一种求解一维量子体系本征态的方法

0 - t ( e + e- ) , 其中
=
-
sh[ ( N + sh[ N
1) ]
]
4. 2 量子链中两端格点能量改变的情况
两端格点能量均有改变时, 本征值方程为
0+
t
c1
c1
t
0t
c2
c2
=E
t
0
t
cN- 1
cN- 1
t 0+
cN
cN
此时 D N = DN + 2 D N - 1+ 2D N - 2, ( N > 2) 同
点的局域波函数{ i , i = 1, 2, , N } 为基, 该体系 的哈密顿量可以写为
H=
ic+i ci +
ti , i+ 1 c+i c i+ 1 + h. c. , ( 1)
i
i
其中 i = i | H | i 是 格 点 能 量, ti , i + 1 =
i| H | i+ 1 表示第 i 与第 i + 1 个格点之间电
样, 利用式( 5) 中的结果可以得出
DN
=
tN sin
[ sin( N +
1)
+ 2 sinN +
2sin( N - 1) ]
借助 4. 1 中的分析方式, 首先判断出现表面态的 条件 结果发现, 当| | < 1 时该结构中不会有表
面态出现, 本征能量可以写为
Em =
0-
2 t cos
m N+
1+
i
2N N
ex p
i
4 N
exp
i
8 N
ex p
i
4N N
exp
i
2N N
exp
i
4N N
ex p
i
2N 2 N
3讨 论
下面给出一维有限长量子链和量子环能谱的 图示方法, 并进行比较 在 xy 平面内以( 0, 0) 为
第8期
公卫江等: 一种求解一维量子体系本征态的方法
12 15
圆心, 以 2t 为半径作圆, 然后, 对于 N 格点的一 维量子链, 在上半圆周中引入 N 条等分该半圆周 的矢径, 则这些矢径在 x 轴上的投影即为一维量 子链的能谱 对于 N 格点的一维量子环, 不是在 上半圆而是在整个圆周中引入 N 条等分该圆周 的矢径, 这些矢径在 x 轴上的投影则为一维量子 环的能谱 图 1 为 N = 3 时的本征能谱 值得指出 的是, 在能谱图示法中, N 条矢径与 x 轴正向的 夹角的 m 倍( m = 1, 2, , N ) 可以给出出现在本 征波函数第 m 行( 列) 分量的角度变量
第32 卷第8期 2011 年 8 月
东北大学学报( 自然科学版) Journal of Nort heastern U niversity( Natural Science)
Vol 32, No. 8 Aug. 2 0 1 1
一种求解一维量子体系本征态的方法
公卫江, 范 爽, 司秀丽, 魏国柱
( 东北大学 理学院, 辽宁 沈阳 110819)
子波函数的交叠积分[ 9] 对于 i = 0 及 t i , i+ 1 = t
的理想情况, 该体系的本征能量和波函数容易通 过求解能量本征值方程 H = E 得出, 其中 E 为本征能量, 为本征波函数 对于 N 的无 限长一维量子体系, 其本征能量可以写为 Ek= 0 + 2t cos ka( k 为波矢, a 为格点间距) , 所以, 该体 系的能谱是中心为 0 宽度为 4t 的能带[ 10] ; 而对 于一维有限格点体系, 其本征能量和波函数的求 解却相对复杂 鉴于上述情况, 本文讨论有限格点 的一维体系的能量求解问题, 并给出较为简单的 求解方法
GON G Wei j iang, FA N Shuang, SI X iu li , WEI Guo z hu
( School of Sciences, Northeastern U niv ersity, Shenyang 110819, China. Corr esponding author : WEI Guo zhu, professor, E mail: guozhuwei02 @ sina. com)
一维量子体系本征态的求解不仅是典型的量
子力学及固体物理问题[ 1- 4] , 也经常在科研过程
中遇到, 如考察量子点体系的电子输运性质和光 吸收谱等[ 5- 7] 通过查阅相 关参考文献, 可以发
现在 紧 束缚 近似 理 论框 架 下进 行 求解 较 为方
便[ 8] 将该体系进行格点分立化, 选择依赖于格
1
sin
N N+
1
sin
2N N+
1
sin
N N+
1
sin
2N N+
1
sin
N2 N+
1
同时, 也可以看出, 如果 N 取较大的值, 该体系
的本征能谱也将变得连续化并成为能带, 带宽为 4t 当( 0- E) 2> 4t 2 时, 由于 , 均为实数, 并
且
, 所以 DN =
N + 1-
N+ 1
0, 从而看出在
点格点能量的涨落只能导致本征能谱的移动,
即 Em =
0 - 2t cos
m N+
1+
m , 其中
=
- sin[ ( N + 1)
m]
sin N
m+
m N+ 1
可 以看
出, 对于 > 0 的情况, 增加 将导致 D N = =
tN cos
[ (N +
1) cos( N +
1)
+N
cosN ]
=
0,
此时边缘态出现, 临界条件为
给出了量子链中表面态出现的条件, 同时发现量 子环中格点能量的涨落不会导致表面态的出现
关 键 词: 量子链; 量子环; 本征能量; 能谱; 格点能量
中图分类号: O 471. 1
文献标志码: A
文章编号: 1005 3026( 2011) 08 1213 04
A Method for Solving the Eigen States of One Dimensional Quantum Systems
涨落的情况, 所对应的本征值方程为
0+
t
c1
c1
t
0t
c2
c2
=E
t
0
t cN- 1
cN- 1
t
0 cN
cN
此时, 系数矩阵的行列式可以表示为 DN = DN + DN - 1 根据式( 5) 可以算出
DN =
tN s in
[ sin( N
+
1)
+
sinN ] ,
( 8)
其中 = / t 将式( 8) 和式( 5) 进行对比, 得出端
该能区不会存在本征能级; 从另一角度理解, 能带
外不会存在能级, 所以不必讨论
2 求解量子环本征能量
一维有限长量子环的能量本征值方程可写为
0t
t c1
c1
t
0t
c2
c2
=E
, ( 6)
t
0
t cN - 1
cN - 1
t
t
0 cN
cN
相应地, 久期方程为
0- E
t
t
t
0- E
t
=0
t
0- E
t
t
t
0- E
m,
其中
= sin
N+ 1 2
m
/ sin
N- 1 2
m+
m N+ 1
当| | 1 时, 该结构中开始有一个表面态出现;
当| |
N N
+ -
11 时 ,
开始有两个表面态出现
表面
态的能量为 E s= 0 t ( e + e- ) , 其中 服从方
摘
要: 为了得出一维量子体系本征态的简易求解方法, 介绍了一维有限格点量子链和量子环本征能量
的一种求解方法, 并且借助图示的方法对这两种 体系的能谱进行了 详细的对 比, 这 样可以清晰 地认知一 维有
限格点量子链和量子环这两种结构的能谱特点 对这两种结构中格点能量存在涨落的情况进行了 讨论, 并且
02t
E
,
s in
=
4t2- ( 0- E ) 2 2t
如果
r
DN
=
0,
则
=
2m N
;
m = 1, 2, , N 显然, 该条件和量子环的周期性
边界条件一致 此时得出能量本征值为 E m= 0+
2t cos
2m N
将该结果代入式( 6) , 本征波函数为
=
1 N
ex p
i
2 N
exp
i
4 N
ex p
( 3)
假设 , 分别为方程 x 2- ( 0- E ) x + t 2=
0 的 两 个 根, 其 中
=
( 0- E ) +
( 2
0-E ) 2-源自4t2 ,= ( 0- E ) -
( 2
0-
E ) 2-
4t2 ,
并且
+
=
0- E , = t 2 将上述关系式代入式( 3) 中, 可得
D N = ( + ) D N - 1- DN - 2, 从而得出
=
N+ 1 N
如果
继续增加, 该体系中会有表面态出现 令 = +
i ( 是实数) , 可以直接写出表面态的能量为 E s
= 0 + t ( e + e- ) , 其 中 服 从 方 程 =
sh[ ( N + 1) sh[ N ]
]
同理, 对于
< 0 的情况, 如果
<
-
N+ N
1, 表面态能量
Es =
D N - DN- 1 = N- 2( D 2 - D 1) ,
DN - DN- 1 = N- 2( D 2 - D1)
( 4)
对于( 0 - E ) 2 4t 2 的 情 况, 选 择 sin =
4t2-
( 02t
E
)2 ,
cos
=
0
2t
E
,
可得
出
= t e- i , 因此
DN =
tN sin( N + sin
1)
= t ei , ( 5)
由式 ( 5) 可以 看出, 如 果 DN = 0, 则
=
m N+
1,
m= 1, 2,
, N 此时, 求得 Em =
0-
2t cos
m N+
1
将能量本征值代入式( 2) , 可以得出本征波函数为
=
2 N+ 1
sin N + 1
sin
2 N+
1
sin
N
2 +
1
sin
4 N+
图 1 N = 3 时的本征能谱 Fig. 1 Ei gen energy spectr a when N = 3
( a) 量子链; ( b) 量子环
4 格点能量涨落对本征能谱的影响
4. 1 量子链中一端格点能量改变的情况
一维有限长量子链两端的格点能量往往与内
部格点能量不同 首先, 考虑只有一端格点能量有
将行列式记为
D
r N
,
容易得 出
D
r N
=
(
0-
E)
DN- 1- 2t 2DN- 2+ 2 ( - 1 ) N+ 1 tN 将 DN- 1 =
N-
N
和 DN- 2=
N - 1-
N- 1
代入其中, 化简得
D
r N
=
2(-
t ) N ( cosN
- 1)
( 7)
不同于量子链的情况, 这里 cos = -
Abstract: In order t o derive a convenient solution to a one dim ensional quantum syst em , a met hod is present ed t o solve the one dimensional quantum chain and quantum ring. T he eigen energy spect ra of the tw o structures are compared by a geometric approach so as t o furt her clarif y the charact erist ics of t he eig en energy spectra. In addit ion, t he changes in t he eigen energies are discussed in t he presence of t he f luct uat ed onsit e energy , and the conditions are g iven under w hich the surface state in t he quant um chain struct ure appears. On the other hand, no surface state appears in t he quant um ring despite t he f luctuat ion of the onsite energy. Key words: quantum chain; quantum ring; eigen energ y; spect rum; onsite energy
显然, 除了有限长的一维量子链之外, 有限 格点的一维量子环也 可以看做一维 有限格点体
系
收稿日期: 2010- 12- 30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10904010)
作者简介: 公卫江( 1981- ) , 男, 山东泰安人, 东北大学副教授; 魏国柱( 1944- ) , 男, 辽宁海城人, 东北大学教授, 博士生导师
1 214
东北大学学报( 自然科学版)
第 32 卷
1 求解量子链本征能量
一维有限长量子链的能量本征值方程可写为
0t
t
0t
t 0t
t
0
它对应的久期方程为
c1
c1
c2
c2
=E
,
cN- 1
cN- 1
cN
cN
( 2)
0- E
t
t
0- E
t
=0
t
0- E
t
t
0- E N N
将行列式记为 DN , 可得出
DN = ( 0 - E ) DN- 1 - t 2D N- 2