单向点接触偏置渐开线蜗杆传动

二、偏置渐开线蜗杆单向点接触传动（共24页）
北京高工机电技术研究所
长春大学赵翼瀚李思国
内容提要
《单向点接触偏置渐开线蜗杆传动》是在《点——线啮合偏置蜗杆传动》【2—1】、《渐开线直母线接触蜗杆传动》【2—2】]的理论和实践经验基础上发展来的,它可以克服直母线接触蜗杆传动的一些缺点。

本文阐述了偏置渐开线蜗杆传动点啮合的理论，列举了设计计算实例。

实践显示这种传动具有较高的机械传动效率。

关键词单向点接触传动啮合线蜗轮齿沟底线
蜗杆传动的齿面若是按点啮合共轭理论设计、制造的，则此传动对其元件的制造误差、安装误差以及系统负载后变形所造成的负面影响的敏感性就较低，该传动的传动质量就较高,因此，设计、制造出具有较高齿面强度的点啮合蜗杆传动（包括点啮合齿轮传动），就常成为工程技术人员追求的目标。

上世纪中叶就有点啮合蜗杆传动的方案被提出。

在点啮合传动齿面强度研究方面，早在上世纪五十年代，“苏联H ．N诺维科夫在研究大承载能力的齿轮传动时，就论述过点啮合传动的瞬时接触条件和齿面相对曲率的关系问题――――”。

几十年来，在这个领域内取得了长足的进展【2—3】，许多研究成果已在实际中应用，取得了良好的效果。

偏置渐开线直母线接触蜗杆传动,具有线接触啮合传动的缺点，同时，它的传动中心距a和蜗杆锥角α1，在传动的锥面摸数m z、齿面齿形角λA和λT以及及传动比i选定后是唯一确
定的一组数据【2—4】，而不易圆整为所需要数值，给其标准化和应用代来一些麻烦，这个缺点类似于标准圆柱直齿轮传动固有的缺点（注）。

（注：标准圆柱直齿轮传动，在其齿轮齿数、摸数选定后，传动的中心距是唯一确定的数值，这常为其选用和提高传动性能带来不便。

）本文提出的《偏置渐开线蜗杆单向点接触传动》是由《点——线接触偏置渐开线蜗杆传动》【2—1】、《偏置渐开线直母线接触蜗杆传动》【2—2】的理论和实践经验发展来的,它具有点啮合传动的优点，同时又可以克服“偏置渐开线直母线接触蜗杆传动”上述的中心距a 和蜗杆锥角α1不易圆整为所需数值的缺点。

下面就这种传动的几个问题分别予以论述：（一）蜗轮、蜗杆齿面的几何特征及啮合特征
偏置渐开线蜗杆单向点接触传动的蜗杆齿面（T1和A1）、蜗轮齿面（T2和A2）,与渐开线直母线接触蜗杆传动相同，也都是渐开线齿面（参阅文献【2—4】的图1—3、图1—4）。

蜗杆蜗轮啮合时，蜗轮凹齿面A2与蜗杆齿面A1仍为直母线接触传动，但是，蜗轮的凸齿面T2与蜗杆齿面T1是点啮合传动。

由于这种传动仅蜗杆、蜗轮的T齿面（T1和T2）是点啮合传动，所以称为单向点啮合传动。

以右选蜗杆为例，当蜗杆、蜗轮的T齿面（T1和T2）啮合时，若蜗杆齿面T1的基圆柱Q T1的上切平面与蜗轮T2齿面基圆柱Q T2的下切平面不共面(图2—1(a) ) ，则蜗杆、蜗轮的齿面直母线不能成为接触线（参阅【2—4】及图1—6）；此时，蜗杆基圆柱Q T1上有一个倾角为θ1的切平面P T1，蜗轮齿面T2 的基圆柱Q T2上有一个倾角为θ2的切平面P T2 ，P T1与P T2的交线是直线N—N，研究表明，在一定条件下直线N—N上的各个点均可成为蜗杆齿面T1与蜗轮齿面T2啮合时的瞬时接触点，即直线N—N可成为.啮合线。

下面就来讨论直线N—N成为.啮合线的条件。

——1——
（二） 蜗杆、蜗轮T 齿面（T 1和T 2）的点啮合条件
1、直线N —N 上的单位矢量
蜗杆基圆柱Q T1的切平面P T1(图2—1（a ）)，其单位法矢在固定坐标架σ1=[1111,,o i j k
；]中的矢量式为 111cos sin θθ=+
n i j １１
（2-1）
（a ）
(b) (c)
图2—1
蜗轮基圆柱Q T2的切平面P T2 ，，其单位法矢在固定坐标架σ2=[2222,,o i j k
　；] 及σ1
中的矢量为
2222211
22sin sin θθθθ--
n i j n i k ２＝-cos
=cos (2—2) 直线N —N 上的单位矢量
σ⨯⨯ １２
１２
1将式（2-1）、（2-2）代入上式，经整理后,在单位矢量
ｎｎ ｎ＝ｎｎ中
121121
121sin sin cos sin sin cos θθθθθθ⎡⎤-+=⎥-⎥
⎦
i j n k （2-3） 2、矢量n 成为蜗杆齿面T 1法线矢量的条件
由渐开线齿面的形成过程可知【2—4】，在直线N —N 上的任意一点J 处（图2—1(a)），
过J 点齿面T 1的切平面垂直于P T1面且与P T1面的交线是齿面母线M T1，又由于矢量n
线也 ——2——
在P T1面上，所以，矢量n 成为蜗杆齿面T 1法线矢量的条件是：矢量n
与蜗杆齿面母线M T1
垂直。

当矢量n 与蜗杆齿面母线M T1垂直时，矢量n
与坐标轴幺矢量1k 的数量积为
11cos T nk λ=-
, 由式（2—3）求得
1cos λ=-
T k n １－ （2-4)
式中λT1是蜗杆T 1齿面的齿形角。

由上式可得
2
12212
222
212
cos sin cos sin sin cos T λθθθθθ=+ 经整理后可得
当式（2—5）成立时，在直线N —N 上的任意一点J 处，矢量n
都是蜗杆齿面T 1在J
点处的幺法矢
3、矢量n
成为蜗轮齿面T 2法线矢量的条件。

在直线N —N 上的任意一点J 处（图2—1(a ）），矢量n
成为蜗轮齿面T 2法线矢量的条
件是：矢量n
与蜗轮齿面母线M T2垂直。

由于式（2—3）中的 11221j i i k k =-=
２ 、　、　＝ｊ ，所以，在坐标系σ2中
212212212sin sin sin cos cos sin θθθθθθ⎡⎤-=⎥+⎥⎦
i J n k （2-6）
又由于矢量n 及母线M T2都在P T2面上，因此，当矢量n
与蜗杆齿面母线M T2垂直时，矢量
n
与坐标轴幺矢量 ２ｋ的数量积
2)2
T πλ-
２ｎｋ＝cos( (2—7） 式中λT2是蜗轮齿面T 2的齿形角。

上式经整理后得
1
22
t a n t a n ()2
s i n T θπ
λθ-=
1
T22tan =
arctan(
)
2
sin θπ
λθ- （2—8） ——3——
22
2121
2
11tan sin tan tan sin tan θθλθθλ=
=T T （2-5）
当式（2—8）成立时，在直线NN 上的任意一点J 处，矢量n
就是蜗轮齿面T 2在J 点处的幺法矢
综上所述可以确定,当式(2—5)、（2—8）同时成立时，矢量n 就是蜗杆齿面T 1和蜗轮齿面T 2在直线N —N 上的任意点J 处的公共幺法矢，齿面T 1与齿面T 2可在点J 处接触而具备啮合的必要条件。

（三）T 面点啮合的定比传动条件
蜗杆齿面T 1和蜗轮齿面T 2在N —N 线上任意点J 处啮合时（图2—1），啮合基本方程【2—5】【2—6】成立，即：
121212()0J J J J J nV n V V nV nV =-=-=
（2—9）
式中 12J V ：蜗杆T1面上J1点相对蜗轮T2面上J2点的相对速度 ，1J V
：蜗杆
T 1面上J 1
点的速度， 2J V
：蜗轮
T 2面上J 2点的速度
111
222
J JPT JCN J JPT JCN V V V V V V =+=+
(2—10) 11222
11T12T2P V P JPT J JPT JCN J JCN T T V V V V V P 式中、　是在P 面上和垂直于面的速度分量（图2-1 c ），、是在面上和垂直于的速度分量(图2-1 b)。

将式（2—10）代入式（2—9）得
1212()0-=-=
JPT JPT JPT JPT nV nV n V V (2—11)
式中
11111112211222222222(sin cos )(sin cos )(sin cos )
ωθθωθθωθθ=-+=-=-- JPT JT JPT JT JT V r i j V R i j R i k
(2—12)
式（2—12）中ω1、ω2分别是蜗杆、蜗轮的角速度， 蜗杆、蜗轮T 齿面的基圆半径【2—4】
11221212tan 2
λ=
=T T JT JT T m Z m Z
r R
T2
T2
2T2T22
ππ=
p ２Ｒ式中蜗轮Ｔ齿面基圆的模数 m ，基圆周节Ｐ＝
Ｚ 将式（2—3）、（2—12）代入（2—11）则有
121121121sin sin cos sin sin cos θθθθθθ⎤-+-⎦
i j k
[11111
1112222(sin cos )(sin cos )]ωθθωθθ-+++
JT JT r i j R i k ＝0
——4——
]2211
112121
2222
21212(sin sin cos sin )2tan (sin sin sin cos )02
T T T Z m m ωθθθθλωθθθθ+⎢
--=１
Ｚ +
]1122
12211sin sin 0
2tan 2T T T Z m Z m ωθωθλ⎡-=⎢⎣
12212211sin sin 0
2tan 2T T T m Z m ωθωθλ-=１
Ｚ
将式（2—5）代入上式，得
122212211tan sin 0
2tan 2tan T T T T m Z m θωθωλλ-=１
Ｚ
1112222cos T T z m z m ωθω=
因在定速比传动时
12
21
Z Z ωω=
， 所以 212c o s T T m m θ= （2—13）
由上述分析可知，当式（2—13）成立，蜗杆、蜗轮T 面传动时，可实现定速比传动。

（四） 正确啮合条件
因为蜗杆轴向与NN 线所夹锐角δ１的余弦
121121111121sin sin cos sin cos sin cos θθθθδθθ⎡⎤-+=-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
i j k n k k
所以蜗杆在N —N 线上的齿距
111cos T N T T t m m πδπ=　=
又因在P A2面上蜗轮基圆切线方向的单位矢量(图2—1 a)
——5——
22222sin cos e i j θθ=-
它与N —N 线所夹锐角δ２的余弦
22222212122122(sin cos sin sin sin cos cos sin e n i j i j k δθθθθθθθθ==-⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
２cos
所以在P A2面N —N 线上蜗轮的齿距
222
2
T N T T m m πδπt =cos =
蜗杆、蜗轮正确啮合时要求
12212
cos θ==T N T N
T t t t m m 由上述分析应有
上式即式（2—13），所以式（2—13）也是正确啮合条件。

（五）接触点位置计算
图2—2 是图2—1 的分解图，由图2—1a 、图2—2 b 、c 可知，蜗杆基圆柱切平面P T1的任意一点J 满足下式：
111JT r n r =
(2—14) （b ） (c)
图 2—2
式中切平面P T1上各个点在坐标系σ1中的矢径
11
11111sin sin sin cos cos ψϕψϕψ=++
r r i r j r k （2—15）
式中ψ：1k 至1r 的有向角；φ：1j 至1r
在坐标平面O 1X 1Y 1上的分量间的有向角。

将式
（2—1）、（2—15）代入（2—14）经整理后得 ——6——
1
11sin sin()
JT r r ψθϕ=
+ （2—16）
蜗轮基圆柱切平面P T2（图2—1a 、图2—2 a 、图2—2c ）满足方程式
222JT r n R =-
（2—17）
式中2r
是切平面P T2上任意一点J 在坐标系σ2中的矢径。

又因
2211
11
2121211sin sin )sin cos cos r r ai a i r j r k ψϕψϕψ=--++ ＝（r (2—18)
式中21r
是切平面P T2上各点在坐标系σ1中的矢径，将式（2—18）、（2—2）代入式（2—17）
得
2122
21
22
J T 222212
s i n s i n
c o s c o s c o s s i n
11
R =cos 22
JT T T r a r R m Z Z m ψϕθθψθθ-++==由于
故有
212122121
(s i n s i n )c o s c o s s i n
2
T r Z m a r ψ
ϕθψθ--++= 2121212
1
sin sin Z 2cos tan T r m a
r ψϕψθ+-= （2—19） 因啮合线NN 是平面P T1和P T2的交线，如设NN 线上任意一点在σ1中的矢径为r
(图2—
2c )，则
121121
r r r r ===
r=r
因NN 线上各个点应同时满足式（2—16）和式（2—19），故NN 线由下列方程组确定：
1
1212
sin sin()
1
sin sin 2cos tan JT T r r r Z m a
r ψθϕψϕψθ=
++-=
（2—20） 啮合线NN 上点在σ1中的坐标为：
——7——
1
111
112112
sin sin sin sin()sin cos cos sin()
1
sin sin 2cos tan ψϕϕ
θϕψϕϕ
θϕψϕψθ==
+==
++-==
JT JT T r x r r y r r Z m a
z r （2—21）
在选定蜗杆、蜗轮基圆柱切平面倾角12θθ、后，给定一系列ϕ角数值，即可由式（2—21） 求得啮合线N —N 上各个点的坐标。

(六) 齿面接触点处蜗杆、蜗轮齿面母线间的夹角
T1112121211P P ()()
(cos s γγθ==⨯=⨯⨯=+⨯
m n n
m n n
m m n n n n nn n n n n n n i Ｔ１１Ｔ２Ｔ２２２１２１２　因为，在面（图2-1 a ）上蜗杆齿面母线M 上的单位矢量
又在面上，蜗轮齿面母线M 上的单位矢量 所以蜗杆、蜗轮齿面母线间夹角的余弦 cos = ＝（ｎｎ）()-()()
＝ 11112212in )(cos sin )
θθθγθθ-
j i k cos ＝cos cos (2--22)
（七）蜗轮基圆柱齿廓参数
如图2－３所示，蜗轮凹齿面与凸齿面基圆柱切平面分别是P A2与P T2，它们与蜗轮基圆柱相对滚动时，和蜗轮齿廓的交线就是齿廓的直母线（图中M A2、M T2）。

凹齿面的齿形角λA2=λA1、模数为m A2=(S JA2/π)= m A1； 凸齿面的齿形角λT2用式（2—8）计算、模数
m T2=(S J T2/π)= m T1cos θ2，
图 2—3
其中S JA2、S J T2分别是蜗轮凹齿面和凸齿面基圆上的齿距。

(八) 传动计算实例及有关问题探索
1、例2.1 轻型货车车窗刮水器蜗轮副尺寸计算 (1) 基本参数选择 据调查，现今可供轻型货车（如解放CA141）选用的车窗刮水器电机减速器有两种： A 、 单级蜗轮副传动（图 例
2、1—1（a)） 它是由电机1、圆柱蜗杆2与蜗轮3（实际是斜齿轮）组成的减速机。

多家厂商产品的主要参数是 蜗杆头数Z 1=1 蜗轮齿数Z 2=58 模数 m=1.0 mm 蜗杆外径d a1=10 mm ；
——8——
B 、 蜗轮—齿轮传动（图 例2、1—1（b ）） 它是由电机1、蜗杆2、蜗轮3（实际是斜齿轮）、齿轮4和5组成的一种双极蜗杆——齿轮传动减速机。

“V ollvo ”品牌的刮水器，其总传动比 i = 53 ，齿轮模数 m ≈ 1.0 mm
以上两种传动蜗杆的材料是45号钢，蜗轮材料是 聚甲醛 。

(a) ( b)
图 例 (2、1—1) 图 例 (2、1—2)
参考以上两种传动的参数，偏置渐开线蜗杆单向点啮合传动（图 例（2、1－２））选了以下基本参数（参阅 图1—9 ）： 蜗杆头数Z 1=1 蜗轮齿数Z 2=53
蜗杆T 1 面齿形角λT1= 16O 。

齿面T 1（与蜗轮凸齿面T 2点啮合）是工作面，可在λT1=13 O —20 O 范围选定其值，此值越小传动效率越高。

蜗杆A 1 面 (与蜗轮凹齿面A 2直母线接触) 齿形角λA1=30 O 。

可在 λA1=20 O —35 O 范围选定其值，此值越大蜗轮A 2齿面的根切界限点距传动中心线的距离越小，传动的总体尺寸也将越小。

蜗杆模数 m T1=m A1= m=1.0 mm 蜗杆半锥角α1 = 0（生产商要求的数值）
蜗杆外径 d a1=10 mm 蜗杆根径 d f1 = 5.6 mm （2）传动尺寸计算 A 、蜗杆基圆半经 A 1齿面基圆半径
1110
11
2tan 2tan 30
A JA A Z m r λ=
==0.8660254 mm
T 1 齿面基圆半径
111
11
2tan 2tan 16T JT T z m r λ==
= 1.743707 mm B 、蜗轮齿A 2面基圆半径及传动中心距
蜗轮齿A 2面基圆半径 22
2153
2
2
A JA m Z R ⨯=
=
= 26.50000 mm 传动中心距
21JA JA a R r =
-=25.63397 mm
中心距a 、基圆半径r JA1 和R JA2按上面数据选定，蜗杆齿A 1面和蜗轮齿A 2面将是直母线接触传动。

——9——
C 、蜗杆齿面A 1与蜗轮齿面A 2上的两类界点
刮水器蜗轮传动的承载工作面是蜗轮的凸齿面T 2和蜗杆的齿面T 1，，但是，作为传动运动约束的蜗杆齿面A 1与蜗轮齿面A 2，也必须有良好的共轭质量，否则会引起蜗轮抖动、附加冲击载荷、轮齿快速磨损甚至断齿的恶劣后果，因此，蜗杆齿面A 1与蜗轮齿面A 2上不允许存在两类界点。

由蜗杆齿面A 1上二类界点条件式（1—14）的推导和分析过程可知，当蜗杆外径d a1=10 mm 时，式（1—14）中h 0 = d a1/2 =5 mm,由此得
L = L 01 = h 0/tan λA1 = 5/ tan300
= 8.66 mm
这就是说蜗杆、蜗轮不能在L = 0——8.66 mm(L 是啮合点至O 1X 1Y 1坐标平面的距离（参阅图1—8），蜗杆这一段的齿面上存在二类界点) 段上啮合。

与此相应，蜗轮齿面上产生齿面干涉的界点（一类界点）所在圆周半径
R 02
（26.52+8.66
2
）
1/2
= 27.879 mm
为了避免轮齿齿面上出现一类界点，蜗轮齿圈内圆圆周的半径要大于R 02 ；如果所选蜗轮齿圈内圆圆周的半径小于R 02 ，则在加工轮齿齿面时，应当设法修掉可能与蜗杆齿面产生干涉的蜗轮齿面，修齿方法将在后续文章中讨论。

D 、选择蜗杆、蜗轮T 齿面基圆柱切平面倾角及与其有关的传动尺寸计算 经过试算，选择蜗轮基圆柱切平面倾角θ2=5.4 0（参阅图2—1），由式（2—5）知，蜗杆基圆柱切平面倾角θ1的正弦应为
2
110
tan sin tan tan 5.4
tan 16T θθλ=
=
θ1 = 19.248000 ,由于P T1面上的啮合线N —N 上与坐标平
面o 1x 1y 1最近的啮合点是K J （图 例2.1—3 ） 图 例2.1—３ 它是蜗杆齿顶圆柱面Q D1与P T1面上啮合线N —N 的交点，设K j 点在坐标架σ1中对应J(J 1)点（参阅图2—2），其矢径1KJ r r =
，于此相应
ψ=ψKJ 、、φ=φKJ ，，K j 点在蜗杆上的半径为1KJ r ,则式（2—20）中
1K J 1K J sin sin r r r ψψ===d a 1/2=5mm, 因此，由式（2—20）得
111 1.743037
sin()5
JT K J K J r r θϕ+
=
=
φKJ =1.162354
由式（2－２１）知，K Ｊ点至O 1X 1Y 1平面的距离为
——10——
1211KJ 1KJ
2
00
1
sin sin 2cos tan 1
5sin1.16235453 1.025.63397
2tan 5.4ψϕψθ+-=
⨯+⨯⨯-=
KJ KJ T r Z m a
r Ｚ＝
=10.23458 mm
K Ｊ点在蜗轮上所在圆周的半径（参阅图例2、1—5）
2KJ R =
= 27.50741mm 蜗轮T 2基圆模数
0212cos 1.0cos 5.4T T m m θ==⨯=0.995561964 mm
蜗轮T 2基圆半径 2221
Z 2
JT T R m =
= 26.38239 采用蜗轮齿圈内圆半径
R N2 = 28.0 >R 02=27.879 >26.38239mm=R JT2
蜗杆、蜗轮T 面在啮合线N —N 上的啮合远点是K U (图 例2.1—3),由于选用了圆柱蜗杆，蜗轮齿顶面是个平面，K U 点在此面上，如蜗轮齿顶面Y D2与蜗杆圆根圆柱间的啮合间隙C=0.2×m=0.2mm ，则K U 点的坐标 Y 1ku =
1
1
2f d c += 2.8+0.2 =3.0 mm K U 点至蜗杆轴线的垂直距离（图 例2、1—4）
1KU r = 图 例2、1—4
设在（图2—2）的坐标架σ1中的J 点是K U 点，并且1KU r r r ==
、KU KU ψψϕϕ==、，
则在 式（2—20）中
11sin sin KU KU KU r r r ψψ==
1
11sin()JT ku ku
r r θϕ+==1.743707 /2.931827 φKU = 17.24688 o
由式（2—21）知，K U 点至O 1X 1Y 1平面的距离为 ——11——
Z 1KU 1211K U 2
1
sin sin 2cos tan ku ku T r z m a r ψϕψθ+
-==
=18.35737 mm
蜗轮外圆直径（图例2、1—5）
D
B2=≈61.65336 mm
E 、传动重合度 传动工作时，蜗轮的一个齿 在K U 点和蜗杆齿面开始接触，此后，接触点沿 N ——N 线运动，最后在K j 点和蜗杆齿面脱离接
触，所以，传动重合度 图 例2、1—5
ε =11()/T T NNCOS m λπ=(z ku —z kj -)/π m T1 =2.578868
在D 、E 两节中所讨论的尺寸计算，均与所选取的蜗轮基圆柱切平面倾角θ2的大小有关，常常要多次选择θ2的数值进行上面的计算才能取得满意结果。

这里主要是根据蜗轮外径D B2≈60mm (参照普通单级蜗轮副传动刮水器的蜗轮外径)的要求，并用算法语言通过编程计算选定了θ2=5.40。

试制和实验表明，普通蜗轮副传动(例图2.1－１)刮水电机功率为50w ，采用渐开线偏置蜗杆传动的刮水器器电机功率可降至35w, 节能约30 % 。

2、例2.2 真空断路器蜗轮副
下面讨论一种用于6.6万伏高压电路真空断路器操 A 向 动机构蜗轮副的计算问题。

此种操动机构中用了一个双级蜗轮减速器（图例2.2－１，它是3.6万伏高压电路真空短路器操动机构双级蜗轮减速器【2—7】的升级型），驱动电机为交直流两用串激电机，转速为n 1=6000转/分钟，蜗轮减速器高速级（锥蜗杆1和蜗轮2）蜗轮负载转矩T=40N m , 高速级速比 i 1= 30 , 低速级速比i 2=50 。

因为这个双级蜗轮减速器是间歇工作，一次工作
时间仅3—5分钟且停歇时间很长，正常工作时温升不高， 图 例2、2——1 所以采用蜗轮凹齿面A 2和蜗杆齿面A 1为传动的承载工作面【2—8】，以求蜗轮副有较高的承载能力。

但是为了圆整传动的中心距，使它便于加工，这个传动采用了单向点啮合传动的设计方案。

下面讨论高速级蜗轮副的计算： （1）、选择基本参数
蜗杆头数 Z 1=1 蜗轮齿数 Z 2 = 30 蜗杆A 1面齿形角λA 1=25O 蜗杆T 1面齿形角λT 1=20 O
（2）、几何尺寸计算
Ａ、直母线接触传动方案的基本尺寸 ——12——
设计单向点啮合传动蜗轮副，一般要参考直母线接触传动蜗轮副方案的基本尺寸。

现在先计算直母线接触传动方案的基本尺寸
（A ）蜗杆半锥角α1
选择蜗杆顶锥半锥角α1=αZ (顶基锥半角，图例2、2—2)，根
据式（1－２９）
110021111
tan tan tan 30tan 25tan 20A T z z αλλ==
=0.196399478
α1 = 11.111435252 0
（Ｂ）、传动中心距 在蜗杆、蜗轮齿面A 1、、A 2直母线接触时，根据式（1—26）,中心距
211111
0000
(tan )cos()
2sin (30tan 251)cos(2511.11143525)2sin 25A A z
A Z z z a m m λλαλ--=*--= （）
= 14.91828805 m z （*） （） 当取蜗杆锥面模数 m z = 2.25 mm a = 33.56614811 mm ；
当取 m z = 2.5 mm a = 37.29572013 mm ；
----------------------------------------------------------------------。

m z 取不同值，要取不同的中心距，往往要试算多次才能取得既满足强度要求又符合空间尺
寸限制的传动尺寸。

B 、单向点啮合传动尺寸计算 (A) 传动中心距 蜗杆半锥角
根据直母线接触方案的计算（又根据与圆柱蜗杆传动承载能力类比，此处不介绍），现选择m z = 2.5 mm ，并将中心距圆整为整数 a = 37 mm 。

注意，此时所定的中心距a 已不是上面的（*）式计算的结果（37.29572013mm ）, 为使A 1、A 2面直
母线接触，应将所选的m z 和 a 的数值 图 例 2、2—2 代回上式，并计算相应的蜗杆半锥角。

由式（*）得
1
11210
02sin cos()(tan 1)sin 25(30tan 251) 2.5
A A A z
a Z m λλαλ-=
-⨯⨯-⨯２３７ ＝ ——13——
=0.963067155
λA1—α1=15.620315250
α1=250—15.620315250=9.3796847510=9022。

47＂
（B ）、模数 根据式（１—１７）、（１—１８）
蜗杆A 1面模数
1111000(cos sin tan )
.cos 9.3796sin 9.3796tan 25)A z A m m ααλ=++ ＝２５（
=2.656567586 mm 蜗杆T 1面模数
1111
00(c o s s i n t a n )
2.5(c o s 9.3796s i n 9.3796t a n 20)
T z T m m ααλ=-
- ＝　
=2.31827884 mm （C ）、蜗杆基圆半径 根据式（1—21）、（1—22）
A 1面基圆半径
111
1
2tan A JA A z m r λ=
=02.656567586
2tan 25=2.848513786 T 1面基圆半径
1110
1 2.31827884
2tan 2tan 20
T JT t z m r λ=
==3.184709382 （D ）、蜗杆、蜗轮A 面啮合位置 蜗杆顶锥、根锥 传动重合度
1*
取蜗杆齿高(图 例2.2—2-) h = 2.25m z =2.25.⨯2.5=5.625
2*
取蜗杆小端根径 d 1C f = 14 mm （类比普通圆柱蜗杆传动确定）
蜗杆小端外径 d 1C a= d 1C f + 2×h/cos α1 = 14+2 × 5.625/cos9.3796840 =25.4 mm 3*
蜗杆小端至传动中心线的距离 在蜗杆齿面A 1与蜗轮齿面A 2啮合时，为了不产生齿面干涉，根据蜗杆齿面A 1不存在二类界点，蜗轮齿面A 2不存在一类界点的条件式（1—14），要求蜗杆小端至中心线的距离 L 0 ≥
1Ca
1
25.4
2tan 2tan 25
A d λ=
=27.235 mm 取 L 0 = 27.5 mm
4*
蜗杆工作段长度 取传动重合度 ε = 2 .1 ，则蜗杆工作段长度 L = ε π m A1 = 2.1 × π × 2.656567 = 17.5265 mm
取 L = 17.8 mm 5*
蜗杆大端外径
01112tan 25.4217.8tan 9.379684ga Ca d d L α=+=+⨯⨯
=31.2806 mm
——14——
蜗杆
111
2t a n 14217.8t a n 9.
37968G f C f d d L α
=
+=+⨯⨯ = 19.8806 mm
6*
蜗轮外经
2B D =
蜗轮齿圈内径
D N 2
= =96.84 mm
本小节所讨论的各个尺寸计算结果，均与初始选择的蜗杆小端根径d 1Cf 和重合度ε 的
大小有关，需要试算才能取得满意的结果。

在这里，我们主要考虑能满足蜗轮外径D B2≈120 mm 的要求，因为，在采用普通圆柱蜗杆传动，当蜗轮材料为 ZQSn 6—6—3，工作条件与本例题相同时，传动强度要求的蜗轮外经约为120mm, 而偏置蜗杆传动的负载能力（在A 面工作时）远优于普通圆柱蜗杆传动，所以，这里采用蜗轮外经D B2≈120 mm 即可确保偏置蜗杆传动安全工作。

(E)、蜗杆、蜗轮T 齿面基圆柱切面倾角及有关的尺寸计算 如图例2.2—3 所示，当蜗杆逆时针转动（逆Z 1方向观察），传动工作时蜗轮的一个齿与蜗杆齿在K U 点进入啮合（K U 点是蜗轮齿圈的齿顶面外圆周Y DB2与蜗杆基圆柱切平面P T1的交点），之后，轮齿接触点沿啮合线N-N 运动，当接触点抵达K J 点（K J 点是线N-N 线与PO 线的交点。

图中双点画线锥形G W 是蜗 杆外锥面，它与基圆柱切平面P T1的交线是PO ）， 轮齿退出啮合。

设计时如希望得到较大的重合 度，则K U 点应尽量靠近蜗杆齿根， 因蜗轮齿 顶与蜗杆齿根之间的最小间隙采用 C ≈0.20 m z ，所以 ，K U 点在蜗杆上的圆周半径应是 r 1 ku ≈ d 1G f /2 +0.20m z =19.88/2 +0.20×2.5=10.44 mm
1*
选取蜗杆、蜗轮基圆柱切平面倾角
取 蜗轮基圆柱切平面倾角θ2=0.72 0 （此值 图 例 2.2—3 是多次试取θ2数值，利用算法语言，通过编程计算，
在保证r 1 ku = 10.44 mm 及蜗轮外经约为120mm 的要求确定的）， 则由式2—5可得蜗杆基圆柱切平面倾角
θ1=0
1
120
1tan tan 0.72sin ()sin ()tan tan 20
T θλ--== 1.978678 0
2
*
蜗轮T 2齿形角 由式2—8 得
——15——
1
0112
02tan tan 1.978790tan ()90tan ()sin sin 0.72
T θλθ--=-=- =19.9876 0
3
*
蜗轮基圆半径
A 2面基圆半径 R JA2 =
1211
2.65673039.848522A m Z =⨯⨯= mm
T 2面基圆半径 0
21222
1 2.3183C O S 0.72Z
2J T T R m C O S Z θ=
⨯⨯⨯１ ＝２
= 34.7714 mm
4*
传动中心距
a = R JA2 —r ja1 =39.8485 —2.8485 = 37.0 mm
5*
蜗轮齿圈外圆直径 由式（2—20）、（2—21）知 ，式中的r sin ψ=r 1KU, 由此得
11110000
13.1847
sin()10.4
17.831617.8316 1.978715.8529
JT ku r r θϕθϕϕθ+==
-=-=０
＋＝１７.８３１６
＝
又由式（2—21）知，K U 点在坐标系O 1X 1Y 1Z 1中的坐标
01sin 10.4sin 15.8529k u K U
x r ϕ==⨯ =2.8411 1KU 121KU 0
211
X +
2.8411 2.3183303722Z =
tan tan 0.72T m Z a θ-+⨯⨯-=
=48.9623
蜗轮齿圈外圆直径
29623
B D == = 119.4007 mm ≈ 120 mm （注）
（注 为了确保高压电网工作安全，实际使用时蜗轮外经增大至D B2=125 mm 并相应增大了蜗杆
工作段长度至 L= 25 mm 。

）
蜗轮基圆柱切平面倾角θ2一般要经过试算才能选到合适的数值，为此，可通过
编程计算选定θ2的数值。

本题是根据蜗轮齿圈外圆直径 D B2 ≈ 120 mm 的要求选定的θ2 的数值。

由图例2.2—3可以看到，蜗杆为椎体时啮合线N —N 的长度较短（蜗杆齿未能在整个工作段长度L 与蜗轮啮合）， ——16——
理论上的传动重合度也较小，但只要θ2的数值选择得当，蜗杆齿在整个齿工作段长L 均可参与啮合，传动仍可具有较大的传动重合度，这一问题将在后续文章中予以讨论。

(F)、蜗轮锥顶半角 蜗轮锥顶偏距
1*
蜗轮锥顶半角 由式（1—33）知，蜗轮顶锥半锥角α2的余弦
21cos αα=
式中蜗杆计算根锥锥顶偏距
110
1
2tan cp
d l L α∆=-　
上式中蜗杆计算根锥小端直径
110
10.25 2.5
214215.27cos cos 9.37968
z CP Cf c m d d mm α⨯⨯=+⨯
=+⨯= 由此得 ∆l 1= 27.5—
15.27
2tan 9.37968= － 18.5905 mm
一般选择蜗轮顶锥与蜗杆计算根锥相切点p 1的坐标 Z P1 = L 0 + (2/3)L =27.5 +(2/3)×17.8 = 39.37 由此得
2cos sin 9.3797
α=
= 0.219652984 α2 = 77.311348060
2*
蜗轮锥顶偏距用式（32）计算
∆ l 212
11111221()()tan sin sin sin sin ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥+-∆⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
P P P Z Z Z l ＝ =[39.37+(39.37+18.5905)tan 29.37970]sin77.31130/sin9.37970
—[(39.37/sin9.37970)/sin77.31130]
=－２．4785 mm ——17——
3、例2.3 本例讨论蜗杆、蜗轮T 齿面负载传动的设计计算问题。

所要计算的传动的工作条件与例2.2相同，即：它是6.6万伏高压电路真空断路器操动机构双级蜗轮减速器的高速级（图例2.2－１），驱动电机为交直流两用串激电机，转速为n 1=6000转/分钟，高速级蜗轮负载转矩 T=40N m , 高速级速比 i 1= 30 , 低速级速比i 2=50 。

解： （1）、选择基本参数
蜗杆头数 Z 1=1 蜗轮齿数 Z 2 = 30
为了提高T 齿面传动的机械效率，选取了较小的蜗杆T 1齿面齿形角 λT 1=15 O 为了获得较小的传动尺寸，可选取较大的蜗杆A 1齿面齿形角 λA 1=30O （2）、传动尺寸计算
A 、直母线接触传动方案基本尺寸 为了计算方便，一般要参考直母线接触传动方案基本尺寸，计算如下：
（A ）蜗杆半锥角α1
选择蜗杆顶锥半锥角α1= αz (顶基锥半角)，根据式（1－２９）
110021111
tan tan tan 30tan 30tan 15A T z z αλλ==
=0.215470053
α1 = 12.15961958 0
（Ｂ）、传动中心距 在蜗杆、蜗轮齿面A 1、、A 2直母线接触时，根据式（1—28）,中心距
2111
1
0000
(tan 1)cos()2sin (30tan 301)cos(3012.15961958)2sin 30
A A z
A Z z a m m λλαλ--=--=
（*） = 15.53571543 m z
当取蜗杆锥面模数 m z = 2.5 mm a = 38.83928857 mm 。

m z 取不同值，要取不同的中心距，往往要试算多次才能取得既满足强度要求又符合空间
尺寸限制的传动尺寸。

Ｂ、凸齿面点接触传动方案尺寸计算 （A ）、中心距a 及蜗杆半锥角α1
与例2.2相同，仍取蜗杆锥面模数 m z = 2.5 mm 及中心距 a = 37.0 mm 。

因中心距不是前面计算的数值（38.83928857mm ），所以,为了蜗杆蜗轮凹齿面仍为直母线接触，就要用前面的（*）式重新计算蜗杆半锥角
1
11210
2sin cos()(tan 1)sin 30(30tan 301) 2.5
A A A z
a Z m λλαλ-=
-⨯⨯-⨯２３７ ＝= 0.906834513 ——１8——
λA1—α1=24.928494270
α1=300—24.928494270=5.071505731 0
（B ）、蜗杆模数 根据式（１—１７）、（１—１８）
蜗杆A 1面模数
111000(cos sin tan )
.cos 5.071505731sin 5.071505731tan 30)2.617805751A z A m m ααλ=++=　＝２５（ ｍｍ
蜗杆T 1面模数
111000(cos sin tan )
2.5(cos 5.071505731sin 5.071505731tan 15)T z T m m ααλ=-- ＝ ＝２．４３０９９６８１９　ｍｍ
（C ）、蜗杆基圆半径 根据式（1—21）、（1—22）
A 1面基圆半径
11112tan A JA A z m r λ=
=0
2.617805751
2tan 30
=2.267086283 mm T 1面基圆半径
111
1 2.430996819
2tan 2tan 15
T JT t z m r λ===4.536301812 mm （D ）、确定凸齿面点接触传动方案的其他主要数据
1*
取蜗杆齿高(图 例2.2—2-) h = 2.25m z =2.25.⨯2.5=5.625
2*
蜗杆直径 蜗杆工作段长度
大端外径 参照例2.2数值，取蜗杆大端外径 d 1g a = 32 mm
大端根径 d 1g f = d 1g a －２×（h ／cos α1）=32－２×（5.625/ cos5.071505731 0）
=20.70578485 mm
计算根锥大端直径 d 1g p = d 1g a －２×（2m Z ／cos α1）
=32－２×（２×2.5/ cos5.071505731 0）=21.961 mm
蜗杆工作段长度L 参考例2、2 取 L = 18 mm 取齿段小端至坐标原点O 1的距
离 L O = 27.5 mm 蜗杆小端外径 d 1ca = d 1g —2Ltan α1=28.81 mm
3*
蜗杆、蜗轮T 齿面基圆柱切面倾角
基圆柱切面倾角的数值，是影响传动啮合线的位置、重合度的大小、传动效率、齿面强度等的重要因素，确定蜗杆、蜗轮T 齿面基圆柱切面倾角是一个有待深入研究问题。

——19——
如图例2.2—3所示，传动工作时蜗轮的一个齿与蜗杆齿在K U 点进入啮合，之后，轮齿接触点沿啮合线N-N
运动，当接触点抵达K J 点， 轮齿退出啮合。

为了蜗轮齿在齿顶面上的厚度大致相同，设计时常选定蜗轮顶锥面Q D2与蜗杆计算根锥面Q P1
在蜗杆工作长度的2L /3处(由蜗杆小端算起)相切（图例 2.3—1）；并且，选择这一点作为轮齿进入啮合的K U 点也会得到满意的传动重合度（这个问题还将在后续文章进行讨论）。

这样选
择K U 点的位置后，K U 点在蜗杆计算 例2.3—1 根锥面上的半径
r 1 ku = d 1g p /2 －(L×tan α1)/3 =21.96 /2－（１8×tan5.0715 0)/3
=10.4475 mm 又K U 点至坐标平面o 1x 1y 1的距离
r c ku =L 0+(2/3)L=27.5+(2/3)×18=39.5
为使这个K U 点成为一对齿的啮合起始点，需要多次选取θ2的数值进行试算。

按本例计算顺
序，运用算法语言，经编程计算，选取了蜗轮基圆柱切平面倾角θ2= 3.00250530 。

用式（2—5）计算蜗杆基圆柱切平面倾角
θ1 =1
1
2
1tan tan 3.002053sin ()sin ()
tan tan 15o T θλ--==11.286940
4*
蜗轮T 2齿形角 由式（2—8）求得蜗轮T 2的齿形角
00
1
1
1
2
2tan tan 11.2869490tan ()90tan ()sin sin 3.002053
T θλθ--=-=- =14.703280 5
*
蜗轮基圆半径
A 2面基圆半径 R JA2 = 1211
2.6178057513022
A m Z =⨯⨯=39.26709 mm T 2面基圆半径
021221 2.430996819COS3.002053302JT T R m COS Z θ=
⨯⨯⨯１
＝２
=36.41491 mm 6*
传动中心距
a = R JA2 —r ja1 =39.2671—2.2671 = 37.0 mm
——20——
7*
核对齿面啮合起始点K U 位置
若K U 点为啮合起始点，因为该点处在蜗杆上的半径r ku =10.4475 mm,根据式（2—16） 式（2—20） 11100010
4.536302sin()10.4475
25.7343843425.7343843425.7343843411.28694
14.447474JT ku r r θϕθϕϕθ+==-=-=１ ＋＝.
　＝.. 式中φ是K U 点的半径r 1 ku 与坐标轴O 1Y 1平行线间的夹角。

由式（2—21）知，K U 点在坐标系O 1X 1Y 1Z 1中的坐标
01K U
1K U X sin 10.4475sin 14.447474r ϕ==⨯　=2.60657 Y 1KU ＝r 1KU COS φ=10.4475×COS14.4474740=10.11711
1K U 121K U 0211X + 2.60657 2.43099303722Z =tan tan 3.002053
T m Z a θ-+⨯⨯-= =39.49797
这里计算得到的X 1KU 、Y 1KU 、Z 1KU 的数值正是所希望的K U 点的坐标值，它距坐标平面o 1x 1y 1的距离Z 1KU 正是3*中所计算的r c ku 的数值。

8* 齿面退出啮合时啮合点的坐标
一对蜗杆、蜗轮齿面，自K U 点进入啮合后，接触点沿啮合线NN （图例2、3—1）移动至K J 点（在蜗杆小端的端面上）退出啮合。

图例2、3—1中K UC 、K JC 点分别是K U 点、K J 点至切平面P T1与蜗杆基圆柱的切线上的垂足，因此两点间的距离
K UC K JC =2L/3=12mm
长度 K U K UC
==9.4118
所以，长度 K J K JC = K U K UC + K UC K JC×tan λT1=9.4118+12×tan 150=12.6272
K J 点在蜗杆上的半径
21KJ r ===13.4173
（<d1ca/2=28.805/2=14.4025）
根据式（2—16）、式（2—20）半径r 1K J 与坐标轴O 1Y 1间的夹角
1
1111 4.5363sin ()sin ()11.286913.4173JT KJ r r ϕθ--=-=-=8.47390 K J 点在在坐标系σ1中的坐标 ——21——
X 1KJ = r 1kJ ×sin φ =13.4173×sin8.47930=1.9771
Y 1KJ = r 1kJ ×cos φ=13.4173×cos8.47930 =13.2706
Z 1KJ =1122
/2tan kj T x m z a θ+-=(1.9771+2.431×30/2-37)/tan3.0025 =27.4939 mm （A2面发生一类界点的区域是：
Z 1KJ < L 0 =d 1ca /2tan λA 1=24.95 mm(参阅式1—14) ）
8* 理论重合度 传动的理论重合度
ε =（K UC －ＫＪＣ）／π m T1 =12/π×2.431= 1.571
注意，这里计算的是理论重合度，传动的实际重合度要大于这个数值，这个问题将在后文中予以讨论。

9* 蜗轮齿圈直径
齿圈内圆直径
2
227.5N D == = 89.0585 mm
取 D 2N = 88.0 mm
K U 点所在蜗轮圆周直径
D 2KU
==
=104.75 mm
蜗轮齿圈外径 参照例2、2 计算结果，仍取蜗轮齿圈外径
D B2 = 120 mm
（注 为了确保高压电网工作安全，实际使用时蜗轮外经增大至D B2=125 mm 并相应增大了蜗杆工作段长度至 L= 25 mm 。

）
蜗轮基圆柱切平面倾角θ2一般要经过试算才能选到合适的数值，为此，可通过编程计算确定θ2的数值。

本题是根据蜗轮、蜗杆齿面接触起始点K U 的位置要求，通过编程计算选定的θ2的数值。

由图例2.3—1 可以看到，蜗杆为椎体时啮合线N —N 的长度较短，理论上的传动重合度也较小，但只要θ2的数值选择得当，蜗杆的整个齿长均可参与啮合，传动仍可具有较大的传动重合度，这一问题还将在后续文章中进行讨论。

(F)、蜗轮锥顶半角 蜗轮锥顶偏距(参阅图1—10)
1*
蜗轮锥顶半角 由式（1—33）知，蜗轮顶锥半锥角α2的余弦
21cos αα=
式中蜗杆计算根锥锥顶偏距 ∆ l 11012tan cp
d L α=- ——22——。