苏教版高中数学必修五§3.2 一元二次不等式(二).docx

§3.2 一元二次不等式(二)
课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不
等式有关的恒成立问题．
1．一元二次不等式的解集：
判别式 Δ＝b 2
－4ac Δ>0 (x 1<x 2)
Δ＝0 Δ<0
ax 2＋bx ＋c >0
(a >0)
ax 2＋bx ＋c <0
(a >0)
2.解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔__________； (2)f (x )g (x )
≤0⇔__________； (3)f (x )
g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )
≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________.
(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________.
一、填空题
1．不等式x －2
x ＋3>0的解集是________________．
2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是________．
3．不等式x 2－2x －2
x 2＋x ＋1
<2的解集为________．
4．不等式x ＋5
(x －1)2
≥2的解集是________．
5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素个数为________．
6．若关于x 的不等式x －a
x ＋1
>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.
7．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
8．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等
式组⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )<0，
g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________．
9．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．
10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．
二、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按
耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少5
2
t 万亩，为了既减少耕地
的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？
12．关于x 的不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2>0，
2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取
值范围．
能力提升
13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 2
2的最大值为________________．
14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .
(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .
§3.2 一元二次不等式(二)
答案
知识梳理
1．{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b
2a
} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 2.(1)f (x )·g (x )>0
(2)⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )·
g (x )≤0g (x )≠0 3．(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0
Δ≤0 (2)a >f (x )max a <f (x )min
作业设计
1．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
解析 解不等式x －2
x ＋3
>0得，x >2或x <－3.
2．{x |x ≥1或x ＝－2}
解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1.∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}． 3．{x |x ≠－2}
解析 ∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋3
4
恒大于0，
∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2
＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．
4．[－1
2
，1)∪(1,3]
解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x ≤3，x ≠1，
∴x ∈[－12，1)∪(1,3]． 5．6
解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．
由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}， ∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素． 6．4
解析
x －a
x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0，∴a ＝4. 7．a ≥1
解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 8．P ∩∁I Q
解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，
因此⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )<0，
g (x )<0的解集为P ∩∁I Q .
9．0≤a ≤4 解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2
－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0
Δ≤0⇔0<a ≤4，
综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.
10．x <1或x >3
解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，
g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝x 2
－3x ＋2>0g (－1)＝x 2
－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x <1或x >2
x <2或x >3
⇔x <1或x >3. 11．解 由题意可列不等式如下： ⎝
⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．
12．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.
∵⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52
，
①若－k <－5
2，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－5
2
<－k ，则应有－2<－k ≤3，
∴－3≤k <2.
综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 13．18
解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0， 即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.
解得－4≤k ≤－4
3
，
又x 21＋x 2
2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，
∴当k ＝－4时，x 21＋x 2
2有最大值，最大值为18. 14．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，
则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，
∴－2≤p ≤2，于是得：⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－2)>0，
f (2)>0.
即⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －1)·
(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.
∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.
(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1，
∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1
x －1
＝1－x .
由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.。