圆、相似三角形、二次函数经典综合题精品教案

圆、相似三角形、二次函数经典综合题精品教
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
相似、圆、二次函数---◆◆◆综合精品教案 认真解答,一定要细心哟!
（培优）
【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.
求证：(1)∠BAE=∠CEF ；
(2)CE 2=BD ·EF.
【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.
【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°， C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数； (3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点
的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
B C
F A
D O .A B
D C
E
F
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【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交
ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME = :2:5MD CO =．
（1）求证：GEF A ∠=∠．
（2）求O 的直径CD 的长．
【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂
足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.
E D
G
B
F
C
O M 第9题图
【6】
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【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；
（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.
O 1
O 2
A B
【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF ．
（1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；
（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
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【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；
（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式；
第24题图
（3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11
CM CN
+
的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy 中，AB 在x 轴上，AB=10．以AB 为直径的⊙O’与y 轴正半轴交于点C ．连接BC ，AC 。

CD 是⊙O’的切线．AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD=12
，抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点。

（1）求证：∠CAD=∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上．并说明理由：
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．
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y
x 图（3）
N
B
A
C O
D M
E
F (0，2) l
l '
A
B
D C
E
F 【1】证明：(1)∵EF ∥BC ，∴∠BCE=∠CEF. 又∵∠BAE=∠BCE ，∴∠BAE=∠CEF.
(2)证法一：∵∠BAD ＝∠CAD ，∠BAE ＝∠CEF ， ∴∠CAD ＝∠CEF.又∵∠ACD ＝∠F ，∴△ADC ∽△ECF. ∴
CE EF
AD AC
=.∴
CE AD
EF AC
=. ①又∵∠BAD ＝∠EAC ，∠B ＝∠AEC ，∴△ABD ∽△AEC ，
∴
BD AD
CE AC
=. ② 由①②得CE BD
EF CE
=，∴CE 2＝BD ·EF.
【2】解：连结BF.∵AE 平分∠BAC 的外角，∴∠DAE=∠CAE.
∵∠DAE=∠BAF ，∴∠CAE=∠BAF.
∵四边形ACBF 是圆内接四边形，∴∠ACE=∠F. ∴△ACE ∽△AFB.∴
AC AE
AF AB
=.
∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x ，则AF=14－x ，则有
5x
14x 8
=
-，整理，得x 2-14x+40=0.
解得x 1=4,x 2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4. 【3】
.
O D A
F
C B
【4】（1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC
⊥90ACB ∠=，
DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，
GEF A ∴∠=∠．
························· 2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似
OM ME
ME MC
∴
= 2ME OM MC ∴=⨯ 又46ME =，2(46)96OM MC ∴⨯==
:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴=
∴直径1020CD x ==．
【5】 (1)证明：连接OC,
∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线． (2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。

由AD<DF ，知05x <<，故2x =。

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 【6】
【7】解：（1）∵AO 1是⊙O 2的切线，∴O 1A ⊥AO 2 ∴∠O 2AB +∠BAO 1=90°
又O 2A =O 2C ，O 1A =O 1B ，∴∠O 2CB =∠O 2AB ，∠O 2BC =∠ABO 1=∠BAO 1 ∴∠O 2CB +∠O 2BC =∠O 2AB +∠BAO 1=90°，∴O 2C ⊥O 2B ，即O 2C ⊥O 1O 2 （2）延长O 2O 1交⊙O 1于点D ，连结AD . ∵BD 是⊙O 1直径，∴∠BAD =90° 又由（1）可知∠BO 2C =90°
∴∠BAD =∠BO 2C ，又∠ABD =∠O 2BC ∴△O 2BC ∽△ABD ∴
2O B BC
AB BD
=
∴AB ·BC =O 2B ·BD 又BD =2BO 1 ∴AB ·BC =2O 2B ·BO 1
（3）由（2）证可知∠D =∠C =∠O 2AB ，即∠D =∠O 2AB ，又∠AO 2B =∠DO 2A ∴△AO 2B ∽△DO 2A ∴
2222AO O B
DO O A
=∴AO 22=O 2B ·O 2D ∵O 2C =O 2A ∴O 2C 2=O 2B ·O 2D ① 又由（2）AB ·BC =O 2B ·BD ②由①－②得，O 2C 2－AB ·BC = O 2B 2 即42－12=O 1B 2 ∴O 2B =2，又O 2B ·BD =AB ·BC =12 ∴BD =6，∴2AO 1=BD =6 ∴AO 1=3
【8】（1）连结BC ,
∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,
∴∠ACB =2∠AOB =60°,
∴弧AB 的长=
3
5180560π
π=⨯⨯; ……4分
（2）连结OD,
∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°,
又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线, ∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中，
OE ==-22DE OD 681022=-,
∴AE =AO －OE=10-6=4,
由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ， 得△OEF ∽△DEA, ∴
OE EF DE AE =
,即6
84EF
=，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，
①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角
形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ， 当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC
中点，即OE =
25，∴E 1（2
5
，0）； 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ，
∴CF ∥AB ,有CF =
1
2
AB , ∵△ECF ∽△EAD,
∴
AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得：3
10
=x ,
∴E 2（3
10
，0）;
②当交点E 在点C 的右侧时，
∵∠ECF ＞∠BOA ，
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，
∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD, ∴∠BEA =∠BAO,
∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE, ∴
OE
OC
BE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴CF CE
AD AE
=,而AD =2BE , ∴
2OC CE
OE AE
=
, 即
55
210x x x
-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0
∴E 3（
4
17
55+，0）; ③当交点E 在点O 的左侧时，
∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .
∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO
连结BE ，得BE =
AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA,∴CF ∥BE,∴OE
BE =,
又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴
AD
CF
AE CE =
， 而AD =2BE , ∴
2OC CE OE AE
=
,∴5+5
210+x x x =, 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去）,∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（
4
17
55-，0）, 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：
1E （
25，0）、2E （3
10
，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．……4分
【9】 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，， 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=，
即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，
即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：2
1A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．
（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ，
易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=，在ABC △
中，易得AC BC ==
AD AE DE BC DB EC
∴
=
∥，， AD AE
DE EC BD DE =∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD AC
DB BC ∴==，
553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+．
····························· （3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有DE MD
CN MN
=
由DNF MNC △∽△， 有
DF DN CM MN =
1DE DF MD DN
CN CM MN MN
∴+=+=，
即11110CM CN DE +== 【10】。