高考考点 考点三 函数的性质及其应用 含答案

1.(2021·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )
A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数
B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数
D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数
2．(2021·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A ．y ＝cos x
B ．y ＝sin x
C ．y ＝ln x
D ．y ＝x 2＋1
3．(2021·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
( )
A ．y ＝x ＋e x
B ．y ＝x ＋1x
C ．y ＝2x
＋12x D ．y ＝1＋x 2 4．(2021·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )
A ．f (sin 2x )＝sin x
B ．f (sin 2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
5．(2021·福建)下列函数为奇函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝|sin x |
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －e －x
6．(2021·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是
( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝(x －1)2
C ．y ＝2－x
D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
7．(2021·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )
A ．f (x )＝x 12
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x D ．f (x )＝3x 8．(2021·新课标全国Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D ．[1，＋∞)
9．(2021·重庆)下列函数为偶函数的是( )
A ．f (x )＝x －1
B ．f (x )＝x 2＋x
C ．f (x )＝2x －2－x
D ．f (x )＝2x ＋2－x
10．(2021·新课标全国Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
11．(2021·广东)下列函数为奇函数的是( )
A ．y ＝2x －12x
B ．y ＝x 3sin x
C ．y ＝2cos x ＋1
D ．y ＝x 2＋2x
12．(2021·湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A ．f (x )＝1x 2
B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－x
13．(2021·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．
14．(2021·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．
15．(2021·新课标全国Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．
1．(2021·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，
1)上单调递减的函数为( )
A ．y ＝1x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝x 2
2．(2021·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝ln(x 2＋1－x )
C ．y ＝e x
D ．y ＝ln x 2＋1
3．(2021·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当
x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 3 5)的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．6
D ．－6
4．(2021·广东揭阳模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)、f (x －1)都是奇函数，则( )
A ．f (x )是奇函数
B ．f (x )是偶函数
C ．f (x ＋5)是偶函数
D ．f (x ＋7)是奇函数
5．(2021·辽宁沈阳模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ≤－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1<x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝( )
A ．335
B ．338
C ．1 678
D ．2 012
6．(2021·山东德州模拟)下列函数中，与函数y ＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x ，x <0的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A ．y ＝－1x
B ．y ＝x 2＋2
C ．y ＝x 3
－3 D ．y ＝log 1e |x | 7．(2021·山东潍坊模拟)若函数
f (x )＝⎩⎨⎧l
g x （x >0），x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t （x ≤0），若f(f(1))＝1，则a ＝________． 8．(2021·山东菏泽模拟)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以
下三个条件：①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f （x ）
；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，且x 1<x 2，
都有f (x 1)>f (x 2)．则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大排列是________． 9．(2021·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |.
(1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；
(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
参考答案
1．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )
＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]
2．A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]
3．A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]
4．D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin
2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，
x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故
选D.]
5．D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.]
6．A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在
(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．故选A.]
7．D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．]
8．D [因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，
＋∞)上单调递增，所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x
在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x ＜1，所以k ≥1.故
选D.]
9．D [函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D.]
10．C 11.A
12．A [由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数．A 选项，f ′(x )＝－2x 3在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.]
13.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎨⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.]
14．(－1，3)[由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.]
15．3[因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.]
【一年模拟试题精练】
1．C[首先y＝cos x是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y＝cos x满足条件．故选C.]
2．D[y＝sin x与y＝ln(x2＋1－x)都是奇函数，y＝e x为非奇非偶函数，y＝ln x2＋1为偶函数，故选D.]
3．B[由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log3 5)＝－f(log3 5)＝－(3log3 5－1)＝－4，选B.]
4．D
5．B[f(x)为周期为6的周期函数，且f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335＝338，故选B.]
6．B [因为函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x ，x <0为偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，故选B.]
7．1 [∵f (f (1))＝f (0)＝a 3＝1，∴a ＝1.]
8．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2) [由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1f （x ＋1）
＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.
②中因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋
1)的图象向右平移一个单位即可得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称．
根据③可知函数f (x )在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1，2]上为增函数．
因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1，2]上，1<32<2，
所以f (1)<f (32)<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32<f (2)．] 9．解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1， 当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，
当x <－1时，f (x )＝1恒成立，
∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}．
(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a ，
若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，
解得：a ≥13. (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，
则g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a . 即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立
∵a <1，
∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞)． ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立
当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，
∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5， ∵a <1，∴－3≤a <1，
综上：a 的取值范围是－3≤a <1.。