2020届山东省泰安市宁阳四中高三上学期模块检测数学试卷

2020届山东省泰安市宁阳四中高三上学期第一次模块检测（2）
数学试题
第Ⅰ卷（共52分）
一．选择题：（1-10小题为单选，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 已知21z
i i
=++，则复数z =（ ）
A ．13i -
B ．13i --
C ．13i -+
D ．13i +
2. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3778,35a a S +==，则2a =（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3．下列函数中最小正周期为π的是（ ）
A. sin y x =
B. 1sin y x =+
C. cos y x =
D. tan 2y x =
4.2020年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A.
31 B ． 23 C ．2524 D ．24
23
5. 设,a b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是 ( )
① 若0a b =，则有+=-a b a b ； ②⋅=a b a b ；
③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则+=+a b a b ；
④若+=-a b a b ，则存在实数λ，使得a ＝λb . A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④
6. 若1sin(
)63+=π
α，则2cos()3
+=π
α（ ） A ．13 B. 1
3
- C. 7 D. 7-
7. 在数列{}n a 中，已知1221+++=-n n a a a ，则22
212++
+=n a a a （ ）
A. 2
(21)-n
B. 2(21)3
-n C. 41-n
D. 413-n
8．已知10
,sin 2cos ∈+=R ααα，则tan 2=α（ ）
A. 43
B. 34
C. 43-
D. 34
-
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，113,0,4-+=-==m m m S S S ，则m=（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8 10．已知ABC ∆，点0P 是AB 上一定点，满足01
4
P B AB ,对AB 上任意一点P ，恒有00
PB PC P B PC ,则（ ）
A. AB
AC B. AC BC C. 090ABC
D.
090BAC
11-13小题为多选，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分.
11.欧拉公式cos sin xi e x i x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A.4
2222
i
e
i π
=- B.2
i e π为纯虚数 C.复数xi
e 的模长等于1 D.31
322
i
e i π
-
的共轭复数为 12. 关于函数2
()2cos 23sin cos =-f x x x x ，下列叙述正确的是（ ）
A. 其图象关于对称直线3
x π
=
对称
B. 其图象可由函数y cos x =+21图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，再将得到的图像向左平移
3π
个单位而得到
C. 其值域是[]1,3-
D. 其图象关于点5,112⎛⎫
⎪⎝⎭
π对称 13.已知单位向量OA ，OB ,OC ，满足0OA OB ⋅=.若点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=︒，
(,)OC mOA nOB m n =+∈R ，则下列式子一定成立的是（ ）
A. 1m n +=
B. 1mn =
C. 221m n +=
D.
3
m n =
第Ⅱ卷（共98分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.
14. 已知(1,2),(1,1)a b ==，若()+⊥ka b b ，则实数k 的值为 ______________ . 15. 函数()()
sin (,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0,0)A >ω><ϕ<π的部分图象如图所示，则
12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
________ ． 16. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边为a,b,c, 02,60==b B ，
则ABC ∆面积的最大值为________,周长的最大值为________ ． 17.已知函数()2sin =-f x x x ，数列{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，
125()()()0+++=f a f a f a ，则2315()_________.-=f a a a
三、解答题：本大题共6个小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2,=-=+=a b a b
（1）若{}335,+=n a b b 求的通项公式； （2）若3321,S .=T 求
19.（本小题满分14分）已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且2()1a b += （Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）在ABC ∆中，若AB a =，AC b =，求BC .
20．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、()ββα>的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，
点43,55A ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （Ⅰ）若点512,1313B ⎛⎫
⎪⎝
⎭，求cos()αβ+的值； （Ⅱ）若310
OA OB ⋅=，求sin β.
21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 为单调递增数列，n S 为其前n 项和，2
2,=+n n S a n
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
1
1,2+++=⋅⋅n n n n n a b a a n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：12
<n T .
22. （本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边为a,b,c,已知
(sin sin ,sin )m B C A =+，(sin sin ,sin sin )n B A B C =--，//m n
（1）求角C ；
（2）若32
cos cos ,3
a B
b A
c b -==，求边c.
23.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和2431
,a 23log 0()22
+=-++=∈n n n T n n b n N 且， （1）求{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n c 满足=n n n c a b ，求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若2
114
≤+-n c m m 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.
高三年级第一学期第一次模块检测
数学试题答案
一、1-5 ACCCB 6-10 BDDCB 11.BCD 12.AC 13.CD
二、 14. 32- 15.
16. 17. 2
16
π 18.解：设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为q
（1）由⎩⎨⎧=+=+523321b a b a 得：⎩
⎨⎧=++-=++-5)21(2)1(2
q d q d 解得：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==03
21q d q d 或（舍） ∴b n =2n-1
（2）∵T 3=21 ∴1+q+q 2=21 ∴(q+5)(q-4)=0 ∴q=-5或q=4
当q=-5时，b 2=-5 ∴a 2=7 ∴d=8，a 3=15 ∴S 3=-1+7+15=21
当q=4时，b 2=4 ∴a 2=-2 ∴d=-1 ∴a 3=-3 ∴S 3=-1-2-3=-6 综上S 3=21或-6
19.解：（1）因为()
2
22
2a b a b a b +=++⋅2
2221a b =+
+⋅=
所以，3a b ⋅=-，
所以，cos ,223a b a b a b
⋅<>=
=
=-⨯，
又夹角在[0,]π上，∴5
,6
a b π<>=
； （2）因为BC AC AB b a =-=-，
所以，()
2
2
22
2BC b a
b a b a =-=+-⋅()2
222313=
+-⨯-=，
所以，BC 边的长度为13BC =20.解：（1）因为α是锐角，且43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫
⎪⎝⎭
在单位圆上， 所以3
sin 5
α=
，4cos 5α=，12sin 13β=
5cos 13β=， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-4531216
51351365
=⨯-⨯
=-
（2）因
31010OA OB ⋅=
，所以||||cos()10
OA OB βα⋅-=，
且1OA OB ==，所以，cos()10βα-=
，可得：sin()()10
βαβα-=>，
且4cos 5α=
，3sin 5
α= 所以，sin sin[()]βαβα=+-sin cos()cos sin()αβααβα=-+-
3451051050
=⨯+⨯=
. 21．解：（1）当n=1时，2S 1=a 12+1 ∴a 1=1 又∵{a n }为递增数列 ∴a n ≥1 2S n =a n 2+n 2S n+1=a n+12+n+1
②-①得：2a n+1=a n+12-a n 2+1 即a n 2=(a n+1-1)2 ∵a n ≥1 ∴a n+1-1≥0 ∴a n =a n+1-1 ∴a n+1-a n =1
∴数列{a n }是a 1=1，d=1的等差数列 ∴a n =1+(n-1)·1=n
（2）b n =1
1
2)1(1
21)1(22++⋅+-⋅=+⋅⋅+n n n n n n n n ∴T n =212)1(121)2)1(121()231221()221211(
11
322<⋅+-=⋅+-⋅++⋅-⋅+⋅-⋅++n n n n n n 22．解：（1）∵n m // ∴(sinB+sinC)(sinB-sinC)=sinA(sinB-sinA) ∴sin 2B-sin 2C=sinAsinB-sin 2A
∴b 2
-c 2
=ab-a 2
∴2
12222=-+ab c b a
即cosC=
21 又∵0＜C ＜π ∴C=3
π
（2）a ·cosB-bcosA=
c 3 ∴sinAcosB-sinBcosA=
3
3
sinC ∴sin(A-B)=
33×2
123=＞0 ∵0＜A ＜
32π，0＜B ＜
32π
∴0＜A-B ＜3
2π ∴A-B=6π 又∵A+B=32π ∴B=4
π
由正弦定理：C c B b sin sin =
得c = ∴c=
3
3 23．解：（1）当n=1时，a 1=
121
23=- 当n ≥2时，a n =T n -T n-1=23))1(2
1)1(23(21232
2-=-----n n n n n
此式当n=1时，a 1=1符合 ∴a n =3n-2
∵a n +2+3log 4b n =0 ∴n+log 4b n =0 ∴b n =n
)4
1
( （2）C n =(3n-2)·n
)4
1(
∴S n =1·
41+4·(41)2+7·(41)3+…+(3n-2)·(4
1
)n ① 41S n =1·(41)2+4·(41)3+…+(3n-5)(41)n +(3n-2)·(4
1
)n+1 ② ①-②得：-43S n =41+3((41)2+(41)3+…+(41)n )-(3n-2)·(4
1
)n+1
=41+3×
---+4
11)41()41(1
2n (3n-2)·(41)n+1 整理得 n n S (n )()=
-+⋅221334
（3）C n+1-C n =(3n+1)·(
41)n+1-(3n-2)·(4
1
)n =(41)n (43n+41-3n+2)=(4
1
)n+1·9(1-n)≤0
∴当n=1时，C 2=C 1，当n ≥2时，C n+1＜C n ∴{c n }的最大项为C 1=C 2=4
1
若C n ≤
41m 2+m-1恒成立，则(C n )max ≤41
m 2+m-1 ∴41≤4
1
m 2+m-1 即m 2+4m-5≥0 解得：m ≤-5或m ≥1
（或C n -C n-1=(4
1)n
·9(2-n)（n ≥2） ∴当n=2时，C 2=C 1，当n ＞2时，C n ＜C n-1 ∴C n 的最大项为C 1=C 2=
4
1）。