2019-2020学年人教A版安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年高三第一学期（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题
1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}
2．下列说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＜3x”是假命题
C．若命题p、￢q均为假命题，则命题￢p∧q为真命题
D．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件
3．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x（e为自然数对数的底数），若a＝0.7﹣0.5，b＝log0.50.7，c ＝log0.75，则（）
A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）
4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝22，S n＝330，S n﹣4＝176，则n＝（）A．14 B．15 C．16 D．17
5．函数y＝﹣2sin x的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量，向量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为（）
A．B．C．D．
7．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于点，且，则＝（）A．B．C．D．
8．关于函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）有下述四个结论：
①f（x）在（﹣1，3）单调递增②y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
③f（x）的图象关于点（1，0）对称④f（x）的值域为R．
其中结论正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B，
a cos B+
b cos A＝2，则△ABC面积的最大值为（）
A．B．C．D．
10．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若
，则＝（）
A．B．C．D．
11．已知函数在区间（1，2）上单调，则ω的取值范围是（）
A．B．
C．D．
12．已知f（x）＝（ax+lnx+1）（x+lnx+1）与g（x）＝x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为．
14．S n是等比数列{a n}的前n项和，，则S6＝．
15．函数f（x）＝4sin x﹣3cos x，且对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x）（α∈R），则cos2α＝
16．已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数．
（1）若f（x）的最小值是2，求a；
（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x），若时，求使g（x）≥0成立的x的取值集合．
18．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x+1．（1）求f（x），g（x），并证明：f（2x）＝[g（x）]2+2；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（2x）+ag（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值．
20．已知数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且
．
（1）判断数列{a2n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）若，求{b n}的前n项和S n．
21．已知钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若b＝a tan B，且2sin C＝2sin B cos A+．
（1）求角C；
（2）若点D满足，且AD＝，求△ABC的周长．
22．已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}
解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，
∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．
故选：D．
2．下列说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”
B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＜3x”是假命题
C．若命题p、￢q均为假命题，则命题￢p∧q为真命题
D．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件
解：A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，正确；
B．“∀x∈（0，+∞），2x＞0，3x＞0；∴＝（）x，当x＞0时0＜（）x＜1，∴
2x＜3x成立，B错误；
C．若“命题p、￢q均为假命题，则￢p，q均为真命题，则命题￢p∧q为真命题，C正确；
D．由若f（x）是定义在R上的函数，f（x）是奇函数，则f（0）＝0；反之，比如f（x）＝2x﹣1，f（0）＝0，但f（x）不是奇函数，
∴“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件，D正确．
故选：B．
3．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x（e为自然数对数的底数），若a＝0.7﹣0.5，b＝log0.50.7，c ＝log0.75，则（）
A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）
解：c＝log0.75＜log0.55＜log0.50.7＝b＜1
a＝0.7﹣0.5＞1，
故a＞b＞c，
而f（x）显然为减函数，
所以f（a）＜f（b）＜f（c），
故选：D．
4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝22，S n＝330，S n﹣4＝176，则n＝（）A．14 B．15 C．16 D．17
解：依题意，S4+（S n﹣S n﹣4）＝22+（330﹣176）＝4（a1+a n），
∴a1+a n＝44，
S n＝330＝，
解得n＝15，
故选：B．
5．函数y＝﹣2sin x的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
解：当x＝0时，y＝0﹣2sin0＝0
故函数图象过原点，
可排除A
又∵y'＝
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有C满足要求
故选：C．
6．已知向量，向量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为（）
A．B．C．D．
解：由题意，，，设与的夹角为θ，则
，
而，，∴．
故选：A．
7．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边
为单位圆O交于点，且，则＝（）A．B．C．D．
解：平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于点，
∴cosα＝，sinα＝y0，
∵，∴y0＝﹣，即 sinα＝﹣．
则＝cosαcos﹣sinαsin＝，
故选：C．
8．关于函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）有下述四个结论：
①f（x）在（﹣1，3）单调递增②y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
③f（x）的图象关于点（1，0）对称④f（x）的值域为R．
其中结论正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）的定义域为（﹣1，3）
函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）＝ln，（﹣1＜x＜3）．
令h（x）＝＝﹣1+．
当﹣1＜x＜3时，
h（x）单调递增，则f（x）在（﹣1，3）单调递增，故①正确；
2﹣x∈（﹣1，3），h（2﹣x）＝．
则f（2﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），则y＝f（x）的图象关于（1，0）对称，故②错，③对
h（x）的值域为（0，+∞），故f（x）的值域为R．故④对．
故选：D．
9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B，
a cos B+
b cos A＝2，则△ABC面积的最大值为（）
A．B．C．D．
解：∵sin A＝2sin B，∴a＝2b，
∵a cos B+b cos A＝2，
∴a•+b•＝2，
即+＝2，
∴c＝2，
∵sin A＝2sin B，
由正弦定理可得a＝2b，
∵，
∴，
由余弦定理可得，cos C＝＝，
∴△ABC面积S2＝＝b4[1﹣（）2]＝
结合二次函数的性质可知，当b2＝即b＝时，面积取得最大值．
故选：C．
10．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若
，则＝（）
A．B．C．D．
解：如图，
设，则，
∴，又，
∴，
∴，∴，
∵AD是∠BAC的平分线，且，
∴，∴，且∠BAC＝60°，
∴
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
11．已知函数在区间（1，2）上单调，则ω的取值范围是（）
A．B．
C．D．
解：函数＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣
），
在区间（1，2）上单调，则①，或②．
解①求得求得0＜ω≤，解②求得≤ω≤，
即ω的范围为（0，]∪[，]，
故选：C．
12．已知f（x）＝（ax+lnx+1）（x+lnx+1）与g（x）＝x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
解：方程f（x）＝g（x）即为（ax+lnx+1）（x+lnx+1）＝x2，则方程
至少有三个不相等的实根，
令得t2+（a+1）t+a﹣1＝0①，且，
∴函数t（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，故t（x）max＝t（1）＝1，且t →+∞时，t（x）→0，
∴方程①的两个根t1，t2的情况是：
（i）若t1，t2∈（0，1），t1≠t2，则f（x）与g（x）的图象有四个不同的公共点，则
，此时无解；
（ii）若t1∈（0，1）且t2＝1或t2＝0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，则a无解；
（iii）若t1∈（0，1）且t2＜0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，令h （t）＝t2+（a+1）t+a﹣1，则，解得．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1 ．解：由f（x）＝x2﹣cos x，得f′（x）＝2x+sin x，
∴f′（0）＝2×0+sin0＝0，
又f（x）＝﹣cos0＝﹣1．
∴曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1．
故答案为：y＝﹣1．
14．S n是等比数列{a n}的前n项和，，则S6＝．解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，，
∴，
解得，
∴S6＝＝．
故答案为：．
15．函数f（x）＝4sin x﹣3cos x，且对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x）（α∈R），则cos2α＝﹣
解：∵对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x），
∴函数关于x＝α对称，
即当x＝α时函数取得极值，即f′（α）＝0，
∵f（x）＝4sin x﹣3cos x，
∴f′（x）＝4cos x+3sin x，
由f′（α）＝4cosα+3sinα＝0，
得3sinα＝﹣4cosα，
平方得9sin2α＝16cos2α，
等式两边同时加9cos2α，
得9sin2α+9cos2α＝25cos2α＝9，
则cos2α＝，
则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣，
故答案为：﹣
16．已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝e4．
解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，
所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，
即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，
所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，
由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．
所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，
所以αβ＝e4．
故答案为：e4．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数．
（1）若f（x）的最小值是2，求a；
（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x），若时，求使g（x）≥0成立的x的取值集合．
解：（1）∵函数＝2sin2x cos+a+cos2x＝2sin（2x+）+a的最小值是2，
∴﹣2+a＝2，
∴a＝4，故f（x）＝2sin（2x+）+4．
（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x ﹣）+a的图象，
若时，则g（x）＝2sin（2x+）﹣≥0，
即 sin（2x+）≥，
∴2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+x≤kπ+，k∈Z，
故使g（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+x≤kπ+，k∈Z}．
18．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x+1．（1）求f（x），g（x），并证明：f（2x）＝[g（x）]2+2；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（2x）+ag（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）证明：依题意，f（x）+g（x）＝2x+1①，又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x+1，即f（x）﹣g（x）＝2﹣x+1②，
由①②解得，f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x，
∴f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x﹣2﹣x）2+2＝[g（x）]2+2，得证；
（2）原不等式可化为[g（x）]2+ag（x）+3≥0，
∴当x∈[1，2]时，成立，其中，
∴当x∈[1，2]时，，当且仅当时取等号，
∴，即．
19．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值．
解：（1）f'（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣），
①当a＝0时，f'（x）＝6x2≥0，∴f（x）在R上单调递增，故f（x）无极值，
②当a＞0时，此时＞0，∴当x＜0或x＞时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0
＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（）＝1﹣，
③当a＜0时，此时＜0，∴当x＜或x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当＜
x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的极大值为f（）＝1﹣，极小值为f（0）＝1，
综上所求：当a＝0时，f（x）无极值，
当a＞0时，f（x）的极大值为1，极小值为1﹣，
当a＜0时，f（x）的极大值为1﹣，极小值为1；
（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，
由（1）可知，a＞0，且f（x）的极小值1﹣＝0，∴a＝3，
∴f（x）＝2x3﹣3x2+1，
又∵当x∈[﹣2，2]时，f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（1）＝0，
∴f（2）＝5＞f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣27＜f（1）＝0，
∴f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝5，最小值为f（﹣2）＝﹣27．20．已知数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且
．
（1）判断数列{a2n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）若，求{b n}的前n项和S n．
解：（1）数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且
，
可得a3＝（1+2×0）a1﹣2＝9﹣2＝7，a4＝（1+2×1）a2﹣2×0＝9，
a5＝（＝（1+2×0）a3﹣2＝5，a6＝（＝（1+2×1）a4﹣2×0＝27，
…，a2n＝（＝（1+2×|cos（n﹣1）π|）a2n﹣2﹣2|sin（n﹣1）π|＝3a2n﹣2，
可得数列{a2n}是首项为3，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）可得数列{a2n﹣1}是首项为9，公差为﹣2的为等差数列，
可得a2n﹣1＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n，
则＝＝＝（﹣），可得{b n}的前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣﹣）＝．
21．已知钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若b＝a tan B，且2sin C＝2sin B cos A+．
（1）求角C；
（2）若点D满足，且AD＝，求△ABC的周长．
解：（1）∵b＝a tan B，
∴＝tan B＝，
∵sin B≠0，
∴sin A＝cos B，
∵2sin C＝2sin B cos A+，
∴2sin（A+B）＝2sin B cos A+，
∴2sin A cos B+2sin B cos A＝2sin B cos A+，
∴2sin A cos B＝，
∴sin A＝cos B＝，
∵A为钝角，
∴A＝，B＝，C＝，
（2）由（1）可知a＝，
∵，
∴BD＝，
∵AD＝，
△ABD中，由余弦定理可得，cos B＝＝，
解可得，c＝b＝，a＝3，
故周长为2．
22．已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
解：（1）由f（x）＝xe x+a（x+1）2，
可得f′（x）＝（x+1）e x+2a（x+1）＝（x+1）（e x+2a），
①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得x＜﹣1，
即有f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增；
②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣1或x＝ln（﹣2a）；
若a＝﹣，则f'（x）＝（x+1）（e x﹣e﹣1），当x≤﹣1时，f′（x）≥0，当x＞﹣1时，f'（x）＞0；
∴∀x∈R，f'（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
若a＜﹣时，则ln（﹣2a）＞﹣1；由f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞ln（﹣2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．
即有f（x）在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增；
在（﹣1，ln（﹣2a））递减；
若0＞a＞﹣，则ln（﹣2a）＜﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜﹣1．
即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（﹣1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），﹣1）递减．
（2）①由（1）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增，且f（﹣1）＝﹣，f（0）＝a，取b满足b＜﹣1且b﹣2＜ln．则f（b﹣2）＞（b ﹣2）+a（b﹣1）2＝a（b2﹣b）＞0，
∴f（x）有两个零点；
②当a＝0时，f（x）＝xe x，所以f（x）只有一个零点x＝0；
③当a＜0时，
若a＜﹣时，由（1）知f（x）在（﹣1，ln（﹣2a））递减，
在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增，
又当x≤﹣1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；
当a≥﹣时，由（1）知，f（x）在（﹣1，+∞）单调增，又当x≤﹣1时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；
综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．。