3）米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．200mm
【分析】
求ABCD 的周长就是求AB 和AD 的长，可分别过B 、D 作垂线垂直于l ，通过构造直角三角形根据α=36°和ABCD 的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽12mm 等条件来求出AB 、AD 的长．
【详解】
作BE ⊥m 于点E ，DF ⊥m 于点F ，
∵α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，
∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=36°，
根据题意，得 BE=24mm ，DF=48mm ，
在Rt △ABE 中，BE sin AB α=
， ∴2440sin 360.60
BE AB ===︒( mm)， 在Rt △ADF 中，DF cos ADF AD ∠=
， ∴4860cos360.80
DF AD ===︒( mm)， ∴矩形ABCD 的周长=2(40+60)=200( mm)．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
24．该设备的安装高度OC 约为2.9m ．
【分析】
根据题意可得OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，所以得AC=AB+BC=4+BC ，根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【详解】
根据题意可知：
OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，
∴AC=AB+BC=4+BC ，
∴在Rt △OBC 中，BC=tan OBC 3.3
OC OC ∠≈， 在Rt △OAC 中，OC=AC•tan ∠OAC≈(4+BC)×0.6，
∴OC=0.6⨯(4+
3.3
OC )， 解得OC≈2.9（m ）． 答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC 的方程是解题的关键． 25．1
【分析】
分别进行负整数指数幂运算、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值运算、合并同类项进行计算即可．
【详解】
解：116tan 60|23-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭
=32+
=1．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值，绝对值、合并同类项等知识，是中考必考计算题，必须熟练掌握．
26．钟楼AB 的高度约为56m
【分析】
作DF ⊥AB 于F ，根据矩形的性质得到FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【详解】
解：作DF ⊥AB 于F ，
设AB ＝xm ，
∵FB ⊥EB ，DE ⊥EB ，DF ⊥AB ，
∴四边形FBED 为矩形，
∴FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，
∴AF ＝10﹣x ，
在Rt △AFD 中，∠ADF ＝45°，
∴DF ＝AF ＝x ﹣10，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝53°，tan ∠ACB ＝AB BC
，
∴BC ＝3tan 4
AB x ACB ≈∠， 由题意得，BE ﹣BC ＝CE ，即x ﹣10﹣
34x ＝4， 解得，x ＝56，
答：钟楼AB 的高度约为56m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。