甘肃省高台县第一中学年高二下学期期中考试数学(理)试题及答案

甘肃省高台县第一中学2014年春学期期中考试
高 二 数 学（理科）试卷
一、选择题：（15小题，每小题4分，共60分。

）
1．在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a += ( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．320
2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中, a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6= A ．
5．7 C ．6 D ．
) 3．复数1
1Z i =
-的模为 A ．12
B
C
．2 ( )
4．二项式9
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中
3
x 的系数是
( )
A ．84
B ．-84
C ．126
D ．-126 5．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6
．
函
数
)
0,4
(2c
o s π
在点x y =处的切线方程是
A ．024=++πy x
B ．024=--πy x
C ．024=+-πy x
D ．024=-+πy x ( )
7．若2
22
2
12
3
111
1
,,,x
S x d
x S d x S e d x
x
===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为 （ ）
A ．123S S S <<
B ．213S S S <<
C ．231S S S <<
D ．321S S S <<
8．函数3212y x x =-在区间[1,3]-上的最大值和最小值分别为
( )
A. 18,-54,12- C. - D. 10,-9．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )
A ．324
B ．648
C ．328
D ．360
10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都
选，则不同的选课方案有 ( ) A ．35种
B ．16种
C ．20种
D ．25种
11．若a 、b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ( ) A ．a 2+b 2>2ab B ．a+b ≥2ab C ．1
a
+1b
D ．b a
+a b
≥2
12．已知(0,)x ∈+
∞有下列各式：34
224,2122≥++=+≥+x
x x x x x x ，427333273
3≥+++=+
x x x x x x 成立，观察上面各式，按此规律若
45a
x x +≥，则正数a = ( )
A ．4
B ．5
C ．44
D ．55
13．甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为 A ．72 B ．36 C ．52 D ．24 ( ) 14.用数学归纳法证明“42n-1＋3n+1(n ∈N *)能被13整除”的第二步中，当n=k
＋1时为了使用归纳假设，对42k+1＋3k+2变形正确的是 ( )
A ．16(42k-1＋3k+1)-13×3k+1
B ．4×42k ＋9×3k
C ．(42k-1＋3k+1)＋15×42k-1＋2×3k+1
D ．3(42k-1＋3k+1)-13×42k-1 15．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0时，f ′(x)g(x)
＋f(x)g ′(x)> 0，且g (－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )
A ．(－3,0)∪(3，＋∞)
B ．(－3,0)∪(0,3)
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题：（5小题，每小题4分，共20分。

请将正确答案填在答题卡上。

）
16．a ，b ∈R ，a ＋bi ＝(1＋2i)(1－i) (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ． 17．已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则
2
1
2b a a -= . 18．261
(1)()x x x x
++⋅-的展开式中的常数项为____________．
192cos
2cos
2cos
4
8
16
π
π
π
==，
请从中归纳出第(*)n n N ∈2
n 个= ；
20．已知函数x x x f ln )(=，当012>>x x 时，给出下列几个结论： ①0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ；②1221)()(x x f x x f +<+；
③)()(2112x f x x f x ⋅<⋅;④当1ln 1->x 时，)(2)()(122211x f x x f x x f x >⋅+⋅. 其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．
三．解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案过程写在答题卡上）。

21．记2(1)(1)(1)222
n x x x
++⋅⋅⋅+的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,
其中*n N ∈
(1)求n a （2）是否存在常数p,q(p<q),使1(1)(1)322
n n n p q
b =++，对*n N ∈，
2n ≥恒成立？证明你的结论.
22．已知222+=x y ，且x y ≠，求
()
()
2
2
1
1
+
+-x y x y 的最小值．
23．已知{}n a 为正项等比数列，23a =，6243a =，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，535S =.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1122n n n T a b a b a b =+++ ，求n T .
24．定义在[﹣1，1]上的奇函数f （x ）满足f （1）=2，且当a ，b ∈[﹣1，1]，a+b ≠0时，有
．
（1）试问函数f （x ）的图象上是否存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，若存在，求出A ，B 两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明． （2）若
对所有x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求
实数m 的取值范围．
25．已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.
（1）求a 的取值范围，使)(x f y =在闭区间]3,1[-上是单调函数；
（2）当20≤≤x 时，函数)(x f y =的最大值是关于a 的函数)(a m .求)(a m ； （3）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ]2,1[∈，恒有()4f x ≤成立.
26．已知函数()f x 对任意,x y ∈R 都满足()()()1f x y f x f y +=++，且
1
()02f =，数列{}n a 满足：()n a f n =，*
n ∈N .
（Ⅰ）求(0)f 及(1)f 的值; （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅲ）若311()()42
n n a a n b +=-，试问数列{}n b 是否存在最大项和最小项？若存在，
求出最大项和最小项；若不存在，请说明理由.
高二数学（理）期中考试参考答案1-15CABBA DBACD DCBAD
16、8 17、-1 18、-5 19、1
2cos 2n π
+ 20．③④
21．（1）1
12
n n a =-
，（2）p=-2，q=-1. （1）根据多项式乘法运算法则，得；
（2）计算得，
代入
，解得p=-2，q=-1，
下面用数学归纳法证明
，
①当n=2时，b2=，结论成立； ②设n=k 时成立，即，
则当n=k+1时， bk+1=bk+
，
由①②可得结论成立. 22．1.
解析：222x y +=Q ,()()2
2
4x y x y ∴++-= ,
()()()
2222114()()x y x y x y x y ⎛
⎫++-+≥ ⎪+-⎝⎭Q ,
22
11
1()()x y x y ∴+≥+-， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时
22
11
()()
x y x y ++-的最小值是1. 23．（1）13n n a -=，21n b n =+；（2）3n n T n =⋅.
对所有，25.解：（1）函数a ax x x f -++=3)(2图像的对称轴为2
x -=. 因为)(x f 在闭区间]3,1[-上是单调函数，所以12-≤-a 或32
≥-a
. 故6-≤a 或2≥a . （2）当12
≤-a
即2-≥a 时a f a m +==7)2()( 当12
>-
a
即2-<a 时a f a m -==3)0()(
⎩
⎨
⎧-≥+-<-=∴)2(7)
2(3)(a a a a a m （3）43)1(2≤+-+x a x 在x ]2,1[∈时恒成立
43)1(42≤++-≤-x x a 在x ]2,1[∈时恒成立 221)1(7x x a x -≤-≤--在x ]2,1[∈时恒成立
1=x 时显然成立
21≤<x 时，11
7
2--≤≤---x a x x 在]2,1(∈x 时恒成立
26. 解：（Ⅰ）在()()()1f x y f x f y +=++中，取0x y ==，得(0)1f =-， 在()()()1f x y f x f y +=++中，取
1
2x y ==
，得(1)1f =， 2分
（Ⅱ）在()()()1f x y f x f y +=++中，令x n =，1y =， 得(1)()2f n f n +=+，即12n n a a +-=.
所以{}n a 是等差数列，公差为2，又首项1(1)1a f ==，所以21n a n =-,*
n ∈N .
6分
（Ⅲ）数列{}n b 存在最大项和最小项
令2111()()22n a n t -==，则
22111()816256n b t t t =-=--
， 显然
1
02t <≤，又因为N n *∈，
所以当
12t =
，即1n =时，{}n b 的最大项为13
16b =
.
当
132t =
，即3n =时，{}n b 的最小项为33
1024b =-
. 12分。