江西省2019学年高二下学期月考数学试卷

高二第一次月考 理科数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1. 复数满足
（为虚数单位），则复数的虚部为
A ．
B ．
C ．
D ．
2.若a ＜b ＜0，则下列结论中不恒成立的是 A ．||||a b > B ．＞
C ．a 2
+b 2
＞2ab D ．（
）2
＞
3．若命题“2
000,220x R x mx m ∃∈+++<”为假命题，则m 的取值范围是
A ．(,1][2,)-∞-+∞
B ．(,1)(2,)-∞-+∞
C ．[1,2]-
D ．(1,2)-
4.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, M ,N 分别为11A B 和1BB 的中点,那么直线
AM 与CN 所成角的余弦值是
A.
32 B. 1010
C.
35 D. 25
5.设函数() f x 在R 上可导,其导函数()'f x ,且函数() f x 在2x =-处取得极小值,则函数
()y xf x ='的图象可能是
A. B. C. D.
6.用数学归纳法证明不等式“
()11113
212224
n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边
A.增加了一项
()121k + B.增加了两项()11
2121k k +++
C.增加了两项
()112121k k +++,又减少了1
1
k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项
11
k + 7.若(),1,2a λ=与()2,1,2b =--的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为 A. 52λ<
B. 52λ<且2λ≠-
C. 52λ≥且4λ≠
D. 52
λ≥ 8．将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9
π
个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6
π
ϕ=
”是
“()f x 是偶函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9. 若实数,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，目标函数2z ax y =+ 仅在点()10，处取得最小值，
则实数a 的取值范围是 A ．[]-62，
B ．()-62，
C ．[]
-31，
D ．()-31，
10.给出下列关于互不重合的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线, l α⊂,m β⊂,则//αβ; ②若//αβ,l α⊂,m β⊂,则//l m ;
③若l αβ⋂=,m βγ⋂=,n γα⋂=,//l γ,则//m n . 其中真命题的个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
11.设正四面体ABCD 的棱长为a ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则•的值为
A ．
B ．
C ．a 2
D ．a 2
12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2,(0)5f x f x f '+>=，则不等式
()32x f x e -->的解集为
A ．(0,)+∞
B ．(,0)-∞
C ．(,0)(1,)-∞+∞
D ．(1,)+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量a 在向量b 方向上的投影为1-，向量b 在向量a 方向上的投影为1
2
-
，且=1b ， 则a b -= . 14. 定积分4
2
1
16)2
x x dx --
=⎰
（_________. 15.函数f （x ）＝+lnx 的单调递减区间是 _________.
16.在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1
的距离为_________.
三、解答题（共70分）
17. （10分）已知函数()32
12
f x x x bx c =-++，且()f x 在1x =处取得极值. （1）求b 的值；
（2）若当[]1,2x ∈-时，()2
f x c <恒成立，求c 的取值范围；
18.（12分）设命题p ：函数
的定义域为R ；命题q ：不等式3x
﹣9x
＜
a 对一切x ∈R 均成立．
（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
19.（12分）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务，环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．
（1）求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；
（2）求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及其数学期望．
20. （12分）如图(1)所示,在Rt ABC ∆中, 90C ∠=,3BC =,6AC =,D 、E 分别是AC 、
AB 上的
点,且//DE BC , 2DE =,将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置,使1A C CD ⊥,如图(2)所示.
(1)求证: 1A C ⊥平面BCDE ;
(2)若M 是1 A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小;
21.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ， E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，PA=AB=1． （1）求证：EF∥平面DCP ；
（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．
22.（12分）已知函数2
()22ln f x x ax x =-+.
(1)若曲线(x)y f =在2x =处的切线与直线23y x =+平行,求实数a 的值; (2)若函数f ()x 在定义域上为增函数,求实数a 的取值范围; (3)若(x)y f =有两个极值点12,x x ,且125
,2
x x a <≥,若不等式12()f x mx ≥恒成立,求实数 m 的取
值范围.
理科数学答案（20—31班）
一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
D
C
D
C
C
B
A
B
C
A
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.7 14.
15 （0，2） 16.
23
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（1）()b x x x f +-='2
3
∵()x f 在1=x 处取得极值， ∴()0131=+-='b f
∴2-=b 经检验，符合题意. （2）∵()()()123232
-+=--='x x x x x f
x 1- ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,1 3
2- ⎪⎭
⎫
⎝⎛-
1,32 1 ()2,1 2 ()x f '
+
0 -
0 +
()x f ()1-f
c +2722
c +-
2
3
()2f
∴当3-
=x 时，()x f 有极大值c +27
又()()c c f c c f +<+=-+>
+=27
22
211,272222 ∴[]2,1-∈x 时，()x f 最大值为()c f +=22 ∴c c +>22 故21>-<c c 或 18.解：（1）若p 为真，即
恒成立，
则，有∴a ＞2
（2）令
，由x ∈R 得3x ＞0，∴y ＝3x ﹣9x
的值域是
．
若q 为真，则14
a >
.
由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p ，q ，一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在：当p 假q 真时，
．
19.解：（Ⅰ）某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通，社区服务， 环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，
现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项． 基本事件总数n ＝44
＝256，
恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m ＝＝84，
∴恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率p ＝＝
＝
．
（Ⅱ）“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P （ξ＝0）＝＝，
P （ξ＝1）＝＝，
P （ξ＝2）＝＝，
P （ξ＝3）＝＝，
P （ξ＝4）＝＝，
∴ξ的分布列为：
ξ 0
1
2
3
4
P
E （ξ）＝
+4×＝1．
20.解析：1.证明:因为//DE BC ,90C ∠=,所以DE AC ⊥.
所以CD DE ⊥,1
A D DE ⊥,所以DE ⊥平面1A CD . 又因为1
AC ⊂平面1A CD ,所以1A C DE ⊥,又1A C CD ⊥,又CD DE D =，所以1A C ⊥平
面BCDE .
2.如图,以C 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系C xyz -, 则() 2,0,0D -,()
10,0,23A ,()0,3,0B ,(2,2,0)E -. 所以()10,3,23A B =-,()
12,2,23A E =--. 设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =. 则110,{
0.
A B n A E n ⋅=⋅=所以3230,{
22230.
y z x y z -=-+-=
则3
,2{.
2z y y x =
=-故()
1,2,3n =-, 又因为()
1,0,3M -,所以
(1,0,3)CM =-. 设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ, 则2
sin cos ,13143
CM n n CM CM n
θ⋅=〈〉=
=
=+⋅++. 故CM 与平面1A BE 所成角的大小为45. 21. 证明：（Ⅰ）：取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点， ∴
，
∵E 为DA 中点，ABCD 为正方形，∴
，
∴MF ∥DE ，MF=DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形………（3分） ∴EF ∥DM ，
∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，
∴EF ∥平面PDC………………………………………………（5分）
解：（Ⅱ）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，
以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，………………………（6分）
则P （1，0，0），D （0，0，1），C （0，1，1），
设平面EFC 法向量为
，
则，即，
取………（8分）
则设平面PDC 法向量为
，
则，即，取…………（10分）
…………（11分）
∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为………（12分）
22.答案：1.∵2
()22,(1)4221f x x a f a a x
''=-+∴=-=∴= 2. ()f x 的定义域为(0,)+∞,
∵函数f ()x 在定义域上为增函数, '2
()220f x x a x
∴=-+≥ 在(0,)+∞上恒成立, 即1
a x x
≤+
在(0,)+∞上恒成立,可得,实数a 的取值范围(,2]-∞ 3. 22(1)
()x ax f x x
-+'=
∵()f x 有两个极值点12,,x x 且12,x x <
∴12,,x x 是方程210x ax -+=的两正根12125
,12
x x a x x ∴+=≥= 不等式12()f x mx ≥恒成立,即12
()
f x m x ≤
恒成立, 2321111
111122
()22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x -+∴==-+
32311211111112()2ln 22ln x x x x x x x x x x =-++=--+
由1212,1,x x a x x +==得111151
022
x x x +
≥∴<≤ 令31()22ln ,02
x x x x x x ϕ=--+<≤
2
()32ln x x x ϕ'=-+
令222
622(13)
()32ln ,()0x x h x x x h x x x
-+-'=-+=
=> 即得1
31()()2ln 0242h x h ≤=-
+<即()0()x x ϕϕ'<∴在1
(0,]2
上是减函数, 19()()ln 228x ϕϕ∴≥=-- , 故9
n 28
m l ≤--。